Enhetens omkrets

En enhetssirkel , i matematikk , er en sirkel med enhetsradius , det vil si en sirkel hvis radius er . Ofte, spesielt i trigonometri , er enhetssirkelen sentrert ved opprinnelsen i et kartesisk koordinatsystem i det euklidiske planet.

Generell informasjon

Enhetens omkrets er ofte angitt med ; den flerdimensjonale generaliseringen er enhetssfæren .

Hvis det er et punkt på enhetens omkrets av den første kvadranten, så er og lengdene på sidene i en rettvinklet trekant hvis hypotenusa har lengde 1. Derfor, ved Pythagoras teorem , og tilfredsstille ligningen

Siden for hver , og siden refleksjonen av hvert punkt i enhetssirkelen på aksen (o ) fortsatt tilhører enhetssirkelen, gjelder den forrige ligningen for hvert punkt i enhetssirkelen, ikke bare i første kvadrant.

Forestillingen om "avstand" kan også brukes til å definere andre "enhetssirkler".

Med andre ord kan det defineres som stedet for punkter som har enhetlig avstand (modul lik ) fra origo. I polare koordinater vil ligningen være

Se oppføringen om normerte plasser for noen eksempler.

Enhetssirkelen er stedet for punkter på planet som har en avstand mindre enn eller lik enhet fra et punkt som kalles sentrum av sirkelen . Med andre ord inkluderer enhetssirkelen enhetens omkrets og den delen av planet som omsluttes av selve omkretsen. Det indikeres av ulikhetene :

(i kartesiske koordinater) (i polare koordinater)

Trigonometriske funksjoner på enhetssirkelen

De trigonometriske cosinus- og sinusfunksjonene kan defineres på enhetssirkelen som følger. Hvis det er et punkt på enhetssirkelen, og hvis radiusen fra origo til danner en vinkel med den positive aksen (vinkelen målt i retning mot klokken), så

Ved definisjon av sinus- og cosinusfunksjonene gir ligningen relasjonen

som er sant for alle ekte.

den er definert som en orientert vinkel, som betyr at den antar et positivt fortegn i den ene retningen og et negativt fortegn i den andre, i henhold til konvensjonen med klokken eller mot klokken. Vanligvis blir konvensjonen mot klokken tatt i bruk, og det antas at vinkelen er positiv og beveger seg fra abscisseaksen i retning mot klokken. En sirkel med en slik orientert vinkel kalles en goniometrisk sirkel.

Den trigonometriske omkretsen er en goniometrisk omkrets med en enhetsradius (dvs. goniometrisk og enhetlig). Det kalles trigonometrisk fordi for å definere sinus, cosinus, og fra dem alle de andre trigonometriske funksjonene, trenger vi en orientert vinkel og en enhetsradius. De andre elementene som er til stede på tegningene er en konstruksjon av euklidisk geometri.

Enhetssirkelen gir en intuitiv måte å visualisere sinus og cosinus som periodiske funksjoner , med identiteter

for hvert heltall .

Disse identitetene stammer fra det faktum at koordinatene og et punkt på enhetens omkrets forblir de samme ved å øke eller redusere vinkelen med et hvilket som helst antall omdreininger (1 omdreining = 2π radianer).

Når du arbeider med rette trekanter, sinus, cosinus og andre trigonometriske funksjoner er det fornuftig å snakke om vinkler større enn null og mindre enn π / 2. Ved å bruke enhetssirkelen har imidlertid disse funksjonene en intuitiv betydning for enhver reell vinkelmåling .

Faktisk kan ikke bare sinus og cosinus, men alle de seks standard trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosecant, så vel som arkaiske funksjoner som sinoverse og exsecant - defineres geometrisk i form av enhetssirkelen.

Arealet av enhetens omkrets

Tatt i betraktning bare den delen av omkretsen beskrevet av ligningen som representerer den i 1. og 2. andre kvadrant, vil arealet av denne beregnes med en integral . Når man tar i betraktning delen , som beskriver omkretsen i 3. og 4. kvadrant, vil integralet som definerer området være . Det kan derfor sies at arealet av enhetens omkrets har verdien , siden det kan betraktes som summen av de to integralene

.

Sannheten til denne formelen kan også demonstreres ved å bruke formelen til å beregne arealet .

Å vite at vi får den CVD

Sirkulær gruppe

Hvert komplekst tall kan identifiseres med et punkt på det euklidiske planet , ved å kalle det komplekse tallet det identifiseres med punktet . Med dette forholdet er enhetssirkelen en gruppe under multiplikasjon, også kalt en sirkulær gruppe . Denne gruppen har viktige anvendelser innen matematikk og naturfag.

Relaterte elementer

Andre prosjekter