Navier-Stokes ligninger

I fluiddynamikk er Navier-Stokes-ligningene et system av tre balanseligninger ( partielle differensialligninger ) av kontinuummekanikk , som beskriver en lineær viskøs væske ; i dem er Stokes lov (i den kinematiske balansen) og Fouriers lov (i energibalansen) introdusert som konstitutive lover for materialet . Ligningene er oppkalt etter Claude-Louis Navier og George Stokes .

Disse ligningene tilsvarer Chapmans tilnærming av den første graden av balanselikningene . Tilsvarende utgjør Euler-balanselikningene den første og viktigste tilnærmingen (de tilsvarer nullgradstilnærmingen til ekspansjonen), mens Burnett-ligningene utgjør den andre tilnærmingen i den asymptotiske ekspansjonen , som tar hensyn til effektene av den andre orden. Den analytiske løsningen av ligningene i det generelle tilfellet representerer et av de uløste problemene i moderne matematikk (de såkalte 7 oppgavene for årtusenet ), som Clay-prisen ble etablert for . Spesielle analytiske løsninger oppnås i forenklede tilfeller, mens omtrentlige løsninger vanligvis oppnås ved å ty til metodene for numerisk analyse , og til felles bruk av datamaskinen .

Den matematiske modellen

Den større prediktive effektiviteten til slike ligninger sammenlignet med Eulers er betalt for når det gjelder løsningsvansker. Faktisk involverer de i det generelle tilfellet fem partielle differensialligninger og 20 variabler. Balansen mellom ligninger og ukjente skjer med definisjonen av egenskapene til væsken som vurderes, av eventuelle feltkrefter involvert og med matematiske betraktninger. På grunn av deres ikke - linearitet , tillater Navier-Stokes-ligningene nesten aldri en analytisk løsning (dvs. en eksakt løsning), men utelukkende numerisk (en tilnærmet løsning med en numerisk metode ).

Navier-Stokes-ligningene er i stand til å fullstendig beskrive enhver væskestrøm, selv turbulent . Spesielt for en turbulent strømning, det vil si der banene til strømningspartiklene ikke lenger er konstante over tid, kalles en numerisk beregningsmetode generelt direkte numerisk simulering (DNS). På grunn av det faktum at dataressursene som er nødvendige for oppløsningen deres vokser med Reynolds-tallet (nesten med Re³) og at dette tallet kan ha verdier i størrelsesorden 10 6 -10 9 , forblir denne tilnærmingen teknisk umulig. Som et alternativ til numerisk simulering er det mulig å ta i bruk mindre belastende systemer som LES-formuleringen eller medierte ligninger .

Ligningene fullføres av grensebetingelsene og startbetingelsene (betingelser pålagt ved den tidsmessige begynnelsen av fenomenet som skal studeres). De kan også integreres ved tilstandsligningen til ideelle gasser og ved bevaringsligningene for de enkelte gassformige artene i tilfelle av en gassblanding.

Løsningen av ligningene gir væskens hastighetsfelt. Fra dette vil det da være mulig å spore alle de andre mengdene som kjennetegner strømmen.

Hvis turbulens i nesten et århundre har blitt beskrevet som en tilfeldig statistisk prosess, ble det i august 2022 utviklet det første eksperimentelle og numeriske simuleringsbeviset som, under passende valgte tidsintervaller, løsningene er deterministiske. [1]

Hypotese av modellen

Den matematiske modellen som tillater analyse av dynamikken til deformerbare kontinuiteter er basert på følgende egenskaper:

kontinuerlig væske;
kjemisk homogen og ikke-reaktiv væske;
væske fri for elektriske ladninger .

Kontinuerlig væskehypotese

Materiens diskontinuerlige natur neglisjeres, på denne måten vil det være mulig å få et væskevolum til å ha en tendens til null, uten at det kan forbli uten materie.

En grunnleggende parameter som karakteriserer mediet fra et kontinuitetssynspunkt er Knudsen-tallet , definert som forholdet mellom den gjennomsnittlige frie banen til en bestanddel av væsken og en karakteristisk lengde på strømmen:

{\ mathrm {Kn}} = {\ frac {l} {L}}

Hvis Knudsen-tallet er mye mindre enn én, er det mulig å vurdere den kontinuerlige væsken. Ellers vil det være nødvendig å studere gassens oppførsel utelukkende på statistisk grunnlag, ved hjelp av den kinetiske teorien om gasser , som statistisk analyserer fordelingen av molekylære hastigheter og fra dette utleder alle egenskapene til gassen.

