PI gresk | |
---|---|
Symbol | |
Verdi | |
Kontinuerlig brøkdel | [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...] (sekvens A001203 av OEIS) |
Sammen | transcendente tall |
Korrelerte konstanter | Konstant av Gel'fond , Zeta -konstanter |
Forholdet mellom lengden på et hjuls omkrets og diameteren er π |
Pi er en matematisk konstant , indikert med den greske bokstaven ( pi ), valgt som initialen til περιφέρεια (perifereia), omkrets på gresk.
I plangeometri er il definert som forholdet mellom lengden på omkretsen og diameteren , eller til og med som arealet av en sirkel med en radius . Mange moderne matematiske analysetekster definerer bruk av trigonometriske funksjoner : for eksempel som det minste strengt positive tallet for hvilket eller det minste tallet som divideres med avbryter . Alle disse definisjonene er likeverdige.
Il er også kjent som Arkimedes konstant (ikke å forveksle med Arkimedes tall ) og Ludolph konstant eller Ludolph tall . Det er ikke en fysisk eller naturlig konstant, men en matematisk konstant definert på en abstrakt måte, uavhengig av fysiske mål.
Dette er verdien av det avkortede til 100. desimal [1] [2] :
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06289 40288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06289 4028 4019 37510Il er et irrasjonelt tall , så det kan ikke skrives som en kvotient av to heltall , som demonstrert i 1761 av Johann Heinrich Lambert . Det er også et transcendent tall (dvs. det er ikke et algebraisk tall ): dette faktum ble bevist av Ferdinand von Lindemann i 1882 . Dette betyr at det ikke finnes polynomer med rasjonelle koeffisienter som det er roten til, så det er umulig å uttrykke ved å bruke et endelig antall heltallsverdier, brøker og deres røtter.
Dette resultatet fastslår umuligheten av å kvadrere sirkelen , det vil si konstruksjonen med linjal og kompass av et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel.
Tilstedeværelsen av i disse to siste formlene er imidlertid en konsekvens av definisjonen som er tatt i bruk for de fysiske konstantene og .
Som ethvert irrasjonelt tall, kan ikke π uttrykkes som en brøkdel av to heltall, men tillater en representasjon som en kontinuerlig brøk [7]
Ved å avkorte den fortsatte brøken når som helst, oppnås de rasjonelle tilnærmingene til π, hvorav de første er 3, 22/7, 333/106 og 355/113, de mest kjente og historisk brukte tilnærmingene til π. Den fortsatte brøken av π er ikke periodisk (da π ikke er et kvadratisk irrasjonalt tall ) og har heller ikke en åpenbar struktur, [7] men forskjellige matematikere har oppdaget representasjoner som generaliserte kontinuerlige brøker som følger et klart mønster: [8]
oppnådd ved hjelp av formelen til den fortsatte Euler-fraksjonen brukt på funksjonen for ;
På grunn av dens transcendente natur, er det ingen endelige uttrykk som de representerer . Følgelig må numeriske beregninger bruke tilnærminger av tallet, og avkorte det til et tall som anses tilstrekkelig med signifikante sifre. I mange tilfeller er 3,14 nok; i ingeniørfag brukes ofte 3.1416 (fem signifikante sifre) eller 3.14159 (6 signifikante sifre).
En egyptisk skriftlærd ved navn Ahmes er forfatteren av den eldste kjente teksten som inneholder en tilnærming til Rhind-papyrusen , datert til 1600-tallet f.Kr. og beskriver verdien som 256/81 eller 3.160.
Arkimedes utviklet en metode som det er mulig å oppnå hvor gode tilnærminger som helst og brukte den til å bevise at den er mellom 223/71 og 22/7 (gjennomsnittet av de to verdiene er omtrent 3,1419).
Den kinesiske matematikeren Liu Hui beregnet som 3,141014 (feil fra fjerde desimal) i 263 og foreslo 3,14 som en god tilnærming.
Den kinesiske matematikeren og astronomen Zu Chongzhi beregnet på 500-tallet mellom 3.1415926 og 3.1415927 og ga to tilnærminger til : 355/113 og 22/7.
