Euler

Leonhard Euler ( IPA : ['leɔnhart ˈɔʏlɐ] , , kjent i Italia som Euler ; Basel , 15. april 1707 - St. Petersburg , 18. september 1783 ) var en sveitsisk matematiker og fysiker .

Han regnes som den viktigste matematikeren i det attende århundre , og en av de største i historien. Det er kjent for å være blant de mest produktive gjennom tidene og har gitt historisk avgjørende bidrag på forskjellige områder: infinitesimal analyse , spesialfunksjoner , rasjonell mekanikk , himmelmekanikk , tallteori , grafteori . Pierre Simon Laplace ser ut til å ha sagt "Les Euler; han er læreren til oss alle". [1]

Euler var utvilsomt den største leverandøren av "matematiske valører", og ga navnet sitt til en imponerende mengde formler, teoremer, metoder, kriterier, relasjoner, ligninger. I geometri: sirkelen , linjen og Eulers punkter i forhold til trekantene, pluss Euler-Slim-relasjonen , som gjaldt sirkelen omskrevet til en trekant; i tallteori: Eulers kriterium og Fermat-Eulers teorem , Eulers indikator, Eulers identitet , Eulers formodning ; i mekanikk: Euler-vinkler, Euler kritisk belastning (på grunn av ustabilitet); i analysen: Euler-Mascheroni-konstanten , Euler -gammafunksjonen ; i logikk: Euler-Venn-diagrammet ; i grafteori: (igjen) Euler-relasjonen ; i algebra: Eulers metode (i forhold til løsningen av fjerdegradsligningene), Eulers teorem; i differensialregning: Eulers metode (angående differensialligninger).

Andre matematiske objekter er også knyttet til Euler, gjennom adjektivet "Eulerian", slik som: Eulerian syklus , Eulerian graph , Eulerian funksjon av den første typen eller betafunksjonen , og den til den andre typen eller gammafunksjonen Eulerian kjede av en graf uten løkker , de Eulerske tallene (forskjellig fra Eulers tall ).

Selv om han hovedsakelig var matematiker gjorde han viktige bidrag til fysikk og spesielt til klassisk og himmelmekanikk . For eksempel utviklet han Euler-Bernoulli-ligningen av bjelker og Euler-Lagrange-ligningene . Det bestemte også banene til mange kometer .

Euler holdt kontakten med en rekke matematikere på sin tid; spesielt hadde han en lang korrespondanse med Christian Goldbach og sammenlignet noen av sine egne resultater med ham. Han visste også hvordan han skulle koordinere arbeidet til andre matematikere som stod ham nær: sønnene Johann Albrecht Euler og Christoph Euler , medlemmene av St. Petersburg Academy WL Krafft og Anders Johan Lexell og hans sekretær Nicolaus Fuss (som også var ektemannen til barnebarnet hennes); til alle samarbeidspartnerne anerkjente han fordelene.

Til sammen er det 886 publikasjoner av Euler. Mye av den matematiske symbologien som fortsatt er i bruk ble introdusert av Euler, for eksempel i for den imaginære enheten, Σ som et symbol for summering , f (x) for å indikere en funksjon og bokstaven π for å indikere pi .

Biografi

Barndom

Euler ble født i Basel , sønn av Paul Euler, en protestantisk pastor, og Marguerite Brucker. Etter ham ble to søstre født, Anna Maria og Maria Magdalena. Kort tid etter Leonhards fødsel flyttet familien til Riehen , hvor Euler tilbrakte mesteparten av barndommen. Paul Euler var en venn av Bernoulli -familien , og av Johann Bernoulli , en av de mest kjente matematikerne i Europa, som hadde stor innflytelse på Leonhard. Euler gikk inn på universitetet i Basel i en alder av tretten og ble uteksaminert i filosofi . På den tiden mottok han også matematikktimer fra Johann Bernoulli , som hadde oppdaget hans enorme talent. [2]

Eulers far ønsket at han skulle bli teolog og fikk ham til å studere gresk og hebraisk , men Bernoulli overbeviste ham om at sønnens skjebne var matematikk. I 1726 fullførte Euler sin doktorgrad om lydformidling og deltok i 1727 i Grand Prix til det franske vitenskapsakademiet . Problemet det året gjaldt den beste måten å arrangere trær på et skip . Han ble nummer to umiddelbart etter Pierre Bouguer , nå anerkjent som faren til marinearkitekturen. Imidlertid vant Euler den prisen tolv ganger i livet.

