Omkrets

I geometri er en omkrets det geometriske stedet for punkter på planet like langt fra et fast punkt kalt sentrum . Avstanden til ethvert punkt på omkretsen fra sentrum kalles radius .

Generell informasjon

Sirkler er enkle lukkede kurver som deler planet i en indre og en ytre (uendelig) overflate. Overflaten av planet i en omkrets, sammen med selve omkretsen, kalles en sirkel , så:

omkretsen er en omkrets (en lukket buet linje , målt i centimeter eller meter ),
sirkelen er arealet (målt i kvadratcentimeter eller kvadratmeter ) .

For de andre overflatene av det geometriske planet skiller det italienske språket ikke området og omkretsen med to forskjellige ord. På engelsk , i tillegg til den tilsvarende omkretsen og sirkelen , indikerer ordet disk et område av planet med noen viktige egenskaper, som kan lukkes, eller åpnes, hvis det ikke inneholder sirkelen som det avgrenser. Legg merke til omkretsen til en sirkel, for enhver (lukket) overflate av det geometriske planet kan en innskrevet omkrets og en omskrevet omkrets tegnes .

Omkretsen er det spesielle tilfellet av en ellipse , der de to brennpunktene faller sammen i samme punkt , som er midten av omkretsen: ellipsen har to sentre (kalt foci), omkretsen har bare ett senter. Omkretsen sies derfor å ha null eksentrisitet .
På samme måte er beregningsformelen for arealet av sirkelen et spesialtilfelle av formelen for arealet av en ellipse.

Ved å beregne variasjonene vises det at omkretsen er den flate figuren som avgrenser maksimalt areal per kvadratomkretsenhet .

En sirkel er også et spesielt tilfelle av sentral symmetri , siden alle punktene i sirkelen er like langt fra sentrum av sirkelen.
Formelen for å finne lengden på omkretsen er:

\ mathrm {Crf} = 2 \ cdot \ pi \ cdot r

eller:

\ mathrm {Crf} = d \ cdot \ pi

Hvor er det:

$\ mathrm {Crf}$ står for lengde (antall) av omkretsen (geometrisk sted);
$\ pi$ står for pi ( ); ${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 141592653589793 \ ldots}$
$r$ står for radius av sirkelen;
$d$ står for sirkeldiameter .

Omkrets i det kartesiske planet

I analytisk geometri kan en omkrets i et plan med fordel beskrives både ved hjelp av kartesiske koordinater , og ved hjelp av polare koordinater, så vel som i parametrisk form.

Kartesisk ligning for sirkelen

I et kartesisk referansesystem er omkretsen med sentrum og radius lokuset til punktene karakterisert ved ligningen : $Oksy$ $(\ alfa, \ beta)$ $r$

(x- \ alfa) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}

det vil si at det er settet av alle og bare punktene som er fjernt fra . $r$ $(\ alfa, \ beta)$

Den kanoniske formen er ofte gitt til den mer generelle ligningen:

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + c = 0

knyttet til den forrige av følgende likheter:

a = -2 \ alfa

, tilsvarende:

{\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {a} {2}}}

b = -2 \ beta

, tilsvarende:

{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {b} {2}}}

c = \ alfa ^ {2} + \ beta ^ {2} -r ^ {2}

, eller tilsvarende .

{\ displaystyle r = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c}}}

Av dette følger det at hvis omkretsen degenererer i et enkelt punkt, hvis det geometriske stedet (i det virkelige kartesiske planet) beskrevet av ligningen ikke er en sirkel, men det tomme settet. $\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c = 0$ $(\ alfa, \ beta)$ $\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c <0$

Hvis sentrum av sirkelen er opprinnelsen , blir ligningen: $(0, 0)$

x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}

Hvis omkretsen går gjennom origo , og ligningen blir: $(0, 0)$ $c = 0$

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by = 0

Hvis omkretsen er sentrert på x-aksen, og ligningen blir: $b = 0$

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + c = 0

Hvis omkretsen er sentrert på y-aksen, og ligningen blir: $a = 0$

x ^ {2} + y ^ {2} + by + c = 0

Ligning i polare koordinater

I de polare koordinatene og ligningen av omkretsen med sentrum ved origo og radius er tydeligvis gitt av ligningen: $\rho$ $\ theta$ $r$

\ rho = r ~.