Den iranske matematikeren og astronomen Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi , 1350-1439, beregnet de første 9 sifrene i base 60 di , som tilsvarer desimalbasis til de 16 sifrene:
Den tyske matematikeren Ludolph van Ceulen (ca. 1600) regnet ut de første 35 desimalene. Han var så stolt over prestasjonen at han fikk det skrevet på gravsteinen sin.
Den polske matematikeren og jesuitten Adam Adamandy Kochański satte i sin avhandling fra 1685 en geometrisk konstruksjon som gjør det mulig å beregne en omtrentlig verdi av korrekt opp til fjerde desimal.
Den slovenske matematikeren Jurij Vega i 1789 beregnet de første 140 desimalene av , hvorav de første 137 var riktige, og hadde verdensrekorden i 52 år, frem til 1841 , da William Rutherford beregnet 208 desimaler hvorav de første 152 var riktige . Vega forbedret formelen foreslått av John Machin i 1706 .
Andre mulige tilnærminger av :
Imidlertid kan ingen av formlene ovenfor gi en effektiv metode for å tilnærme . For raske beregninger kan en formel som Machins brukes:
Sammen med utviklingen av Taylor-serien for funksjonen . Denne formelen kan enkelt verifiseres ved å bruke de polare koordinatene til komplekse tall , fra:
Formler av denne typen er kjent som formler av Machin-typen .
Svært lange desimalutvidelser av er typisk beregnet med Gauss-Legendre-algoritmen og Borwein-algoritmen; tidligere ble også Salamin-Brent-algoritmen, oppfunnet i 1976 , brukt .
Listen over de første millioner sifrene til og av finnes på Gutenberg-prosjektet (se ekstern lenke nederst på siden).
I desember 2002 nådde beregningen 1 241 100 000 000 sifre (1,2411 × 10 12 ), beregnet i september 2002 av Yasumasa Kanada på en 64-node Hitachi - superdatamaskin med én terabyte hovedminne, i stand til å utføre 2 milliarder operasjoner per sekund, nesten det dobbelte av datamaskinen som ble brukt til forrige rekord (206 milliarder tall) .
Følgende formler av maskintype ble brukt:
K. Takano ( 1982 ). FCW Störmer ( 1896 ).Slike nøyaktige tilnærminger brukes faktisk ikke til noen praktiske formål, annet enn å teste ytelsen til nye superdatamaskiner eller for statistisk analyse av tallene til .
I 1996 oppdaget David H. Bailey, sammen med Peter Borwein og Simon Plouffe, en ny formel for beregning som en uendelig serie:
Denne formelen lar deg enkelt beregne det -te binære eller heksadesimale sifferet uten å måtte beregne alle de foregående sifrene. Baileys nettsted inneholder implementeringen på forskjellige programmeringsspråk .
Noen andre formler som brukes til å beregne estimater av er:
Andre tilnærmingsformler finnes i tabellen nedenfor: [9] [10]
Gamle folk brukte ofte indirekte måter å grovt uttrykke forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel . Babylonerne brukte for verdien av 25 ⁄ 8 = 3,125 (også brukt av Vitruvius [11] ): en kileskriftstavle fra det tjuende århundre f.Kr. observerer faktisk at forholdet mellom omkretsen og omkretsen av en innskrevet sekskant er 3600 /3456 , dvs. 25/24. I Rhind-papyrusen sies det imidlertid at en sirkel med en diameter på 9 enheter tilsvarer en firkant med side 8. På denne måten antok egypterne verdien av ( 16 ⁄ 9 ) ² = 3,160.
I Det gamle testamente står det tilsynelatende ikke eksplisitt at = 3. Det står faktisk skrevet:
«Han gjorde havet som et stort basseng av smeltet kobber, ti alen fra den ene bredden til den andre; den var helt rund. Dens høyde var fem alen, og en linje på tretti alen målte dens omkrets." |
( Andre Krønikebok , 4:2 ) |
Teksten forklarer imidlertid kort tid etter at kanten åpnet seg "som kalken av en lilje" (det vil si at den presenterte det en moderne ingeniør ville kalle en "avstivningsring" på den øvre kanten), så diameteren målt ved kanten var åpenbart større enn den ytre omkretsen til den sylindriske tanken, noe som gjør disse dataene unøyaktige for å utlede en "bibelsk" verdi av pi. [12]
Den første som vitenskapelig tilnærmet pi var Archimedes fra Syracuse som i det tredje århundre f.Kr. brukte vanlige polygoner innskrevet og omskrevet til en omkrets . Ved å øke antall sider forholdet mellom omkretsen og arealgrensene over og under (se også metode for utmattelse ).
