Riemann zeta funksjon

I matematikk er Riemann zeta-funksjonen en funksjon som er av fundamental betydning i analytisk tallteori og har betydelige implikasjoner i fysikk , sannsynlighetsteori og statistikk .

De første resultatene angående denne funksjonen ble oppnådd av Leonhard Euler på det attende århundre, men navnet stammer fra Bernhard Riemann , som i teksten Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse , utgitt i 1859 , viste at det er en sammenheng mellom nuller av funksjonen og fordelingen av primtall . Spesielt Riemann observerte at en formodning om plasseringen av nuller (den berømte Riemann-hypotesen ) ville innebære at de førstnevnte er fordelt med en viss regelmessighet. [1]

Definisjon og første egenskaper

Riemann zeta-funksjonen er definert ved å analytisk forlenge Dirichlet -serien

konvergent for et hvilket som helst komplekst tall av reell del større enn . Gjennom utvidelsen bevist av Riemann utvides Dirichlet-serien til en holomorf funksjon på hele det komplekse planet bortsett fra , hvor den har en enkel pol med rest 1.

Zeta-funksjonen har enkle nuller i de partall negative heltall, kalt trivielle nuller , mens alle de andre nullene er ordnet symmetrisk i forhold til linjen , kalt den kritiske linjen , og til den reelle aksen (det vil si at konjugatet av en null er fortsatt et null). Videre er alle nuller alle inneholdt i stripen , kalt den kritiske stripen .

Historie

Den første som la merke til viktigheten av zeta-funksjonen i studiet av primtall var Euler som i 1737 beviste identiteten, kjent som Eulers produkt :

hvor er et reelt tall større enn . Takket være denne formelen, utledet Euler at serien

divergerer , og derfor er primtall ganske hyppige i settet av naturlige tall , mer enn perfekte kvadrater . Det kan også bemerkes at Eulers resonnement også gir et annet bevis på teoremet om uendeligheten av primtall , allerede elegant bevist av gresk matematikk .

I det påfølgende århundret viet Čebyšëv og andre matematikere seg til studiet av forståelsen av fordelingen av primtall , for det meste ved bruk av kombinatoriske metoder og Eulers produktformel, uten imidlertid å kunne bevise det asymptotiske forholdet

antatt av Legendre og nå kjent som primtallsteoremet .

Det var imidlertid med Bernhard Riemann at zeta-funksjonen begynte å ta en sentral rolle i tallteorien . I sin eneste artikkel om emnet, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse , vurderte Riemann zeta-funksjonen ikke lenger bare for en reell variabel , men for en kompleks variabel , og studerte den ved hjelp av komplekse analysemetoder . Hovedresultatene oppnådd av Riemann var: [2]

I tillegg til disse resultatene ga Riemann noen uprøvde formler, inkludert en formel med et asymptotisk estimat av antall ikke- trivielle nuller i zeta-funksjonen, og skrev at det er "svært sannsynlig" at alle disse nullene har en reell del lik 1/ 2 . Denne formodningen, som har tatt navnet til Riemann-hypotesen og fortsatt er en av de viktigste åpne problemene i all matematikk (den er for eksempel en del av de tjuetre oppgavene til Hilbert og av de syv oppgavene for årtusenet ) , takket være konsekvensene det ville innebære for distribusjon av primtall. [1]

I årene som fulgte videreutviklet ulike matematikere Riemanns ideer, og ga strenge bevis for noen av formlene hans. Spesielt ble de viktigste resultatene oppnådd av von Mangoldt og fremfor alt av Hadamard og de la Vallée Poussin . Sistnevnte klarte faktisk å bevise at zeta-funksjonen ikke har nuller på linjen og fra dette få primtallsteoremet som en konsekvens . [4]

Siden den gang har det blitt gjort store anstrengelser for å bevise Riemann-hypotesen, men det er kun oppnådd delvise resultater som fortsatt er veldig langt fra det Riemann antok. I umuligheten av å gjøre ytterligere fremskritt i denne retningen, har tallteoretikernes innsats flyttet til andre viktige problemer knyttet til zeta-funksjonen: studiet av veksten av zeta-funksjonen langs den kritiske linjen , studiet av dens øyeblikk og på transcendens eller rasjonalitet av verdiene på odde naturlige tall.

Hovedegenskaper

Eulers produkt

En av de grunnleggende egenskapene til Riemann zeta-funksjonen er Euler-produktet,

gyldig for , og hvor produktet er laget på alle primtall . Beviset for denne identiteten er basert på formelen for summen av den geometriske rekken og aritmetikkens grunnleggende teorem . Faktisk kan vi imidlertid beregne den geometriske summen

for hver første . Å multiplisere disse identitetene sammen med alle primtallene , for (denne ytterligere begrensningen tjener til å sikre absolutt konvergens, som også er nødvendig for påfølgende manipulasjoner) har vi:

siden ved aritmetikkens grunnleggende teorem kan hvert naturlig tall dekomponeres på en unik måte som et produkt av primpotenser.