St. Petersburg

I disse årene jobbet Johann Bernoullis to sønner, Daniel og Nicolas , ved Imperial Academy of Sciences i St. Petersburg . I 1726 døde Nicolas og Daniel tok sin brors leder for matematikk og fysikk , og lot hans leder for medisin stå ledig . For dette gjorde han derfor navnet Euler, som tok imot. Han fant også arbeid som lege i den russiske marinen . [3]

Euler ankom den russiske hovedstaden i 1727 . Kort tid etter flyttet han fra medisinsk avdeling til matematikkavdelingen . I disse årene bodde han hos Daniel Bernoulli som han startet et intenst matematisk samarbeid med. Takket være hans utrolige minne lærte Euler russisk lett . Akademiet var mer enn et undervisningssted et sted for forskning. Faktisk hadde Peter den store opprettet akademiet for å kunne bygge bro over det vitenskapelige gapet mellom det imperiale Russland og Vesten.

Etter døden til Catherine I, som hadde fortsatt Peters politikk, kom Peter II til makten . Sistnevnte, mistenksom overfor utenlandske forskere, kuttet midlene som var bestemt til Euler og hans kolleger. I 1734 giftet matematikeren seg med Katharina Gsell, datter av Georg, en maler ved akademiet . [4] Det unge paret flyttet til et hus nær elven Neva . De hadde tretten barn, men bare fem overlevde. [5]

Berlin

Den konstante uroen i Russland hadde slitt Euler som elsket et mer fredelig liv. Han ble tilbudt en plass ved Berlin Academy av Frederick II av Preussen . Euler aksepterte og dro til Berlin i 1741 . Han bodde i Berlin de neste 25 årene, og der fikk han også muligheten til å møte Johann Sebastian Bach . I løpet av et kvart århundre publiserte han 380 artikler , i tillegg til sine to hovedverk, Introductio in analysin infinitorum , fra 1748 og Institutiones calculi differentialis (1755). [6] På den tiden fungerte Euler også som lærer for prinsessen av Anhalt- Dessau , Fredericks niese. Han vil skrive deg over 200 brev om vitenskapene . De ble utgitt i en bok som solgte mye: Brev til en tysk prinsesse . Boken, hvis popularitet vitner om Eulers sterke populariseringsevne, gir også mye informasjon om hans personlighet og religiøse tro .

Selv om hans tilstedeværelse ga akademiet enorm prestisje , måtte Euler forlate Berlin på grunn av en konflikt med kongen.Sistnevnte anså ham faktisk for lite raffinert for hoffet hans som, blant andre personligheter, til og med huset Voltaire . Euler var en enkel religiøs og en hardtarbeidende og hadde veldig konvensjonelle ideer og smaker. Helt motsatt av Voltaire , og dette gjorde ham til målet for filosofens vitser.

I tillegg til disse kontrastene, kritiserte Fredrik den store av Preussen også ingeniørferdighetene hans ved en anledning:

«Jeg ville ha en vannstråle i hagen min: Euler beregnet kraften til hjulene som var nødvendig for å frakte vannet inn i et reservoar, hvorfra det ville falle, gjennom kanaler og til slutt strømme inn i Sanssouci . Kvernen min var bygget med geometriske kriterier og kunne ikke ta en slurk vann mer enn femti skritt fra reservoaret. Forfengelighet av forfengelighet! Forfengelighet av geometri! [7] "

Synsforringelse

Eulers syn forverret seg mye i løpet av karrieren. Etter å ha lidd av cerebral feber, ble han i 1735 nesten blind på høyre øye. Blant årsakene til denne blindheten, regnet Euler det samvittighetsfulle kartografiarbeidet han utførte for Academy of St. Petersburg . Eulers syn fra det øyet ble så dårligere under oppholdet i Tyskland at Frederick II ga ham kallenavnet "mine kykloper". Senere led Euler av grå stær i venstre øye, og dette gjorde ham nesten helt blind. Ikke desto mindre hadde tilstanden hans liten effekt på ytelsen hans: han kompenserte for synet med sine mentale evner til beregning og fotografisk hukommelse. For eksempel kunne Euler gjenta Virgils Aeneid fra start til slutt uten å nøle og si første og siste linje på hver side i utgaven han hadde lært den. Etter tapet av synet ble Euler hjulpet av Nicolaus Fuss , som fungerte som hans sekretær.