Ved å bruke 96-sidede polygoner oppdaget den syracusanske forskeren at 223 ⁄ 71 <π < 22 ⁄ 7 . [1. 3]
I middelalderen i India bruker Brahmagupta verdien [14] mens Zu Chongzhi i Kina bruker 355 ⁄ 113 verdi som avviker mindre enn 0,3 milliondeler fra riktig verdi. [15]
Arkimedes metode vil bli brukt frem til moderne tid. I 1610 beregnet Ludolph van Ceulen de første 35 desimalstedene ved å bruke polygoner med mer enn 2 milliarder sider. Ceulen, stolt over denne prestasjonen, vil få den skrevet på graven sin.
Også i moderne tid finnes viktige uendelige uttrykk:
I det attende århundre Euler fant løsningen av Basel-problemet en annen elegant serie:
Identiteten til Euler skyldes også den sveitsiske matematikeren , noen ganger betraktet som den vakreste matematiske formelen som finnes [16] ettersom den forbinder de viktigste matematiske konstantene: antallet Napier , den imaginære enheten , 0 -en og 1 -en .
Disse formlene, selv om de har liten eller ingen nytte i beregningen av den matematiske konstanten, har en viktig estetisk verdi og avslører uventede sammenhenger mellom ulike grener av matematikken .
Euler populariserte også symbolet π, introdusert i 1706 av den engelske matematikeren William Jones da han publiserte A New Introduction to Mathematics , selv om det samme symbolet tidligere hadde blitt brukt for å indikere sirkelens omkrets. Notasjonen ble vanlig etter at Euler brukte den. I begge tilfeller er det den første bokstaven i περίμετρος (perimetros), som betyr "måle rundt" på gresk . Videre ble symbolet i utgangspunktet brukt av William Jones selv som i 1706 brukte det til ære for Pythagoras (initialbokstaven til Pythagoras i det greske alfabetet er nettopp Π, men siden det er et tall foretrekker vi å bruke små bokstaver). Men fortsatt i 1739 brukte Euler symbolet .
Spørsmålet om arten av var fortsatt åpent : Johann Heinrich Lambert beviste i 1761 at det var et irrasjonelt tall (det ble vist at arctangensen til ethvert rasjonelt tall er irrasjonelt); se beviset på irrasjonaliteten til π . Adrien-Marie Legendre beviste i 1794 irrasjonaliteten til . Imidlertid vil det være nødvendig å vente til 1882 på beviset, av Ferdinand von Lindemann , på at det er et transcendent tall , det vil si at det ikke kan være roten til noe polynom med rasjonelle koeffisienter.
Dette siste faktum beviste utvetydig at det er umulig å kvadrere sirkelen med linjal og kompass .
I 1897 foreslo amatørmatematikeren J. Goodwin i delstaten Indiana et utrolig lovforslag som hadde som mål å gjøre det mulig å kvadrere sirkelen ved å endre verdien av pi [17] . Designet så for seg innføringen av en "ny matematisk sannhet" siden "regelen som nå er i bruk ... ikke fungerer" og "den bør avvises som utilstrekkelig og misvisende for praktiske anvendelser" . Det ekstravagante lovforslaget ble enstemmig vedtatt av de 67 medlemmene av utdanningskommisjonen. Lovforslaget ble senket først etter den negative mening fra matematikeren Clarence Waldo, som var tilfeldig til stede i senatet .