Hypotese om kjemisk homogen og ikke-reagerende væske

Forstyrrelser på grunn av strømningsuhomogenitet og kjemiske reaksjoner vil bli neglisjert. Dette vil ikke være fullt mulig for reaktantstrømmer som f.eks. inne i et brennkammer .

Hypotese om væske fri for elektriske ladninger

Forstyrrelsene på grunn av det elektromagnetiske feltet vil bli neglisjert. Samspillet mellom strømmer og elektromagnetiske felt studeres ved magnetofluidodynamikk .

Empirisk deduksjon

Navier-Stokes-ligningene er den matematiske formaliseringen av tre fysiske prinsipper som væsker reagerer på, setter betingelsen for kontinuerlig deformerbar:

Av denne grunn blir de også ofte referert til som balanselikninger .

I de følgende avsnittene vil vi alltid indikere væskens hastighetsvektor med notasjonen , mens p og ρ vil indikere henholdsvis det statiske trykket og tettheten til selve væsken. Symbolet vil representere vektoren til feltakselerasjonene . ${\vec u}$ ${\vec a}$

Beskrivelser av materiale og ytre bevegelser

Hver lokal tilstandsvariabel avhenger generelt av dens posisjon i rom og tid. Posisjonen til en væskepartikkel avhenger da av tiden og strømningshastigheten.

Faktisk brukes det vanligvis til å beskrive temporalt bevegelsen til en væske gjennom spesielt to synspunkter, tilsvarende to forskjellige typer derivater .

Den mest syntetiske beskrivelsen er materialbeskrivelsen (eller lagrangisk ), som følger banen til hver fluidpartikkel, og involverer den ordinære deriverte med hensyn til tid for de lokale tilstandsvariablene (tetthet, strømningshastighet, temperatur).

Det Euleriske synspunktet observerer derimot variasjonene i fysiske egenskaper for en gitt romlig posisjon ( x ; y ; z ), og bruker partielle derivater . De romlige koordinatene (sammen med tidsvariabelen) vil derfor være uavhengige variabler. De avhengige variablene er derfor en funksjon av de romlige og tidsmessige. For eksempel for hastighet:

{\ vec u} = {\ vec u} (x; y; z; t).

Reynolds transportteorem

For å lette diskusjonen rapporterer vi Reynolds transportteorem , som for en egenskap:

A = A (x; y; z; t)

inneholdt i et vilkårlig volum V , som beveger seg med væsken, og har en overflate S (som en vektor kan knyttes til, med en intensitet som tilsvarer den numeriske verdien av overflaten, og mot normal til overflaten), er angitt som :

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} {\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} \, dV + \ int _ {S (t)} A {\ vec {u}} \ cdot \, d {\ vec {S}}.}

Når vi husker på divergensteoremet , er det også mulig å uttrykke det forrige som:

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} A \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ venstre ({\ frac {\ delvis A} {\ delvis t}} + \ nabla \ cdot \ venstre (A {\ vec u} \ høyre) \ høyre) \, dV

og husk at:

\ nabla \ cdot \ venstre (A {\ vec u} \ høyre) = \ venstre ({\ vec u} \ cdot \ nabla \ høyre) A + A \ nabla \ cdot {\ vec u}

i tillegg til definisjonen av total derivert , er det mulig å uttrykke teoremet i en veldig nyttig form:

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} A \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ venstre ({\ frac {DA} {Dt}} + A \ nabla \ cdot {\ vec u} \ høyre) \, dV.

Kontinuitetsligning

Lagrangisk synspunkt

Prinsippet om bevaring av masse, i tilfelle av bevegelse av en væske, kan uttrykkes fra det lagrangiske synspunktet ved å si at:

"Massen i et (deformerbart) volum som beveger seg med væsken forblir uendret over tid."

I dette tilfellet, derfor i matematiske termer:

{\ frac {dm} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho \, dV = 0 \ ,.

Ved å bruke Reynolds transportsetning på tetthet ρ (masse per volumenhet), får vi kontinuitetsligningen i form av divergens:

{\ frac {\ delvis \ rho} {\ delvis t}} + \ nabla \ cdot \ venstre (\ rho {\ vec u} \ høyre) = 0

som også kan rapporteres i veiledende form:

{\ frac {\ delvis \ rho} {\ delvis t}} + {\ frac {\ delvis \ venstre (\ rho u_ {i} \ høyre)} {\ delvis x_ {i}}} = 0

som også kan rapporteres i utvidet form:

{\ frac {\ delvis \ rho} {\ delvis t}} + {\ frac {\ delvis \ venstre (\ rho u \ høyre)} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis \ venstre (\ rho v \ høyre)} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis \ venstre (\ rho w \ høyre)} {\ delvis z}} = 0

eller når det gjelder totalderivatet:

{\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec u} = 0 \ ,.