Gå tilbake til Russland

I Russland stabiliserte den politiske situasjonen seg og Katarina den store , som kom til makten i 1766 , inviterte ham til St. Petersburg. Han aksepterte og returnerte til Russland hvor han ble til sin død. Oppholdet hans ble opprinnelig preget av en tragisk hendelse: i 1771 , mens han jobbet i studioet sitt, brøt det ut en brann i St. Petersburg . Euler, praktisk talt blind, la ikke merke til det før kontoret hans var fullstendig oppslukt av flammer. Han ble heldigvis brakt i sikkerhet sammen med store deler av biblioteket hans , men alle notatene hans gikk opp i røyk.

I 1773 mistet han sin kone Katharina, etter førti års ekteskap. Han giftet seg på nytt tre år senere. Den 18. september 1783 , på en dag som alle andre, der han diskuterte den nyoppdagede planeten Uranus , spøkte med nevøen og lærte ham, ble han plutselig truffet av en hjerneblødning og døde noen timer senere. Han ble 76 år gammel. Hans lovtale ble skrevet av Nicolaus Fuss og filosofen og matematikeren Marquis de Condorcet , som kommenterte kort:

( FR )

"[...] cessa de calculer et de vivre."

( IT )

"[...] han har sluttet å beregne og leve."

( Eulogy of Euler . [9] )

Eulers matematiske bidrag

Matematisk notasjon

Euler introduserte mange notasjoner som fortsatt er i bruk i dag: blant disse, for funksjonen , [10] den nåværende notasjonen for trigonometriske funksjoner som sinus og cosinus , og den greske bokstaven Σ for summeringen. Han brukte først bokstaven for å indikere basen til naturlige logaritmer , et reelt tall som nå også kalles Eulers tall , og bokstaven i for å indikere den imaginære enheten . [11] Bruken av den greske bokstaven π for å indikere pi , introdusert på begynnelsen av 1700-tallet av William Jones, ble standard etter Eulers bruk av den. [12]

Neperos nummer

Et betydelig eksempel på hvordan notasjonene som ble brukt av Euler gradvis tok over, er listen over notasjonene som ble brukt for å angi antallet og mellom 1690 og 1787 , hentet fra en bok av Florian Cajori , en matematiker fra 1800-tallet [13] . I denne listen presenterer Cajori de forskjellige symbolene for tallet og . Siden introduksjonen av Euler har notasjonen hans blitt nesten universelt akseptert, selv om det ikke er mangel på unntak.

Årsaken til Eulers valg er ukjent: det kan være initialen til " eksponentiell " eller den første bokstaven i alfabetet som ennå ikke er brukt i matematikk (bokstavene a , b , c , d ble mye brukt).

Kompleks analyse

Euler gjort viktige bidrag til studiet av komplekse tall . Han oppdaget det som nå kalles Eulers formel :

Fra dette hentet han identiteten til Euler :

Denne formelen, ansett av Richard Feynman for å være " den vakreste formelen i all matematikk ", kobler harmonisk sammen fem ekstremt viktige tall: e , π , i , 1 og 0 . [14] I 1988 kåret leserne av Mathematical Intelligencer den som "The Most Beautiful Mathematical Formula Ever". Videre var Euler oppdageren av tre av de fem mest stemte formlene. [15]

Analyse

Analyse var det viktigste studiefeltet på det attende århundre , og Bernoulli , venner av Euler, var de ledende ekspertene på feltet. Eulers hovedmål var å fange uendelighet , å utføre operasjoner som ennå ikke var godt formalisert, for eksempel summer og produkter av et uendelig antall tall. Selv om disse operasjonene på den tiden manglet et solid formell grunnlag (gitt i dag av konseptet om grensen til en sekvens og av den aksiomatiske strukturen til reelle tall ) og bevisene derfor ikke var helt strenge, [16] førte likevel til mange korrekte resultater at de tok analysen et stort skritt fremover.