Parametrisk ligning

En sirkel hvis sentrum har koordinater og radius er beskrevet med følgende parametriske form: $C.$ $(x_0, y_0)$ $R.$

$C: \ venstre \ {{\ begynne {matrise} x = x_ {0} + R \, \ cos (t) & \\ & t \ i [0; 2 \ pi] \\ y = y_ {0} + R \ \ sin (t) & \ end {matrise}} \ høyre.$

Klassiske problemer med omkretsen i det kartesiske planet

Sirkel hvis senter og radius er kjent

Bare bruk ligningen . Følgende kan også tilskrives dette problemet $(x- \ alfa) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}$

en diameter på omkretsen er kjent: diameteren er to ganger radius og senteret er midtpunktet av diameteren
to punkter i omkretsen og en rett linje som sentrum ligger på er kjent: aksen til en korde går alltid gjennom midten av omkretsen

Omkrets med tre punkter

Geometrisk metode

Bare husk at aksen til en streng alltid går gjennom midten av omkretsen. Løsningsprosedyren er som følger:

aksene til to strenger er bygget;
systemet er laget mellom likningene til de to aksene;
løsningen av systemet er midten av omkretsen;
på dette punktet kan radiusen beregnes.

Algebraisk metode

Problemet har tre ukjente: koeffisientene til den kanoniske omkretsligningen . Vi krever passasjen gjennom de tre punktene gitt av oppgaven, og vi får et lineært system i tre likninger og tre ukjente . $a, b, c$ $x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + c = 0$ $a, b, c$

Tangentlinjer utført fra et eksternt punkt

Geometrisk metode

Bare husk at avstanden til tangentlinjen fra sentrum er lik radiusen til selve omkretsen. Løsningsprosedyren er som følger:

en bunt av rette linjer er konstruert med det ytre punktet i sentrum;
avstanden mellom bjelkens rette linjer fra midten av omkretsen må være lik radiusen.

Algebraisk metode

Bare husk at i et andregradssystem (linjeomkrets) oppstår tangenstilstanden når systemet tillater to reelle og sammenfallende løsninger, det vil si når andregradsligningen knyttet til systemet har . $\ Delta = 0$

Tangentlinje på et punkt i omkretsen

Dette problemet løses ved å huske at linjen som tangerer omkretsen er vinkelrett på radius ved tangenspunktet. Derfor, bortsett fra spesielle tilfeller der tangenten er parallell med y-aksen, er løsningsprosedyren som følger:

beregne vinkelkoeffisienten til den rette linjen til radiusen som har tangenspunktet som ytterpunkt;
vinkelkoeffisienten til vinkelrett på denne radiusen beregnes;
og deretter beregnes ligningen til den perpendikulære linjen som går gjennom tangentpunktet.

Alternativt er det tilstrekkelig å bruke formelen for å doble omkretsen, så ligningen til linjen som tangerer omkretsen ved punktet er ganske enkelt ligningen $x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + c = 0$ $(x_0, y_0)$

{\ displaystyle xx_ {0} + yy_ {0} + a {\ frac {x + x_ {0}} {2}} + b {\ frac {y + y_ {0}} {2}} + c = 0 ,}

hvor de er gitt. $x_ {0}, y_ {0}, a, b, c$

Omkrets i det komplekse planet

I det komplekse planet kan en sirkel med sentrum origo og radius uttrykkes ved den parametriske ligningen $R.$

z (t) = Re ^ {{it}}

for . For å innse at denne formelen beskriver en sirkel er det tilstrekkelig å vurdere de parametriske ligningene beskrevet ovenfor og sammenligne dem med Eulers formel . $t \ i [0,2 \ pi]$

Omkrets i rommet

Det er mulig å beskrive en sirkel i rommet som skjæringspunktet mellom en kule S med et plan . For å beregne radiusen til en omkrets beskrevet på følgende måte, kan Pythagoras teorem brukes : $\ pi$

avstanden til planet fra sentrum av kulen S beregnes $d (\ pi, P)$ $\ pi$
kalt R sfærens radius S , gjelder radiusen til omkretsen $r_ {c}$

$r_ {c} = {\ sqrt {R ^ {2} -d ^ {2} (\ pi, P)}}$ .

Eksempel

Omkretsen

$C: \ venstre \ {{\ begynne {matrise} x + y + z = 1 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 4 \\\ slutt {matrise}} \ høyre .$

er skjæringspunktet mellom flyet

{\ displaystyle \ pi: x + y + z = 1,}

med sfæren S som har senteropprinnelse og radius 2. Avstanden til sfærens senter fra planet er gyldig . Avstanden til sfærens sentrum fra planet er mindre enn sfærens radius. Så flyet skjærer sfæren S. På dette tidspunktet beregnes radiusen til omkretsen ved å bruke Pythagoras teorem : ${\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}}$ $\ pi$ $r_ {c}$

r_ {c} = {\ sqrt {4 - {\ frac {1} {3}}}} = {\ sqrt {{\ frac {11} {3}}}}

Omkretskomponenter og deres egenskaper

Alle omkretsene er like; følgelig er omkretsen proporsjonal med radius:

Omkretslengde =

{\ displaystyle 2 \ pi r.}

En linje som møter en sirkel på to punkter kalles en sekant , mens en som berører sirkelen på bare ett punkt, kalt et tangentpunkt, kalles en tangent . Radiusen som forbinder midten av omkretsen med tangenspunktet er alltid vinkelrett på tangenten. Tatt to punkter på omkretsen deler disse omkretsen i to buer . Hvis de to buene har samme lengde, kalles de halvsirkler. Segmentet som forbinder to punkter på omkretsen kalles akkorden . Korden med maksimal lengde, som går gjennom midten, kalles diameteren , og er lik to ganger radius.

Uendelige sirkler går gjennom to punkter, og stedet for sentrene deres er aksen til segmentet som forbinder de to punktene. Perpendikulæren ledet av midten av en omkrets til en av akkordene deler den i to. To kongruente strenger har samme avstand fra sentrum. Hvis rette linjer trekkes fra et punkt utenfor en sentersirkel og tangerer den, er tangentsegmentene mellom og kontaktpunktene med sirkelen kongruente, og segmentet er halveringslinje for toppunktvinkelen . $P.$ $ELLER$ $r$ $s$ $P.$ $OP$ ${\ displaystyle rs}$ $P.$

En og bare en omkrets går gjennom tre ikke-justerte punkter, hvis sentrum sammenfaller med skjæringspunktet mellom aksene til segmentene som forbinder punktene. Ligningen for omkretsen som går gjennom punktene ,, kan uttrykkes som følger: $(x_1, y_1)$ $(x_2, y_2)$ $(x_ {3}, y_ {3})$

\ det {\ begynne {bmatrix} x & y & x ^ {2} + y ^ {2} & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ {3} & x_ {3} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} & 1 \\\ end {bmatrise}} = 0.

hvor uttrykket til venstre er determinanten for matrisen .

Radikal akse

Gitt to kryssende sirkler, er den radikale aksen [1] definert som den rette linjen som går gjennom de to punktene til felles ( basispunkter ). Med enkle beregninger, med utgangspunkt i den kanoniske ligningen og med anførsel av koeffisientene til den andre sirkelen med anførselstegn, får vi at denne linjen har en ligning og er vinkelrett på linjen som forbinder sentrene til sirklene. Definisjonen strekker seg lett til tilfellet med tangentsirkler, og kaller den radikale aksen linjen som tangerer de to sirklene i fellespunktet. For å utvide det også til tilfellet der sirklene ikke har noen punkter til felles, er den radikale aksen definert som linjen dannet av punktene som har samme kraft i forhold til de to sirklene. Dette konseptet kan generaliseres ytterligere ved å vurdere buntene av omkretser . En tilnærming som blant annet åpner for at de nevnte sakene kan behandles i fellesskap [2] . ${\ displaystyle (aa ') x + (bb') y + (cc ') = 0}$

Topologi

En topologisk sirkel oppnås ved å vurdere et lukket intervall på den reelle linjen og utstyre den med kvotienttopologien oppnådd ved å identifisere ytterpunktene.

Omkretsen har en naturlig struktur av differensierbar manifold av dimensjon 1, det er et kompakt og sammenkoblet rom, men ikke bare koblet , faktisk er dens grunnleggende gruppe gruppen av heltall . $\ mathbb {Z}$

Gruppestruktur

Omkretsen er naturlig utstyrt med den algebraiske gruppestrukturen : vi kan identifisere hvert punkt av omkretsen med vinkelen den danner i forhold til en forhåndsbestemt stråle (vanligvis abscisseaksen i et kartesisk referansesystem ) og definere summen av to punkter identifisert av hjørnene og som punktet identifisert av hjørnet . Det er umiddelbart å verifisere at omkretsen som følger med denne operasjonen bekrefter egenskapene til en gruppe og at den som gruppe er isomorf til kvotientgruppen . $\ alfa$ $\beta$ $\ alfa + \ beta$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$

Omkretsen er et eksempel på en Lie-gruppe .

Merknader

^ Definisjoner på nettstedet Politecnico di Torino
^ Se avsnittet Rotakse og skjæringspunkter for oppføringen på Bundles of Circumferences

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikiquote inneholder sitater om omkrets
Wiktionary inneholder ordboklemmaet « omkrets »
Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på omkrets

Eksterne lenker

( EN ) Circumference , i Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.