Geometri

Geometri (fra latin : geometrĭa og dette fra gammelgresk : γεωμετρία , satt sammen av prefikset geo som refererer til ordet γή = "jord" og μετρία , metria = "målt jord", som bokstavelig talt er derfor mål for jorden . den delen av naturvitenskapelig matematikk som omhandler former i planet og i rommet og deres innbyrdes relasjoner.

Historie

Geometriens fødsel går tilbake til de gamle egypternes tidsalder . Herodot sier at på grunn av fenomenene med erosjon og avsetning på grunn av flom fra Nilen , varierte omfanget av egyptiske landbeholdninger hvert år og måtte derfor beregnes på nytt for skatteformål. Dermed oppsto behovet for å finne opp teknikker for å måle jorden ( geometri i den opprinnelige betydningen av begrepet).

Utviklingen av praktisk geometri er veldig eldgammel, på grunn av de mange bruksområdene den tillater og som den ble utviklet for, og i antikken var den noen ganger forbeholdt en kategori av lærde med prestelige attribusjoner. I antikkens Hellas , hovedsakelig på grunn av innflytelsen fra den athenske filosofen Platon og, selv før ham, av Anaximander fra Miletbruken av linjalen og kompasset seg massivt (selv om det ser ut til at disse instrumentene allerede ble oppfunnet andre steder ) og fremfor alt ble den nye ideen om å bruke demonstrative teknikker født. Gresk geometri fungerte som grunnlaget for utviklingen av geografi , astronomi , optikk , mekanikk og andre vitenskaper, samt ulike teknikker, for eksempel de for navigasjon .

I den greske sivilisasjonen , i tillegg til euklidisk geometri som fortsatt studeres på skolen, og teorien om kjegler, ble også sfærisk geometri og trigonometri ( flat og sfærisk ) født.

Euklidisk geometri

Geometrien sammenfaller frem til begynnelsen av XIX århundre med euklidisk geometri. Dette definerer punktet , den rette linjen og planet som primitive konsepter , og antar sannheten til noen aksiomer , Euklids aksiomer . Fra disse aksiomene utledes til og med komplekse teoremer , for eksempel Pythagoras teorem og teoremer for projektiv geometri .

Valget av primitive begreper og aksiomer er motivert av ønsket om å representere virkeligheten, og spesielt objekter i det tredimensjonale rommet vi lever i. Primitive konsepter som den rette linjen og planet er uformelt beskrevet som "tråder og papirark uten tykkelse", og på den annen side er mange gjenstander i det virkelige liv idealisert gjennom geometriske enheter som trekanten eller pyramiden . På denne måten, siden antikken, har teoremer gitt nyttige verktøy for disiplinene som angår rommet vi lever i: mekanikk , arkitektur , geografi , navigasjon , astronomi .

Plangeometri

Plangeometri omhandler geometriske figurer i planet . Med utgangspunkt i det primitive konseptet med en rett linje, er segmentene konstruert , og derfor polygonene som trekanten , kvadratet , femkanten , sekskanten , etc.

De viktige numeriske størrelsene i plangeometri er lengde , vinkel og areal . Hvert segment har en lengde, og to segmenter som møtes i den ene enden danner en vinkel. Hver polygon har et område. Mange plangeometriteoremer relaterer lengdene, vinklene og arealene som er tilstede i noen geometriske figurer. For eksempel viser summen av de indre vinklene til en trekant seg å være en flat vinkel , og arealet til et rektangel uttrykkes som produktet av lengdene på basissegmentene og høyden . Trigonometri studerer forholdet mellom vinkler og lengder .

Solid geometri

Solid geometri (eller stereometri) studerer geometriske konstruksjoner i rommet. Polyedere , som tetraederet , kuben og pyramiden , er bygget med segmenter og polygoner .

Polyedre har hjørner, kanter og ansikter. Hver kant har en lengde, og hvert ansikt har et område. I tillegg har polyederet et volum . Vi snakker også om dihedrale vinkler for å uttrykke vinkelen som dannes av to tilstøtende flater i en kant. Mange teoremer relaterer disse mengdene: for eksempel kan volumet av pyramiden uttrykkes gjennom arealet til grunnfiguren og lengden på høyden.

Buede figurer

Euklidisk geometri tar også hensyn til noen buede figurer. "Basis"-figurene er omkretsen i planet og sfæren i rommet, definert som stedet for punkter like langt fra et fast punkt. Med utgangspunkt i disse tallene er andre definert som kjeglen . Disse figurene er assosiert med mengder som ligner på polyedre: vi snakker derfor om lengden på omkretsen, arealet av sirkelen og volumet av sfæren.

Krysset i rommet av en kjegle med et plan danner en ny krumlinjet figur: avhengig av helningen til planet, er dette en ellipse , en parabel , en hyperbel eller en omkrets . Disse koniske seksjonene er de enkleste kurvene som kan oppnås i planet. Ved å rotere en figur rundt en rett linje får man andre buede figurer. For eksempel, ved å rotere en ellipse eller en parabel får du ellipsoiden og paraboloiden . Også i dette tilfellet kan volumet av objektet relateres til andre mengder. Euklidisk geometri gir imidlertid ikke tilstrekkelige verktøy til å gi en korrekt definisjon av lengde og areal for mange buede figurer.

Kartesisk geometri

Kartesisk (eller analytisk) geometri inkorporerer figurene og teoremer fra euklidisk geometri, og introduserer nye takket være to andre viktige matematikkdisipliner : algebra og analyse . Rommet (og planet) er representert med kartesiske koordinater . På denne måten kan hver geometrisk figur beskrives gjennom en eller flere ligninger (eller ulikheter ).

Linjer og plan er objekter som er et resultat av førstegradsligninger , mens kjegler er definert av andregradsligninger . Polynomligninger av høyere grad definerer nye buede objekter. Infinitesimalregningen gjør det mulig å utvide nøyaktig begrepene lengde og areal til disse nye figurene. Integralet er et nyttig analytisk verktøy for å bestemme disse mengdene. Vi snakker derfor generelt om kurver og flater i planet og i rommet.

Vektorrom

Linje (som går gjennom origo), plan (som inneholder origo) og rom er eksempler på vektorrom med henholdsvis dimensjon 1, 2 og 3: faktisk er hvert punkt uttrykt med henholdsvis 1, 2 eller 3 koordinater. Kartesisk geometri kan enkelt utvides til høyere dimensjoner: på denne måten defineres rom med dimensjon 4 og utover, som sett med punkter med 4 eller flere koordinater.

Takket være lineær algebra kan studiet av linjer og plan i rommet utvides til studiet av underrommene til et vektorrom av vilkårlig størrelse. Studiet av disse objektene er nært knyttet til lineære systemer og deres løsninger. I den høyere dimensjonen kan noen resultater stå i kontrast til den tredimensjonale geometriske intuisjonen vi er vant til. For eksempel, i et rom med dimensjon 4, kan to plan bare krysse hverandre i ett punkt.

Affin geometri

I et vektorrom spiller origo (dvs. punktet som aksene starter fra, med alle nullkoordinater) en grunnleggende rolle: For å kunne bruke lineær algebra effektivt , vurderes kun delrom som går gjennom origo. På denne måten får vi elegante relasjoner mellom underrom, slik som Grassmanns formel .

I affin geometri er den dominerende opprinnelsesrollen forlatt. Underrommene er ikke begrenset, og kan derfor være parallelle: dette skaper en betydelig mengde flere tilfeller. Spesielt Grassmanns formel er ikke lenger gyldig. Affint rom anses (inntil oppdagelsen av spesiell relativitet ) som det beste verktøyet for å lage modeller av universet, med 3 romlige dimensjoner og muligens 1 tidsdimensjon, uten "opphav" eller privilegerte punkter.

Algebraisk geometri

Fra det nittende århundre av blir algebra et overveiende verktøy for studiet av geometri. I et forsøk på å "pynte" bildet, og for å bringe mange egenskaper og teoremer tilbake til et stadig mindre antall fundamentale egenskaper, blir analytisk geometri gradvis innlemmet i et bredere begrep om geometri: "punkter ved uendelighet" er lagt til (skaper så projektive geometri ), og koordinatene til et punkt er laget for å variere ikke bare i reelle tall , men også i komplekse .

Projektiv geometri

Prosjektiv geometri ble født som et verktøy knyttet til perspektivtegning , og ble formalisert på det nittende århundre som en berikelse av kartesisk geometri. Projektiv geometri inkluderer "punkter i uendelig" og eliminerer derfor noen tilfeller som anses som irriterende, for eksempel tilstedeværelsen av parallelle linjer.

I denne geometrien er mange situasjoner forenklet: to distinkte plan krysser alltid i en rett linje, og forskjellige objekter med analytisk geometri (som kjegleellipsen, parabelen og hyperbelen) viser seg å være ekvivalente i denne nye konteksten. Projektiv geometri er også et eksempel på komprimering : på samme måte som det som skjer med stereografisk projeksjon , ved å legge til punkter til det uendelige blir rommet kompakt , det vil si "begrenset", "endelig".

Algebraiske varianter

Algebraisk geometri fokuserer i hovedsak på studiet av polynomer og deres røtter : objektene den omhandler, kalt algebraiske varianter , er settene med projektivt , affint eller euklidisk rom definert som steder med null av polynomer.

I det tjuende århundre antar begrepet algebraisk variasjon stadig større betydning. Linjer, fly, kjegler, ellipsoider, er alle eksempler på algebraiske varianter. Studiet av disse objektene oppnår imponerende resultater når koordinatene til rommet er laget for å variere i feltet av komplekse tall : i dette tilfellet, takket være den grunnleggende teoremet til algebra , har et polynom alltid røtter.

Dette algebraiske faktum av stor betydning (som kan uttrykkes ved å si at komplekse tall danner et algebraisk lukket felt ) har som en konsekvens gyldigheten av noen kraftige teoremer av veldig generell karakter. For eksempel hevder Bézouts teorem at to kurver av grad og i planet som ikke har noen komponenter til felles, alltid krysser hverandre i punkter, gitt en passende multiplisitet. Dette resultatet krever at "planen" er prosjektiv og kompleks. Spesielt er det absolutt feil i den klassiske konteksten av analytisk geometri: to sirkler trenger ikke nødvendigvis å krysse hverandre i 4 punkter, de kan også være usammenhengende.

Studiet av geometri i komplekst projektivt rom bidrar også til å forstå klassisk analytisk geometri. Kurvene i det virkelige kartesiske planet kan for eksempel sees på som "seksjoner" av større objekter, inneholdt i det komplekse projektive planet, og de generelle teoremene som er gyldige i denne "større og mer perfekte verden" reflekteres i det kartesiske planet, om enn til i mindre grad elegant. Akkurat som studiet av affin geometri gjør utstrakt bruk av lineær algebra , trekker studiet av algebraiske varianter mye på kommutativ algebra .

Differensialgeometri

Differensialgeometri er studiet av geometriske objekter gjennom analyse . Geometriske objekter er ikke nødvendigvis definert av polynomer (som i algebraisk geometri), men er for eksempel kurver og flater , det vil si objekter som, sett lokalt med forstørrelsesglass, virker nesten rette eller flate. Gjenstander som er "uten tykkelse", og kanskje litt buede. Som jordoverflaten, som virker flat for mennesket, selv om den ikke er det.

Dette konseptet med "buet rom" kommer til uttrykk gjennom forestillingen om differensierbar manifold . Definisjonen trenger ikke engang å "leve" i et omgivende rom, og brukes derfor for eksempel i generell relativitetsteori for å beskrive universets form. En manifold kan ha en grunnleggende egenskap, krumning , som måles av svært komplekse matematiske objekter, for eksempel Riemann-tensoren . Hvis rommet er en kurve eller en overflate, er disse matematiske objektene enklere: for eksempel snakker vi om gaussisk krumning for overflater.

På en variasjon med krumning, kalt Riemannsk variasjon , er en avstand mellom punkter definert, og geodesikk : dette er kurver som modellerer de lokalt kortere banene, for eksempel rette linjer i planet, eller meridianer på jordens overflate.

Ikke-euklidiske geometrier

Med differensialgeometri er det mulig å konstruere et "plan" der alle Euklids postulater holder , bortsett fra det femte , det av paralleller . Dette postulatet var av grunnleggende historisk betydning, fordi det tok 2000 år å demonstrere sin effektive uavhengighet fra de tidligere. Den hevder at gitt en rett linje og et punkt som ikke finnes i , eksisterer det en enkelt rett linje parallelt med og går gjennom .

En ikke-euklidsk geometri er en geometri der alle Euklids aksiomer holder, bortsett fra parallellene. Sfæren , med geodesikk som spiller rollen som linjer, gir et enkelt eksempel på ikke-euklidisk geometri: to geodesikere krysser seg alltid ved to antipodale punkter , og derfor er det ingen parallelle linjer. Et slikt eksempel på geometri kalles elliptisk . Det er også motsatte eksempler, der det er "så mange" parallelle linjer, at linjene parallelle med og gjennom er uendelige (og ikke én). Denne typen geometri kalles hyperbolsk , og det er vanskeligere å beskrive konkret.

Topologi

Topologi er endelig studiet av former, og av alle de egenskapene til geometriske enheter som ikke endres når de kontinuerlig deformeres, uten å rives. Topologi studerer alle geometriske objekter (definert algebraisk, differensial eller hva som helst) ved kun å se på formen deres. For eksempel skiller det sfæren fra torusen , fordi sistnevnte har "et hull i midten". Han studerer egenskapene til forbindelse (rom "laget av ett stykke") og kompakthet (rom "begrenset"), og de kontinuerlige funksjonene mellom dem.

Formene til objektene er kodet gjennom algebraiske objekter, for eksempel den fundamentale gruppen : en gruppe som koder på en raffinert måte tilstedeværelsen av "hull" i et topologisk rom .

Geometri og geometrier

I 1872 utviklet Felix Klein et forskningsprogram, Erlanger-programmet , som var i stand til å produsere en stor syntese av geometrisk kunnskap og integrere den med andre matematikkområder, for eksempel gruppeteori .

I Kleins perspektiv består en geometri i studiet av egenskaper til et rom som er invariante med hensyn til en gruppe transformasjoner ( transformasjonsgeometri ):

Applikasjoner

Analytisk geometri og lineær algebra gir viktige koblinger mellom geometrisk intuisjon og algebraisk kalkulus som nå har blitt en konstituerende del av all moderne matematikk og dens anvendelser i alle vitenskaper. Differensialgeometri har funnet viktige anvendelser i modellbygging for fysikk og kosmologi . Plan og romlig geometri gir også verktøy for å modellere, designe og bygge virkelige objekter i tredimensjonalt rom: det er derfor av grunnleggende betydning i arkitektur og ingeniørkunst så vel som i tegning og datagrafikk .

Beskrivende geometri

Beskrivende geometri er en disiplin som tillater, gjennom visse grafiske konstruksjoner, å representere eksisterende tredimensjonale objekter ( relieff ) og/eller bygges ( design ). Datastyrt bruk av beskrivende geometri tillater nå å lage overflater og faste stoffer, selv med høy tredimensjonal kompleksitet . Dessuten, og fremfor alt, tillater det en utvetydig kontroll av alle deres former og størrelser . De viktigste bruksområdene for beskrivende geometri er arkitektur , ingeniørfag og industriell design .

Bibliografi

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker