Euklidisk geometri er et matematisk system som tilskrives den aleksandrinske matematikeren Euklid , som beskrev det i sine Elementer . Dens geometri består i antagelsen av fem enkle og intuitive konsepter, kalt aksiomer eller postulater , og, i avledning fra nevnte aksiomer, av andre proposisjoner ( teoremer ) som ikke har noen motsetning til dem. Denne organiseringen av geometrien tillot introduksjonen av den rette linjen , planet , lengden og området .
Selv om mange av Euklids konklusjoner allerede var kjent for matematikere, [1] viste han hvordan de kunne organiseres på en deduktiv måte og med et logisk system . [2] Euklids elementer begynner med en analyse av plangeometri , som for tiden undervises på ungdomsskoler og brukes som en første tilnærming til matematiske bevis , og går deretter videre til solid geometri i tre dimensjoner . Etter Euklid ble det født spesielle typer geometrier som ikke nødvendigvis respekterer de fem postulatene; slike geometrier er definert som ikke-euklidiske .
Euklids fem postulater er: [3]
Vi merker umiddelbart en forskjell mellom de fire første, umiddelbart tydelige og praktisk talt verifiserbare med enkel bruk av blyant, linjal og kompass, og den femte, som ikke er preget av den førstes praktiske umiddelbarhet, mens den presenterer en mye mer involvert formulering. . Faktisk demonstrerer han de første 28 forslagene i den første boken av elementene uten å bruke det femte postulatet.
Det femte postulatet tilsvarer følgende aksiom, mer brukt i dag:
For et punkt utenfor en gitt linje passerer én og bare én linje parallelt med den.Ikke-euklidiske geometrier som hyperbolsk geometri er basert på brudd på disse postulatene, og spesielt på den femte .
Fra aksiomene kan vi utlede noen insidensforhold mellom punkter, linjer og plan. For eksempel:
Andre begreper blir da definert, for eksempel:
I 1899 foreslår David Hilbert (født i Königsberg 23. januar 1862 og døde i Göttingen 14. februar 1943) et korrekt aksiomatisk system for geometri . Ved å gjøre dette ble det gjort et forsøk på å bevise riktigheten av det femte postulatet ved absurditet, og da fordi i den originale versjonen er noen andre antakelser implisitt: for eksempel, i det første aksiomet, antydes det at linjen eksisterer og bare er en, og at det er to distinkte punkter; i det andre, at en rett linje har mer enn ett punkt; i det tredje, at det er minst tre ikke-justerte punkter i planet , at et rett linjesegment kan oversettes ved translasjon uten å deformere det, og så videre.
Grundlagen der Geometrie ble dermed publisert , som ga et komplett aksiomatisk system, basert på 21 aksiomer, for euklidisk geometri. Etter å ha gjort dette, ble det umiddelbart demonstrert av Henri Poincaré at hyperbolsk geometri , undersøkt av Giovanni Girolamo Saccheri , korrekt grunnlagt av Nikolaj Ivanovich Lobačevskij og bekreftet med en modell av Eugenio Beltrami , kunne settes i samsvar med euklidisk geometri, på en slik måte at en enhver selvmotsigelse av den ene ville også ha forårsaket ødeleggelsen av den andre.
For en fullstendig forståelse av euklidisk geometri er det nødvendig å definere grunnlaget den hviler på, de primitive konseptene :
Andre viktige konsepter er: strålen (en av de to delene der en linje forblir delt av et punkt), segmentet (delen av linjen mellom to punkter, inkludert det samme), halvplanet (en av de to delene ). hvor planet forblir delt av en rett linje, definert som origo eller grense ) og vinkelen (en av de to delene av planet avgrenset av to halvlinjer med felles origo). [5] Til slutt, definer polygonet som et lukket og ikke-sammenflettet polygon og omkretsen som settet med punkter P som har avstand r (med r > 0) fra et gitt punkt O (kalt sentrum ).
Spesielt med disse premissene begynner Euklid sine proposisjoner med å definere det første kongruenskriteriet (proposisjon 4), det andre kongruenskriteriet (proposisjon 6) og det tredje kongruenskriteriet (proposisjon 8). [7] Hvert av kriteriene respekterer kongruensaksiomene:
På disse egenskapene var Euklid i stand til å definere halveringslinjen til en vinkel og dens konstruksjon (proposisjon 9), og å bevise kongruensen til to vinkler motsatt av toppunktet, dvs. vinkler definert av to rette linjer, som skjærer hverandre, og som er overfor hverandre (proposisjon 15). [9]
En svært viktig del av euklidisk geometri utgjøres av teoremer. Hvert teorem består av tre hoveddeler: hypotesene (utgangsdataene, som ikke kan motsi seg), avhandlingen (det som må bevises) og beviset (settet av alle resonnementene som brukes for å bekrefte eller avkrefte oppgaven) .