Først introduserte Euler funksjonsbegrepet , bruken av eksponentialfunksjonen og logaritmer . Han fant måter å uttrykke de forskjellige logaritmiske funksjonene i form av serier og definerte logaritmene for komplekse og negative tall , og utvidet omfanget kraftig.

Euler beregnet deretter resultatet av et visst antall viktige serier, selv om, som nevnt, på den tiden betydningen av "sum og/eller produkt av uendelige vilkår" ennå ikke var strengt formalisert. For eksempel,

Han oppdaget også utviklingen av arctangensen

I 1735 løste han Basel-problemet : [16]

Senere fant han den lukkede formen for summen av inversen til hver partall potens. Dermed definerte han implisitt Riemann zeta-funksjonen . Ved å studere denne funksjonen oppdaget han senere Eulers produkt og foreslo først refleksjonsformelen for zeta-funksjonen . Han beviste uendeligheten av primtall fra divergensen til den harmoniske serien .

En overraskende Euler-serie, som kan kalles den "korrekte harmoniske serien", relaterer pi til inversene til alle naturlige tall: [17]

Tegnene på begrepene, etter de to første, bestemmes som følger:

Konvergensen er veldig langsom, [18] så den er ikke egnet for beregninger, men den er fortsatt en av de mest elegante av seriene som konvergerer til pi.

Takket være disse resultatene banet Euler også vei for anvendelse av analytiske metoder i tallteori : han forente to forskjellige grener av matematikken og introduserte et nytt studiefelt, analytisk tallteori . I det følgende århundre ville dette komme til formuleringen av viktige teoremer og til formuleringen av Riemann-hypotesen . [19]

Videre introduserte Euler gammafunksjonen og en ny metode for å løse fjerdegradsligningen . Han fant en metode for å beregne integraler ved hjelp av komplekse grenser. Han introduserte Euler-Mascheroni-konstanten definert som:

Til slutt bidro Euler enormt til fødselen av variasjonsregningen med Euler-Lagrange-ligningene .

Tallteori

Eulers store interesse for tallteori ble utløst av hans venn Christian Goldbach . Mye av arbeidet hans med tallteori er opptatt av å bevise (eller tilbakevise) Pierre de Fermats mange formodninger .

Euler beviste korrelasjonen mellom primtall og Riemanns zeta-funksjon ved å oppdage Eulers produktformel . Deretter beviste han Newtons identiteter , Fermats lille teorem, Fermats teorem om summene av to kvadrater og ga viktige bidrag til løsningen av fire-kvadrat-teoremet og til forståelsen av perfekte tall . Han oppfant Eulers funksjon phi φ (n) som tildeler hvert naturlig tall antallet tall som er mindre enn det og coprime til det. Med denne funksjonen generaliserte han Fermats lille teorem ( Eulers teorem ). Euler antok også loven om kvadratisk gjensidighet .

En av Eulers største suksesser på dette feltet var imidlertid demonstrasjonen av Fermats siste teorem for det spesielle tilfellet der n = 3, dvs. demonstrasjonen av at summen av to terninger ikke kan være lik en terning . Dette beviset utføres ved uendelig nedstigning og bruker også komplekse tall .

I 1736 løste Euler problemet med Königsberg-broene . Byen Königsberg (nå Kaliningrad ) krysses av elven Pregel og dens sideelver og har to store øyer som er forbundet med hverandre og til de to hovedområdene i byen med syv broer. Spørsmålet er om det er mulig med en tur å følge en sti som krysser hver bru én gang og bare én gang og gå tilbake til utgangspunktet. Euler beviste at den antatte vandringen ikke var mulig på grunn av det odde antallet noder som ble med buene (det vil si av veiene som ble med broene). Eulers løsning ga opphav til teorien om grafer , som deretter ville utvikle seg og gi opphav til topologi [20] .

Euler introduserte deretter formelen for konvekse polyedre som forener antall toppunkter V, kanter S og flater F i den såkalte Euler-relasjonen :

Mer generelt er tallet en viktig konstant, definert for mange geometriske enheter (for eksempel for polygoner er ), kalt Euler-karakteristikken . Det ble studert av Cauchy (som blant annet ga den første strenge demonstrasjonen av Eulers forhold) og deretter utvidet av Poincaré til mange topologiske objekter (som for eksempel torus , som har ).