Her er en kort viktig kronologi for å bestemme verdien av π :
Det mest presserende åpne spørsmålet om hvorvidt det er normalt eller ikke , det vil si om frekvensen som hver sekvens av siffer er tilstede er den samme som ville vært forventet hvis sifrene var helt tilfeldige. Dette må være sant i hver base, ikke bare base 10. [31] Vi vet ikke mye om dette; for eksempel vet vi ikke engang hvilke av sifrene 0,..., 9 som forekommer uendelig ganger i desimalutviklingen til , [32] selv om det er klart at minst to sifre må forekomme uendelig mange ganger, siden det ellers ville vært rasjonelt, mens det ikke er det.
Bailey og Crandall demonstrerte i 2000 at eksistensen av den nevnte Bailey-Borwein-Plouffe-formelen og lignende formler innebærer at normalitet basert på er utledet fra en plausibel kaosteoriformodning . [33]
Det er også ukjent om og Napiers tall er algebraisk uavhengige , selv om Yuri Valentinovich Nesterenko beviste den algebraiske uavhengigheten til {π, og π , Γ (1/4)} i 1996. [34]
Mens summen av de indre vinklene til en trekant målt i radianer i euklidisk geometri nødvendigvis er lik , i ikke-euklidiske geometrier kan den samme summen være større ( elliptisk geometri ) eller mindre ( hyperbolsk geometri ) og forholdet mellom en omkrets og dens diameter kan ikke være . Dette endrer ikke definisjonen av , snarere endrer det konstanten som vises i formlene (som blir et annet tall enn ). Så spesielt er det ikke relatert til universets form ; det er en matematisk konstant, ikke en fysisk.
I 1897, i Amerikas forente stater , ble et lovforslag presentert for generalforsamlingen i delstaten Indiana , [35] utarbeidet av amatørmatematikeren og fysikeren Edward (eller Edwin) J. Goodwin, der forfatteren presenterte som en løser problemene med tredeling av vinkelen , duplisering av kuben og kvadrating av sirkelen (hvis umulighet av løsning på det tidspunktet allerede var godt demonstrert) og tilbød statsskolene gratis bruk av hans "nye matematiske sannhet", patentert av ham. Teksten nevnte ikke spesifikt , men fra utsagnene i den kunne det utledes forskjellige verdier, som er gjensidig motstridende, inkludert verdien av 3.2.
Prosjektet gikk gjennom ulike stadier av lovgivningsprosessen, men ble til slutt forlatt da det ble presentert for Senatet for endelig godkjenning; Professor Clarence Abiathar Waldo, en matematiker og medlem av Indiana Academy of Sciences, rapporterte senere [36] at han var tilfeldig til stede i Senatet den dagen lovforslaget skulle diskuteres, og at han hadde "riktig instruert" i denne forbindelse senatorene før diskusjonen.
14. mars feires som " dagen for pi ", ettersom den i sin angelsaksiske skrift (3/14) minner om den vanligste tilnærmingen til . [37] : siden 2020 har UNESCO utropt 14. mars til den internasjonale matematikkdagen. [38] Faktisk er pi et av de mest kjente irrasjonelle tallene også utenfor det matematiske miljøet, i tillegg til å være en av de ubestridte hovedpersonene i det matematiske panoramaet [39] . En annen mulig dato for å feire pi er 22. juli, da 22/7 er en berømt brøkdel, kjent siden Arkimedes tid , som tilnærmer .
Popstjernen Kate Bush har helt og holdent dedikert til nummeret den andre sangen (med tittelen ) på hennes åttende album Aerial , fra 2005 , der hun skulle resitere sine første 140 sifre. π 3.14 er også tittelen på det femte albumet til Rockets , fra 1981 . Andre musikere og artister generelt har også dedikert noen av verkene sine til det konstante.
π - Teoremet om delirium er tittelen på en thriller fra 1998 regissert av regissør Darren Aronofsky .
I 2012 -filmen Life of Pi , regissert av Ang Lee , bestemmer hovedpersonen, den unge indiske Piscine Molitor Patel, seg for å forkorte den til Pi, et kallenavn som uttales nøyaktig som ; å få venner til å huske, lære og huske mange desimaler på .
Det er mulig å bruke følgende setning for å huske de første 19 sifrene i tallet pi, og knytte til hvert av ordene det tilsvarende antall bokstaver som utgjør det: "Ave, eller Roma, eller trofast mor til latinske dyder som du kaster bort mye lys tapt prakt med din visdom ".