Det er interessant å merke seg at Eulers formel har som konsekvens at det finnes uendelige primtall . Faktisk, hvis det bare var et endelig antall primtall, ville Eulers produkt være et endelig produkt og derfor ville det også være definert for , mens på dette tidspunktet har zeta-funksjonen en pol. Selv om det kan virke altfor komplisert for et teorem som det finnes elementære bevis for, er dette beviset veldig viktig ettersom en generalisering av det ble brukt av Dirichlet for å bevise teoremet om uendeligheten av primtall i aritmetiske progresjoner .

Dette produktet er opphavet til koblingen mellom zeta-funksjonen og primtall .

Noen relaterte serier

I tillegg til serien som vanligvis brukes til å definere den, er Riemann zeta-funksjonen også nært beslektet med noen andre Dirichlet-serier . Blant disse er serien for den logaritmiske deriverte av zeta-funksjonen av grunnleggende betydning,

som oppnås ved å utlede logaritmen til Eulers produkt. Funksjonen er von Mangoldt- funksjonen, en funksjon som bare er forskjellig fra null i potensene til primtallene. Fra denne identiteten kan formelen lett oppnås ved bruk av summen av deler

hvor er det

er funksjonen ψ til Čebyšëv , i utgangspunktet en vektet versjon av den oppregningsfunksjonen til primtallene ,.

Andre viktige Dirichlet-serier relatert til zeta-funksjonen er

hvor er Möbius-funksjonen , og

hvor er antall representasjoner av som produktet av heltall større enn . Spesielt,

hvor er divisorfunksjonen .

Også Dirichlet eta-funksjonen

den er relatert til Riemann zeta-funksjonen, gjennom relasjonen

og den kan brukes til å analytisk utvide zeta-funksjonen på halvplanet .

Funksjonell ligning

En av de viktigste egenskapene til Riemann zeta-funksjonen er at den tilfredsstiller følgende funksjonelle ligning :

hvor er Gamma-funksjonen . Denne formelen er en likhet mellom meromorfe funksjoner som er gyldige på hele det komplekse planet . For den negative reelle delen har alle funksjoner til høyre for likheten ingen poler . Derfor, siden i partalls sinusfunksjonen har enkle nuller , følger det at zeta-funksjonen har enkle nuller (kalt trivielle nuller ) i negative heltall. [5]

Denne ligningen kan sees på som en refleksjonsformel med hensyn til s = 1/2 og lar oss uttrykke zeta-funksjonen til venstre for linjen Re( s ) = 1/2 i form av zeta-funksjonen til høyre for denne. linje og av noen velkjente funksjoner. Riemann zeta-funksjonen kan "fullføres", og danner Riemann-funksjonen Xi ,

som er holomorft heltall og har nuller nøyaktig på de ikke-trivielle nullene til zeta-funksjonen. Den tilfredsstiller også den symmetriske funksjonelle ligningen

[6]

Zeros and the Riemann-hypotese

Euler-produktet har den umiddelbare konsekvensen at zeta-funksjonen ikke har nuller i halvplanet Re( s )> 1. Dessuten, takket være funksjonsligningen, følger det at de eneste nullene som zeta-funksjonen har i halvplanet Re ( s ) <0 er trivielle nuller. De gjenværende nullene kan derfor bare være i stripen 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 og, igjen takket være funksjonsligningen, er de symmetriske med hensyn til s = 1/2 og også med hensyn til linjen Im ( s ) = 0. [7] Følgelig, for hver ikke-triviell null σ + det er det en annen i σ - it og to andre i 1 -σ ± it (disse nullene faller sammen med de foregående hvis σ = 1/2). Videre, i sine bevis for primtallssetningen , viste Hadamard og de la Vallée Poussin at zeta-funksjonen ikke har nuller selv på den rette linjen Re( s ) = 1 (og derfor, for funksjonsligningen, ikke engang i Re) ( s ) = 0). Spesielt er alle de ikke-trivielle nullene til zeta-funksjonen i stripen 0 <Re( s ) <1, som derfor kalles den kritiske stripen . I sine memoarer fra 1859 uttrykte Riemann sin overbevisning om at nullene er ordnet midt i denne stripen, i den rette linjen Re( s ) = 1/2 (den kritiske linjen ); denne formodningen er fortsatt åpen og har tatt navnet Riemann hypotese (på engelsk Riemann hypothesis eller RH ).

Riemann-hypotesen er veldig langt fra å være bevist, og det er ennå ikke kjent om det eksisterer en ε> 0 slik at alle nullene σ + det til ζ er i σ <1-ε (Riemann-hypotesen tilsvarer ε = 1/2 ). Noen delresultater er imidlertid oppnådd; den første som utvidet den nullfrie regionen var de la Vallée Poussin, som i 1899 beviste at nullene til Riemann zeta-funksjonen tilfredsstiller ulikheten

for en konstant . Dette resultatet har blitt litt forbedret gjennom årene, med fremskritt brakt av John Edensor Littlewood , Nikolai Chudakov , Nikolai Mikhailovich Korobov og Ivan Matveevič Vinogradov . Sistnevnte i 1958 beviste det

for og for en konstant Bortsett fra noen forbedringer av konstanten (den siste av dem skyldes Ford, som beviste at den kan tas ), er Vinogradovs teorem fortsatt den mest kjente ulikheten for den nullfrie regionen. [8]

Riemann-von Mangoldt-formelen

I Riemanns minne er det et asymptotisk estimat for antall ikke-trivielle nuller med en imaginær del mellom og som har en tendens til uendelig. Definert

der det betegner helhetens kardinalitet , har vi

hvor betegner Landau-symbolet e

og angir emnet . Denne formelen, uttalt av Riemann, ble bevist av von Mangoldt i 1905 og er kjent som Riemann-von Mangoldt-formelen .

Det er klart at Riemann-hypotesen er sann hvis og bare hvis den er sammenfallende med

Det første relevante resultatet i denne retningen skyldes Hardy og Littlewood , som beviste det

Selberg forbedret senere dette anslaget ved å vise det

for noen konstant κ > 0. Deretter har det vært forskjellige forbedringer av denne konstanten, blant dem de mest bemerkelsesverdige er de av Levinson og Conrey som har vist, henholdsvis, at vi kan ta κ = 1/3 og κ = 2/5. [9] [10]

En annen viktig formodning om Riemann zeta-funksjonen (kalt Simple Zeros Conjecture ) hevder at alle nullene til funksjonen er enkle . Resultatene oppnådd angående prosentandelen av enkle nuller er svært like de for prosentandelen av nuller på den kritiske linjen, og også i dette tilfellet er det bevist at

for en konstant κ *> 2/5. [9] [11]

Korrelasjon mellom nuller

Fra den asymptotiske formelen for N ( T ) er det lett å vise at, forutsatt Riemann-hypotesen, er gjennomsnittsavstanden mellom to påfølgende nuller av ζ ( s ) i høyden T 2Π / log T. Imidlertid kan det være uvanlig lange og uvanlig korte intervaller uten nuller, og faktisk, forutsatt Riemann-hypotesen og indikerer med den n -te ikke-trivielle null (av positiv imaginær del) av Riemann zeta-funksjonen, har vi to konstanter λ 1 <1 og λ 2 > 1 slik at

Og

[12] [13]

En viktig formodning om nullene til Riemann zeta-funksjonen er Hugh Montgomery - parkorrelasjonsformodningen . Denne formodningen sier at vi har for hver β> α> 0

som det har en tendens til uendelig. [14]

Laurent-serien

Riemann zeta-funksjonen har en enkel stang i Laurent -serien på det punktet

hvor konstantene kalles Stieltjes-konstanter og er definert som:

Konstanten er derfor Euler-Mascheroni-konstanten .

Hadamards produkt

Basert på Weierstrass faktoriseringsteoremet beviste Jacques Hadamard at:

hvor er Euler-Mascheroni-konstanten og er de ikke-trivielle nullene til zeta-funksjonen.

Relasjon til digammafunksjonen

Zeta-funksjonen vises i Taylors serieutvidelse av digamma-funksjonen :

Relasjon til Mellin-transformasjonen

Mellin-transformasjonen av en funksjon er definert som:

Det er relatert til zeta-funksjonen. Faktisk:

hvor er Euler Gamma-funksjonen .

Dette tilsvarer å si at:

Denne representasjonen konvergerer for og kan derfor ikke brukes til å utvide domenet til funksjonen.

Hvis π ( x ) er antallet primtall mellom og så kan vi skrive at:

Og med tanke på funksjonen slik vi har det:

Verdiene til zeta-funksjonen

Å beregne de nøyaktige verdiene til zeta-funksjonen var en ganske vanskelig oppgave: Euler klarte i 1735 å ha en nøyaktig formel for zeta-funksjonen til . Metoden hans kan brukes på alle jevnaldrende :

; demonstrasjonen av dette faktum er løsningen på Basel-problemet .

Mer generelt har det vist seg at:

hvor er det tredje Bernoulli-tallet . Det er ingen lignende formler kjent for verdiene til zeta-funksjonen ved eller for andre odde (og større enn ) verdier . Imidlertid, ved å legge til de første leddene i serien som definerer zeta-funksjonen, kan omtrentlige verdier oppnås:

Rasjonaliteten og transcendensen til disse verdiene har vært i sentrum for interessen til mange forskere innen transcendent tallteori i mange år . Fra og med 2014 er det ikke kjent om de er transcendente eller ikke, mens irrasjonaliteten kun er demonstrert for Apéry-konstanten ζ (3) av Roger Apéry i 1978 . Det er også andre delresultater på irrasjonaliteten til disse konstantene; for eksempel er det vist at minst én av ζ (5), ζ (7), ζ (9) og ζ (11) er irrasjonell. [15]

Andre verdier

Riemanns verk

Lenge før Hadamard og de la Vallée Poussin beviste primtallsteoremet , publiserte Bernhard Riemann i 1859 (som nevnt) en artikkel som omhandlet zeta-funksjonen. I tillegg til å utvide domenet til funksjonen gjennom analytiske utvidelser , demonstrerte Riemann, med utgangspunkt i Eulers produkt , en ekstraordinær formel som fullt ut uttrykte korrelasjonen mellom primtall og zeta-funksjonen

hvor er det

som er integrallogaritmen og serien til høyre summeres over alle ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funksjonen. Formelen gir alltid en reell numerisk verdi selv om i er komplekse tall . Dette skyldes det faktum at de imaginære delene av nullene er symmetriske med hensyn til opprinnelsen. Med andre ord, hvis selv og denne egenskapen strekker seg også til . Derfor, ved å legge til disse mengdene, forsvinner den imaginære delen.

Merknader

  1. ^ a b Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis - offisiell problembeskrivelse ( PDF ), på claymath.org , Clay Mathematics Institute . Hentet 25. oktober 2008 (arkivert fra originalen 30. oktober 2008) .
  2. ^ Edwards , vedlegg .
  3. ^ En funksjonell ligning tilsvarende den oppnådd av Riemann hadde blitt antatt over et århundre tidligere av Euler for Dirichlets eta-funksjon .
  4. ^ Titchmarsh , kapittel 3
  5. ^ Merk at i positive heltall har funksjonen Γ (1- s ) enkle poler; i s = 1 tilsvarer denne polen til polen til zetaen på den andre siden av ligningen, mens for heltall større enn 1 blir polene kansellert av nullpunktene til sinusen og de trivielle nullene til ζ (1- s ) avhengig av på om heltallet er henholdsvis partall eller oddetall.
  6. ^ Merk at funksjonen oppnådd ved å fjerne fra definisjonen av ξ (s) også tilfredsstiller den funksjonelle ligningen i symmetrisk form. Den oppnådde funksjonen er imidlertid ikke heltall med to enkle poler i s = 1 og s = 0.
  7. ^ Dette er en konsekvens av det faktum at , der det indikerer det konjugerte komplekset til en .
  8. ^ Kevin Ford, Vinogradovs integral og grenser for Riemann zeta-funksjonen , i Proceedings of the London Mathematical Society . Tredje serie , vol. 85, n. 3, 2002, s. 565–633, DOI : 10.1112 / S0024611502013655 .
  9. ^ a b Brian Conrey , Mer enn to femtedeler av nullene til Riemann zeta-funksjonen er på den kritiske linjen , i Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 399, 1989, s. 1-26.
  10. ^ Verdien av κ ble deretter litt forbedret, se Null av Riemann zeta-funksjonen på den kritiske linjen av Shaoji Feng og Mer enn 41% av nullene til zeta-funksjonen er på den kritiske linjen av Brian Conrey, Hung Bui og Matthew Young .
  11. ^ Se nuller av Riemann zeta-funksjonen på den kritiske linjen av Shaoji Feng og Mer enn 41% av nullene til zeta-funksjonen er på den kritiske linjen av Brian Conrey, Hung Bui og Matthew Young .
  12. ^ Titchmarsh , s. 385-3866 .
  13. ^ De mest kjente verdiene for λ 1 og λ 2 (forutsatt Riemann-hypotesen), er λ 1 = 0,5155 og λ 2 = 2,6950. Se HM Bui , MB Milinovich; NC Ng, En merknad om gapene mellom påfølgende nuller i Riemann zeta-funksjonen , i Proc. Amer. Matte. Soc. , vol. 138, nr. 12, 2010.
  14. ^ Titchmarsh avsnitt 14.34
  15. ^ W. Zudilin, Et av tallene ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) er irrasjonelt, i Russ. Matte. Surv. , vol. 56, n. 4, 2001, s. 774–776.

Bibliografi

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker