Topologisk rom

I matematikk er topologisk rom det grunnleggende objektet for topologi . Det er et veldig generelt rombegrep, ledsaget av en forestilling om "nærhet" definert på svakest mulig måte. Derfor er mange av rommene som vanligvis brukes i matematikk (som euklidisk rom eller metriske rom ) topologiske rom. Intuitivt er det som kjennetegner et topologisk rom dets form, ikke avstanden mellom punktene, som kanskje ikke er definert.

Gjennom historien har ulike definisjoner av topologisk rom blitt foreslått, og det tok tid å komme frem til den som vanligvis brukes i dag: selv om den kan virke ganske abstrakt, passer den til alle konseptene bak topologi.

Begrunnelse

I matematisk analyse bruker studiet av begrepene grense og kontinuitet i settet av reelle tall og i euklidiske rom introduksjonen av begrepet naboskap og det nært tilknyttede konseptet om et åpent sett . Forestillingen om konvergens og kontinuitet kan bare uttrykkes i form av begrepet et åpent sett . $\ mathbb {R}$

Med forestillingen om topologisk rom prøver vi å identifisere de grunnleggende egenskapene til konseptene som lar oss definere en forestilling om kontinuitet , på en eller annen måte analog med den vi har for euklidiske rom, og vurderer derfor en abstrakt idé om rom som verifiserer bare disse grunnleggende egenskapene.

Familien med åpne sett av (eller et hvilket som helst annet euklidisk rom ) tilfredsstiller følgende tre betingelser: $\ mathbb {R}$

hele tom og er åpne; $\ mathbb {R}$
foreningen av en vilkårlig mengde åpne sett er et åpent sett;
skjæringspunktet mellom et begrenset antall åpne mengder er et åpent sett.

Disse tre betingelsene er nødvendige og tilstrekkelige til å demonstrere flere viktige resultater, for eksempel bevaring av kompakthet og tilkobling ved kontinuerlige funksjoner . Av denne grunn antas de som de grunnleggende egenskapene som et abstrakt topologisk rom må verifisere.

De åpne områdene i et euklidisk rom har naturligvis mange andre egenskaper, som imidlertid ikke er nødvendige i denne abstrakte sammenhengen, for å garantere et større nivå av generalitet, samtidig som det lar seg oppnå betydelige resultater. Deretter blir de topologiske rommene definert i denne maksimale generaliteten klassifisert på grunnlag av ytterligere egenskaper som kan gjøre dem mer eller mindre "like" til euklidiske rom.

Definisjon av "åpen"

En topologi er definert som en samling av delmengder av et sett slik at: [1] $T.$ $X$

Det tomme settet og tilhører : og $X$ $T.$ ${\ displaystyle \ varnothing \ i T}$ ${\ displaystyle X \ i T.}$
Foreningen av en vilkårlig mengde sett som tilhører , tilhører : $T.$ $T.$ ${\ displaystyle \ bigcup Z \ i T, \ forall Z \ i T.}$
Skjæringspunktet mellom to sett som tilhører tilhører : $T.$ $T.$ ${\ displaystil Y \ cap W \ i T, \ forall Y, W \ i T.}$

Et topologisk rom er et par , hvor det er en helhet og en topologi. I et topologisk rom sies de konstituerende settene å være åpne i . [1] $(X, T)$ $X$ $T.$ $T.$ $X$

Komplementærene til åpne sett kalles lukket , igjen i analogi med lukkede sett med ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Videre, fra den tredje topologibetingelsen, og ved induksjon, trekker vi ut at skjæringspunktet mellom et endelig antall sett som tilhører tilhører . $T.$ $T.$

Den åpne samlingen sies å være en topologi for . Hvis det fra konteksten er klart hvilken topologi vi snakker om, angir vi for korthetens skyld rommet bare med navnet på settet. $T.$ $X$ $X$

Ekvivalente definisjoner (selv om det er lite brukt) kan gis gjennom samlingen av lukkede (det vil si av komplementærene til åpne), eller gjennom egenskapene til nabolagene , eller gjennom den avsluttende operasjonen (se Kuratowskis avsluttende aksiomer ).

Definisjon av "nabolag"

Denne definisjonen, mindre brukt enn definisjonen gjennom åpen, bruker definisjonen av filter på et sett og er på noen måter mer brukt i matematisk analyse .

Et topologisk rom er et par med ${\ displaystyle (S, \ tau)}$

$S.$ et sett;
$\ tau$ en funksjon med , kalt topologi , slik at: ${\ displaystyle \ tau \ colon S \ til {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (S))}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ tau _ {x} \}$
- ${\ displaystyle \ forall I \ in \ tau _ {x}}$ ${\ displaystyle x \ i I}$ ;
- ${\ displaystyle \ forall x \ i S}$ $\ tau _ {x}$ filtrere på; $S.$
- ${\ displaystyle \ forall U \ i \ tau _ {x} \; \ finnes V \ i \ tau _ {x}}$ slik at . ${\ displaystyle U \ in \ tau _ {y} \; \ forall y \ i V}$

${\ displaystyle \ tau _ {x}}$ det kalles familien av nabolag av punktet $x$ eller topologi av punktet , mens det kalles nabolaget til punktet . $x$ ${\ displaystyle I \ in \ tau _ {x}}$ $x$

La oss vurdere helheten . ${\ displaystyle X = \ {a, b, c \}}$

samlingene og ${\ displaystyle R = \ {\ varnothing, X, \ {a \} \}}$ ${\ displaystyle S = \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}}$ er topologier på ; $X$

samlingen er ikke en topologi på : faktisk foreningen av og mangler ${\ displaystyle T = \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \} \}}$ $X$ $T.$ $\{til\}$ ${\ displaystyle \ {b \}.}$

Topologier på et sett

Et fast sett tillater vanligvis mange forskjellige topologier . For eksempel: $X$ $T.$

${\ displaystyle T = \ {\ varnothing, X \}}$ , kalt triviell topologi
${\ displaystyle T = {\ mathcal {P}} (X)}$ , kalt diskret topologi
${\ displaystyle T = \ {U \ subseteq X \; | \; XU {\ tekst {er ferdig}} \} \ kopp \ {\ varnothing \}}$ , kalt cofinitt topologi

Her er settet med deler av . Så bare i den trivielle topologien og er åpne, mens i den diskrete topologien er alle delmengder åpne. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ $X$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $X$

To topologier på et sett er sammenlignbare hvis den ene er en delmengde av den andre. Hvis den inneholder , er topologien en finere topologi enn . ${\ displaystyle T, T '}$ $X$ $T.$ $T '$ $T.$ $T '$

For eksempel er topologi finere enn . ${\ displaystyle X = \ {a, b, c \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, X, \ {a \} \}}$

Settet med alle topologier på form med denne relasjonen er et delvis ordnet sett , der de trivielle og diskrete topologiene er henholdsvis den minst fine og den fineste av alle. $X$

Lukkede sett

I tillegg til definisjonen gitt i begynnelsen, er det en annen ekvivalent og like aktuell, men mindre vanlig, som bestemmer topologien når det gjelder lukket . Hvis vi starter fra de åpne, vil vi kalle lukkede delmengdene som har åpne komplementære. Hvis vi tar utgangspunkt i det lukkede, vil de som har stengt komplementært være åpne.

Med utgangspunkt i definisjonen gitt i begynnelsen, demonstrerer vi de tre egenskapene som kjennetegner de lukkede:

$X$ og de er lukket, faktisk komplementæren til er , som ved den opprinnelige definisjonen er åpen, og komplementæren til er , som også er åpen; ${\ displaystyle \ varnothing}$ $X$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $X$
det vilkårlige skjæringspunktet mellom lukket er lukket, faktisk det komplementære til det vilkårlige skjæringspunktet, ved å bruke De Morgan , er den vilkårlige foreningen av komplementærene til lukket, som er åpne, og derfor er åpne;
den endelige foreningen av lukket er lukket, og beviset er analogt med det forrige.

Hvis vi tar disse tre proposisjonene som en egenskap som må tilfredsstille en samling av delmengder for å være en topologi, har vi definisjonen basert på de lukkede.

Vi legger merke til at en delmengde kan være lukket, åpen, både åpen og lukket, verken åpen eller lukket.

Andre definisjoner

Vi introduserer her noen nøkkelbegreper, definert i hvert topologiske rom . $(X, T)$

Rundt

Et sett som inneholder et punkt av er et nabolag av hvis det er en åpen med $U$ $x$ $X$ $x$ $TIL$

{\ displaystyle x \ in A \ subseteq U.}

Lukking og intern del

La være en delmengde av . Lukningen av er det minste lukkede settet som det inneholder (definert som skjæringspunktet mellom alle de lukkede som inneholder det). På samme måte er innsiden av den største åpne som finnes i . Lukking og innvendig del er henholdsvis indikert som følger $TIL$ $X$ $TIL$ $TIL$ $TIL$ $TIL$

{\ displaystyle {\ bar {A}}, \ quad {\ dot {A}}.}

Avslutningen av er også indikert med . Grensen til er endelig definert som $TIL$ ${\ displaystyle Cl (A)}$ $TIL$

{\ displaystyle \ partial A = {\ bar {A}} \ setminus {\ prikk {A}}.}

Hausdorff space

Matematikeren Hausdorff definerte sitt eget begrep om topologisk rom, basert på en aksiomatisk definisjon av området til et punkt. Nabolagene må tilfredsstille følgende aksiomer, senere kalt Hausdorffs aksiomer :

til hvert punkt tilsvarer minst ett nabolag som inneholder ; $x$ $U (x)$ ${\ displaystyle x}$
hvis og er nabolag med samme punkt , så er skjæringspunktet mellom og også et nabolag av ; $U (x)$ $V (x)$ $x$ $U (x)$ $V (x)$ $x$
hvis det er et nabolag av og er en delmengde av et sett , så er det også et nabolag av ; $U (x)$ $x$ $V.$ $V.$ $x$
for hvert nabolag av det eksisterer et nabolag av slikt at det er et nabolag av noen som tilhører ; $U (x)$ $x$ $V (x)$ $x$ $U (x)$ $y$ $V (x)$
gitt to forskjellige punkter og , det finnes to usammenhengende nabolag og . $x$ $y$ $U (x)$ ${\ displaystyle U (y)}$

Et rom med disse egenskapene kalles et Hausdorff-rom .

Tilsvarende er et Hausdorff-rom et topologisk rom som tilfredsstiller separasjonsaksiomet (for to distinkte punkter og , er det to usammenhengende nabolag og , eller det femte Hausdorff-aksiomet). $T_ {2}$ $x$ $y$ $U (x)$ ${\ displaystyle U (y)}$

Generaliseringer

Noen ganger må du bruke topologiverktøy, men et "sett med punkter" er ikke tilgjengelig. Man kan da ty til formell topologi , basert på orden og konvergens av åpne sett som et teoretisk fundament; mens Grothendieck-topologier er spesielle strukturer definert på formelle kategorier som tillater definisjonen av skjær på disse kategoriene, og med dem definisjonen av veldig generelle teorier om kohomologi.

Merknader

^ a b W. Rudin , Side 8 .

Bibliografi

Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Munkres JR, Topologi, 2. utg. , Prentice-Hall, 2000.
Hausdorff, settteori, 2. utg. , New York: Chelsea, 1962.
Berge C., Topological Spaces Including a Treatment of Multi-Valued Functions, Vector Spaces and Convexity , New York: Dover, 1997.
Checcucci V., Tognoli A., Vesentini E., Lessons of General Topology ' , Milan: Feltrinelli, 1968.
Kelley JL, General Topology , Princeton: van Nostrand Company, 1955.
Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på topologisk rom

Eksterne lenker

( EN ) Topologisk rom , i Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.