Analytisk geometri

Euler ga også viktige bidrag til analytisk geometri som formuleringen av ligningene som beskriver kjeglen , sylinderen og de forskjellige rotasjonsflatene . Han viste også at den geodesiske som passerer gjennom to punkter på en hvilken som helst overflate, blir til en rett linje gjennom disse to punktene hvis overflaten er flatet. Han var den første til å betrakte alle kurver sammen uten en forkjærlighet for kjegleformer og til å studere i dybden også kurvene generert av transcendente funksjoner som sinusoid .

Han utførte også viktig arbeid i klassifiseringen av kurver og flater. I Introductio in analysin infinitorum er det også en fullstendig og uttømmende behandling av de polare koordinatene som er eksponert i moderne form. Av denne grunn, selv i dag, blir Euler ofte feilaktig angitt som oppfinneren av dette notasjonssystemet.

Han beviste også et par enkle teoremer med ren geometri, for eksempel påstanden om at circumcenter , tyngdepunkt , og ortosenter av en trekant alltid er på linje. Til hans ære ble denne linjen kalt Eulers linje .

Anvendt matematikk

Noen av Eulers største suksesser var i bruken av analytiske metoder på reelle problemer, med bruk av Venn-diagrammer , Euler-tall , konstanter, kontinuerlige og integrerte brøker . Han integrerte Leibniz sin integralregning med Newtons metode for fluksjoner som gjorde det lettere for ham å løse noen fysiske problemer. Spesielt bidro han til studiet av tilnærmingen av integraler med forskjellige resultater, inkludert Euler-metoden og Euler-Maclaurin-formelen .

Musikkteori

Blant Eulers mindre kjente bidrag er også et forsøk på å formulere en musikkteori helt på matematisk grunnlag . Til dette er viet hans avhandling Tentamen novae theoriae musicae fra 1739 [21] , og en rekke andre skrifter. Dette arbeidet er en del av en linje med matematisk forskning som Marin Mersenne og Descartes allerede hadde bidratt til , og som senere vil bli tatt opp av Jean d'Alembert , Hermann von Helmholtz og andre. I sin In Praise of Leonhard Euler ( 1783 ) kalte hans assistent Nikolaus Fuss den avhandlingen

«Et dyptgående verk, fullt av nye ideer presentert fra et originalt synspunkt; likevel har den ikke hatt stor popularitet, siden den inneholder for mye geometri for musikerne, og for mye musikk for matematikerne."

Fysikk og astronomi

Euler var med på å utvikle Euler-Bernoulli-stråleligningen , en milepæl innen ingeniørfag . Euler løste ikke bare mange fysiske problemer, men hadde ideen om å bruke de samme teknikkene på himmelmekanikk . Han utførte forskjellige astronomiske arbeider som den nøyaktige bestemmelsen av banene til kometer og andre himmellegemer, og beregningen av Solens parallakse . Han var også forfatteren av Euler-ligningene i væskedynamikk .

Filosofiske og religiøse prinsipper

Mye av det vi vet om Eulers filosofi kommer til oss fra brev til en tysk prinsesse .

Selv om han var den største matematikeren i opplysningstiden, var Eulers ideer svært fjernt fra opplysningstiden . Han var faktisk en inderlig religiøs og en enkel person. Euler var protestant og var også interessert i teologi . Dette demonstreres av noen av tekstene hans som Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister ( Forsvar av guddommelige åpenbaringer mot innvendinger fra fritenkere ). John Derbyshire bemerker i sin Obsession with Prime Numbers : [22] ,

"Vi ble fortalt at mens Euler bodde i Berlin" hver kveld samlet han familien og leste et kapittel i Bibelen, som han fulgte med en bønn. Og dette skjedde mens han deltok i en rettssak der, ifølge Macaulay, "absurditeten til alle kjente religioner blant menn" var hovedtemaet for samtalen.

( John Derbyshire, besettelse med primtall )

Han er til og med nevnt i den lutherske kirkes helligekalender 24. mai. [23]

En anekdote sier at mens Euler var ved det russiske hoffet, kom Denis Diderot dit . Filosofen , som oppfordret til ateisme , spurte hånende Euler om han hadde et matematisk bevis på Guds eksistens . Euler svarte: "Herre , derfor eksisterer Gud !" Diderot, som (ifølge historien) ikke forsto matematikk , var desorientert og kunne ikke tilbakevise bevisene, og forlot retten dagen etter. Anekdoten er nesten helt sikkert falsk siden Diderot var en dyktig matematiker [24] .

Fungerer

Blant Eulers verk er:

Merknader

  1. ^ Guglielmo Libri, Journal des savants , 1846, 51.
    "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."
  2. ^ Ioan James, Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann , Cambridge, 2002, s. 2, ISBN  0-521-52094-0 .
  3. ^ Calinger, Ronald, Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) , i Historia Mathematica , vol. 23, n. 2, 1996, s. 127, DOI : 10.1006 / hmat.1996.0015 .
  4. ^ IR Gekker og AA Euler, Leonhard Eulers familie og etterkommere , i NN Bogoliubov, GK Mikhaĭlov og AP Yushkevich (red), Euler og moderne vitenskap , Mathematical Association of America, 2007, ISBN  0-88385-564-X . , s. 402.
  5. ^ Nicolas Fuss, Eulogy of Euler av Fuss , på www-history.mcs.st-and.ac.uk . Hentet 2006-08-30 .
  6. ^ E212 - Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina seriesrum , på math.dartmouth.edu , Dartmouth.
  7. ^ Fredrik II av Preussen , Letters of Voltaire and Frederick the Great , Letter H 7434, 25. januar 1778 , tr. Richard Aldington , New York, Brentano's, 1927.
  8. ^ Calinger, Ronald, Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) , i Historia Mathematica , vol. 23, n. 2, 1996, s. 154–155, DOI : 10.1006 / hmat.1996.0015 .
  9. ^ Marquis de Condorcet, Eulogy of Euler . Condorcet.
  10. ^ William Dunham , Euler: The Master of Us All , The Mathematical Association of America, 1999, s. 17.
  11. ^ Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, A History of Mathematics , John Wiley & Sons, 1991, s. 439-445, ISBN  0-471-54397-7 .
  12. ^ Stephen Wolfram, Mathematical Notation: Past and Future , på stephenwolfram.com . Hentet 20. mai 2017 .
  13. ^ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations .
  14. ^ Richard Feynman , kapittel 22: Algebra , i The Feynman Lectures on Physics : Volume I , juni 1970, s. 10.
  15. ^ David Wells, Er disse de vakreste? , i Mathematical Intelligencer , vol. 12, nei. 3, 1990, s. 37–41, DOI : 10.1007 / BF03024015 .
    David Wells, hvilken er den vakreste? , i Mathematical Intelligencer , vol. 10, nei. 4, 1988, s. 30–31, DOI : 10.1007 / BF03023741 .
    Se også: Ivars Peterson, The Mathematical Tourist , 1998.
  16. ^ a b Gerhard Wanner, Harrier, Ernst, Analysis by its history , 1st, Springer, mars 2005, s. 62.
  17. ^ Carl B. Boyer , History of Mathematics , Oscar Saggi Mondadori, s. 516.
  18. ^ Det tar 500 termer for å komme til 3.01, 5000 termer for 3.10 og 3.000.000 termer for 3.14
  19. ^ William Dunham, 3,4 , i Euler: The Master of Us All , The Mathematical Association of America, 1999.
  20. ^ Gerald Alexanderson, Euler og Königsbergs broer: et historisk syn , i Bulletin of the American Mathematical Society , juli 2006.
  21. ^ Teksten til dette bindet finner du her
  22. ^ Derbishire John, The Obsession of Prime Numbers, s. 78
  23. ^ Leonhard Euler, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister , i Orell-Fussli (red.), Leonhardi Euleri Opera Omnia (serie 3) , vol. 12, 1960.
  24. ^ BH Brown, The Euler-Diderot Anecdote , i The American Mathematical Monthly , vol. 49, n. 5, mai 1942, s. 302-303.

Bibliografi

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker