Intervall (matte)

I matematikk er et intervall en delmengde av reelle tall dannet av alle punktene på den reelle linjen som er inkludert mellom to ytterpunkter og . Ekstrem kan (men trenger ikke nødvendigvis) tilhøre rekkevidden og kan være uendelig. $til$ $b$

Definisjon

Formelt sett er en delmengde av de reelle tallene eller et annet ordnet sett et intervall hvis for hvert par av elementer og av , hvert element som tilhører slike som også hører hjemme i . I intervaller tilsvarer konvekse sett . $S.$ $\R$ $x$ $y$ $S.$ $z$ $\R$ ${\ displaystyle x <z <y}$ $S.$ $\R$

Intervallene til er derfor følgende sett (hvor og er to reelle tall slik at ): [1] $\R$ $til$ $b$ $a <b$

${\ visningsstil (a, b) = \ {x | a <x <b \}}$ (åpent område)
${\ displaystyle [a, b] = \ {x | a \ leq x \ leq b \}}$ (lukket intervall)
${\ displaystyle [a, b) = \ {x | a \ leq x <b \}}$ (lukket område til venstre)
${\ visningsstil (a, b] = \ {x | a <x \ leq b \}}$ (lukket rekkevidde til høyre)
${\ displaystyle (a, + \ infty) = \ {x | x> a \}}$ (uendelig åpen rekkevidde til høyre)
${\ displaystyle [a, + \ infty) = \ {x | x \ geq a \}}$ (uendelig lukket område til høyre)
${\ displaystyle (- \ infty, b) = \ {x | x <b \}}$ (uendelig åpent område igjen)
${\ displaystyle (- \ infty, b] = \ {x | x \ leq b \}}$ (uendelig lukket område igjen)
${\ displaystyle (- \ infty, + \ infty) = \ mathbb {R}}$ (alle ekte linje)
${\ displaystyle [a, a] = \ {a \}}$ (Et poeng)
det tomme settet

Punktene og er ytterpunktene for intervallet. Så en firkantet parentes indikerer at ekstremen tilhører området, mens en rund parentes indikerer at den ikke tilhører den. En alternativ notasjon bruker henholdsvis og i stedet for og . Begge notasjonene er en del av ISO 31-11-standarden og den påfølgende ISO 80000-2 [2] som ekvivalent, selv om notasjonen som bruker runde parenteser for å indikere åpne intervaller er den desidert mest brukte. $til$ $b$ ${\ displaystyle [}$ ${\ displaystyle]}$ ${\ displaystyle (}$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle]}$ ${\ displaystyle [}$ ${\ displaystyle (}$ ${\ displaystyle)}$

De fire første intervallene har lengde , de neste fem har uendelig lengde , punktet og det tomme settet har lengde . $ba$ ${\ displaystyle 0}$

Enhetsintervallet er det lukkede intervallet . $[0.1]$

Egenskaper

Sammenslåingen av to intervaller med ikke-tomt skjæringspunkt er et intervall. Skjæringspunktet mellom to intervaller er alltid et intervall, muligens det tomme settet.

Bildet av et intervall som bruker en kontinuerlig funksjon fra til er fortsatt et intervall. $\R$ $\R$
En delmengde av den reelle linjen er et intervall hvis og bare hvis den er tilkoblet .
Et intervall er kompakt hvis og bare hvis det er av typen . $[a, b]$
Hvert intervall (selv uendelig) er homeomorf til ett, og bare ett, av disse fem intervallene: et punkt,,, eller det tomme settet . $[0.1]$ $[0,1)$ $(0,1)$

Alternative notasjoner

Sjelden i matematikk, men ofte i ingeniørfag, brukes symbolet ÷, kalt obelus , i Italia for å indikere et numerisk område. For eksempel betyr 3 ÷ 7 'fra tre til syv', inkludert ytterpunkter.

Merknader

^ Manetti, M. , s. 10 .
^ ise.ncsu.edu , http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf . Manglende tittel for url url( hjelp )

Bibliografi

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Relaterte elementer

Intervaller i ethvert bestilt sett
Reelle tall