Eulersk synspunkt

Det samme bevaringsprinsippet, fra Eulerian synspunkt, kan uttrykkes som følger:

"Endringen i masse inneholdt i et fast volum er lik forskjellen mellom de innkommende massestrømmene og de utgående massestrømmene (motsatt av nettostrømmen )."

En generisk massestrøm per arealenhet, som passerer gjennom et par flater P og Q av et volum, betraktes som produktet mellom tettheten ρ til væsken, hastighetskomponenten i en retning vinkelrett på den betraktede flaten og arealet av selve ansiktet.

Med tanke på hypotesen om et infinitesimalt element kan vi tilnærme verdien av fluksen ved det sentrale punktet av hver flate med dens gjennomsnittsverdi og beregne verdien av fluksen på en flate som starter fra verdien antatt på forrige flate gjennom en Taylor-serie avkortet . i første grad utvidelse:

\ Phi _ {{P_ {x}}} = \ rho u \, dydz \ qquad \ Phi _ {{Q_ {x}}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ partial \ rho u} { \ delvis x}} \, dxdydz

hvor vi med P x og Q x har indikert de normale flatene (dvs. vinkelrett ) på x -retningen . Etter uttalelsen av prinsippet, det vil si ved å beregne forskjellen mellom strømmene, får vi:

\ Phi _ {x} = \ Phi _ {{Q_ {x}}} - \ Phi _ {{P_ {x}}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ delvis \ rho u} {\ delvis x}} \, dxdydz- \ rho u \, dydz = {\ frac {\ delvis \ rho u} {\ delvis x}} \, dxdydz

Ved å utvide resonnementet til de andre romlige retningene får vi at nettofluksen vil være lik:

\ Phi = \ venstre ({\ frac {\ delvis \ rho u} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis \ rho v} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis \ rho w} {\ delvis z}} \ høyre) \, dxdydz = \ venstre [\ nabla \ cdot \ venstre (\ rho {\ vec u} \ høyre) \ høyre] \, dxdydz.

Sett nå endringen i masse over tid lik det motsatte av nettostrømmen:

{\ frac {\ delvis \ rho} {\ delvis t}} \, dxdydz = - \ venstre [\ nabla \ cdot \ venstre (\ rho {\ vec u} \ høyre) \ høyre] \, dxdydz

og til slutt, volumenhet:

{\ frac {\ delvis \ rho} {\ delvis t}} + \ nabla \ cdot \ venstre (\ rho {\ vec u} \ høyre) = 0

gjenoppnå uttrykket tidligere vist.

Balanseligning av momentum

Lagrangisk synspunkt

Bevaring av momentum (definert som produktet av masse ganger hastighet eller , per volumenhet, tetthet ganger hastighet) uttrykkes ved å si at:

"Den tidsmessige variasjonen av momentumet til et system faller sammen med resultanten av kreftene utenfor systemet"

og matematisk:

{\ frac {d {\ vec Q}} {dt}} = {\ vec F} _ {e}

hvor, faktisk, med F og er angitt summen av ytre krefter, av masse (som tyngdekraften ) og overflate (som viskøse krefter).

Vi introduserer denne differensieringen i krefter og en integrert formulering:

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec F} _ {V} \, dV + \ int _ {{S (t)}} {\ vec F} _ {S} \, dS

Det første medlemmet kan transformeres til en mer praktisk form ved hjelp av Reynolds transportteoremet:

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ venstre ({\ frac { D \ rho {\ vec u}} {Dt}} + \ rho {\ vec u} \ venstre (\ nabla \ cdot {\ vec u} \ høyre) \ høyre) \, dV

som kan reduseres i form:

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} \, dV + \ int _ {{V (t)}} {\ vec u} \ venstre ({\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec u} \ høyre) \, dV

hvor det siste integralet faller sammen med kontinuitetsligningen og derfor er null.

Hvis vi anvender divergenssetningen på det siste integralet i momentumligningen, vil det være mulig å skrive det som et volumintegral. Ligningen transformeres deretter som følger:

\ int _ {{V (t)}} \ venstre (\ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} - \ rho {\ vec F} _ {V} - \ nabla \ cdot \ understreking {\ understrek T} \ høyre) \, dV = 0

hvor T med dobbel understreking indikerer spenningstensoren . Siden den forrige likheten må gjelde for ethvert vilkårlig volum av integrasjon, må integranden være null:

\ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} = \ rho {\ vec F} _ {V} + \ nabla \ cdot \ understreking {\ understreking T}

som uttrykker momentumligningen (per volumenhet ).

Eulersk synspunkt

Det andre prinsippet for dynamikk uttrykker bevaring av momentum, og for et element av væsken kan det sies som følger:

"Variasjonen, over tid, av momentumet til væsken inneholdt i kontrollvolumet τ , lagt til nettostrømmen av momentum gjennom overflaten σ , er lik resultanten av de ytre kreftene som virker på fluidet inneholdt i selve volumet."

Så, med integrert formulering:

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho {\ vec u} \, dV + \ oint _ {S} \ venstre (\ rho {\ vec u} \ høyre) {\ vec u } \ cdot {\ hat n} \, dS = \ int _ {V} {\ vec F} _ {V} \, dV + \ oint _ {S} \ understrek {\ understrek T} \, dS

hvor volumet (som overflaten S som omslutter det) ikke er en funksjon av tiden.

Spenningstensoren for en væske

Spenningstensoren eller spenningstensoren er en andregrads tredimensjonal tensor , karakterisert av ni komponenter T ik som representerer de tre komponentene av spenningene i de tre romlige retningene til et visst kartesisk referansesystem . I matematisk form:

\ underline {\ underline T} = {\ begynne {Bmatrix} T _ {{11}} & T _ {{12}} & T _ {{13}} \\ T _ {{21}} & T _ { {22}} & T _ {{23 }} \\ T _ {{31}} & T _ {{32}} & T _ {{33}} \\\ end {Bmatrix}}.

Hvis vi betrakter en generisk overflate, orientert i henhold til enhetsvektoren n som på figuren, og resultanten av elementærkreftene som væskemolekylene i nærheten av den positive flaten utøver på de nær den negative flaten, har vi at spenningsrelativet til overflaten S og versoren n er:

{\ vec T} _ {n} = {\ frac {{\ vec F} _ {n}} {S}}

Underskriften n indikerer at kraften avhenger av størrelsen og orienteringen til overflaten, mens innsatsen avhenger av orienteringen alene.

I det statiske tilfellet, det vil si en væske i hvile, i motsetning til mekanikken til faste stoffer, vil den eneste kraften være ren normal og den resulterende spenningen vil bli kalt trykk . I et fluid i bevegelse vil derimot friksjonen mellom tilstøtende lag som beveger seg med forskjellige hastigheter gi opphav til resulterende skråkrefter.

I motsetning til elastiske faste stoffer, for hvilke spenningene i hovedsak avhenger av den faktiske deformasjonen av partiklene, avhenger spenningene for væsker av deformasjonshastigheten.

Ikke-mikropolar væske

Hvis væsken er ikke - mikropolar , det vil si med en symmetrisk spenningstensor, så er T ik = T ki , slik at de ni komponentene reduseres til seks uavhengige størrelser. Dette skyldes det faktum at de mekaniske momentene som virker på flatene til et visst volum (for eksempel i form av et rektangulært parallellepiped ), med hensyn til en bestemt akse (for eksempel z ), som går gjennom midten av volumet , er:

{\ displaystyle \ venstre | {\ vec {M}} _ {z} \ høyre | = T '_ {12} \, bc \, {\ frac {a} {2}} - T' '_ {12} \, bc \ venstre (- {\ frac {a} {2}} \ høyre) + T '_ {21} \, ac \ venstre (- {\ frac {b} {2}} \ høyre) -T' '_ {21} \, ac \, {\ frac {b} {2}}}

mens ligningen for det mekaniske momentet for en bevegelse rundt et tyngdepunkt til et parallellepiped er:

\ venstre | {\ vec M} _ {z} \ høyre | = I_ {z} \, \ omega _ {z} = \ rho \, abc \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2 }} {12}} \, \ omega _ {z}

der I z indikerer treghetsmomentet rundt z - aksen og med ω z vinkelhastigheten . Ved å likestille de foregående uttrykkene får vi:

\ rho \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z} = {\ frac {T '_ {{12}} + T' '_ {{12}}} {2}} - {\ frac {T '_ {{21}} + T' '_ {{21}}} {2}}.

Ettersom volumet har en tendens til 0, vil lengdene a , b og c ha en tendens til 0, mens spenningene på motsatte flater vil tendere til en felles verdi. Det gjenstår derfor:

T _ {{12}} - T _ {{21}} = 0

som også gjelder de andre aksene.

Forholdet mellom spenninger og tøyningshastigheter: isotropiske newtonske væsker

En væske er definert som Newtonsk når dens viskositet ikke varierer med hastigheten , og av denne grunn er det matematiske forholdet som binder spenningstensoren til komponentene i tøyningshastighetstensoren lineært .

I et ønske om å finne relasjonene som forbinder spenninger og tøyningshastigheter, analyserer vi de enkleste tilfellene og legger deretter til effektene deres (takket være lineariteten til problemet), og får det generelle tilfellet.

Det enkleste tilfellet av alle vil være det statiske tilfellet: Som allerede observert vil spenningene være rent normale, mens tøyningshastighetstensoren (som vi vil indikere med ) er null ved hypotese. I matematiske termer: $\ understrek {\ understrek \ varepsilon}$

{\ begynne {cases} T _ {{ik}} = - p \ qquad & {\ mathrm {for \}} i = k \\ T _ {{ik}} = 0 \ qquad & {\ mathrm {for \ }} i \ neq k. \\\ end {cases}}

La oss nå vurdere en strømning i bevegelse, hvor imidlertid spenningene for et bestemt kartesisk referansesystem er rent normale på overflatene til et element med parellelepipedform (referansesystem for hoveddeformasjonsaksene ). Anta for eksempel at det er:

{\ begynne {cases} T _ {{ik}} = 0 \ qquad & {\ mathrm {for \}} i \ neq k \\ T _ {{11}}> T _ {{22}} = T _ {{33} } \,. \\\ end {cases}}

Effektene av det forrige stresssystemet på en væske er forskjellige når det gjelder isotrop væske (som vann og luft ) eller anisotrop væske ( som blod , hvis molekyler gir væsken forskjellige egenskaper i forskjellige retninger). Fysisk erfaring viser at væskene som påvirker aerodynamikk og hydrodynamikk er newtonske og isotrope væsker, ellers kalt Stokesiske væsker . Vi vil derfor analysere en isotrop væske, der den må være ε 12 = 0:

{\ begynne {cases} \ varepsilon _ {{ik}} = 0 \ qquad & {\ mathrm {for \}} i \ neq k \\\ varepsilon _ {{11}}> 0 \\\ varepsilon _ {{ 22}} = \ varepsilon _ {{33}} <\ varepsilon _ {{11}} \,. \\\ end {cases}}

Til slutt gjenstår det mer generelle tilfellet å vurdere, det vil si hvor alle komponentene i innsatsen vil være forskjellige fra null:

T _ {{ik}} \ neq 0 \ quad \ forall i; k \ qquad \ Høyrepil \ qquad \ varepsilon _ {{ik}} \ neq 0 \ quad \ forall i; k.

Hver komponent av spenningstensoren vil være en viss funksjon, lineær for newtonske væsker, av komponentene i tøyningshastighetstensoren. Ved å utvikle denne funksjonen i Taylor-serien (arrestert i første grad på grunn av dens linearitetsegenskap), får vi:

T _ {{ik}} = f_ {0} + f_ {1} (\ varepsilon _ {{mn}}).

Det gjenstår nå å utlede disse lineære funksjonene: når vi håndterer problemet i et bestemt referansesystem, slik som det for hovedaksene for deformasjon, har vi:

{\ begynne {cases} T _ {{11}} = f_ {0} + a_ {1} \ varepsilon _ {{11}} + b_ {1} \ varepsilon _ {{22}} + b_ {1} \ varepsilon _ {{33}} \\ T _ {{22}} = f_ {0} + a_ {2} \ varepsilon _ {{22}} + b_ {2} \ varepsilon _ {{11}} + b_ { 2} \ varepsilon _ {{33}} \\ T _ {{33}} = f_ {0} + a_ {3} \ varepsilon _ {{33}} + b_ {3} \ varepsilon _ {{11}} + b_ { 3} \ varepsilon _ {{22}}. \\\ end {cases}}

I det første tilfellet som analyseres vil det derfor være:

f_ {0} = - s. \

På grunn av det faktum at vi studerer en Stokesisk væske, er det også fullstendig ekvivalens av atferd mellom de tre hovedretningene for deformasjon x 1 , x 2 , x 3 og derfor:

{\ begynne {cases} a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = a \\ b_ {1} = b_ {2} = b_ {3} = b \\\ slutt {cases}}

og derfor kan det opprinnelige systemet skrives som:

{\ begynne {cases} T _ {{11}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{11}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { { ii}} \\ T _ {{22}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{22}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii }} \\ T _ {{33}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{33}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii} }. \\\ end {cases}}

Til slutt, tatt i betraktning det

\ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ {{ii}} = \ nabla \ cdot {\ vec u}

og plassering for enkelhets skyld

{\ begynne {cases} ab = 2 \ mu \\ b = \ lambda \\\ slutten {cases}}

du får:

{\ begynne {cases} T _ {{11}} = - p + \ lambda \ nabla \ cdot {\ vec u} +2 \ mu \, \ varepsilon _ {{11}} \\ T _ {{22} } = - p + \ lambda \ nabla \ cdot {\ vec u} +2 \ mu \, \ varepsilon _ {{22}} \\ T _ {{33}} = - p + \ lambda \ nabla \ cdot { \ vec u} +2 \ mu \, \ varepsilon _ {{33}} \\\ end {cases}}

hvor det andre leddet ved det andre elementet beskriver effekten av viskositet på grunn av volumendringen til en væskepartikkel.

Alt som gjenstår nå er å generalisere det forrige likningssystemet til tilfellet med en hvilken som helst referanseramme:

{\ begynne {cases} T _ {{kk}} = - p + \ lambda \ nabla \ cdot {\ vec u} +2 \ mu \, \ varepsilon _ {{kk}} \\ T _ {{ik} } = 2 \ mu \, \ varepsilon _ {{ik}} \ qquad i \ neq k. \\\ end {cases}}

Den første ligningen i det forrige systemet fremhever det faktum at i det generelle tilfellet er de tre normale spenningene forskjellige fra hverandre. Gjennomsnittet deres er:

{\ begynne {justert} {\ frac {T _ {{11}} + T _ {{22}} + T _ {{33}}} {3}} & = - p + \ lambda \ nabla \ cdot { \ vec u} + {\ frac {2} {3}} \; \ mu \ venstre (\ varepsilon _ {{11}} + \ varepsilon _ {{22}} + \ varepsilon _ {{33}} \ høyre ) = \\ & = - p + \ lambda \ nabla \ cdot {\ vec u} + {\ frac {2} {3}} \; \ mu \ nabla \ cdot {\ vec u} \\ & = - p + \ mu '\ nabla \ cdot {\ vec u} \ end {justert}}

hvor μ ' indikerer volumviskositeten (eller i angelsaksisk terminologi bulk viscosity ), som beskriver forskjellen mellom gjennomsnittlig normalspenning og trykket til en væske, på grunn av viskositet. Volumviskositetsverdien er generelt ubetydelig for gasser, spesielt for monoatomiske.

Bevaring av energi

Det første prinsippet for termodynamikk, det vil si prinsippet om bevaring av energi, kan uttrykkes ved å si at variasjonen i tidsenheten for den totale energien til væsken som er inneholdt i kontrollvolumet lagt til nettostrømmen av total energi gjennom flater av kontrollvolumet er lik summen av kraften til kreftene som virker på fluidelementet og nettostrømmen av termisk energi som overføres til fluidelementet ved ledning.

Som man kan se i denne formuleringen, blir energien som overføres til elementet ved stråling neglisjert. Ved matematisk formalisering av dette prinsippet vil vi utnytte konseptet total energi per masseenhet som er en skalar definert som: $Og$

E = e + {\ frac {1} {2}} V ^ {2}

det er summen mellom den indre energien til molekylene og den mekaniske energien til de flytende elementene.

Utsagnet snakker om nettostrømmen av total energi: når det gjelder momentum, vil denne strømmen bli indikert som produktet mellom massestrømmen og den totale energien per masseenhet transportert i hver retning:

\ Phi _ {E} = {\ frac {\ delvis E \ rho u} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis E \ rho v} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis E \ rho w} {\ delvis z}}

Kraften til spenningene som virker på det aktuelle væskeelementet inkluderer både kraften som utvikles av de viskøse spenningene til tensoren og spenningene forbundet med trykket . $S.$

Ved å bruke definisjonen av kraft som produktet av en kraft ganger en hastighet , kan vi skrive:

P_ {S} = {\ frac {\ delvis (S _ {{xx}} u + S _ {{yx}} v + S _ {{zx}} w)} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis (S _ {{xy}} u + S _ {{yy}} v + S _ {{zy}} w)} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis (S _ {{ xz}} u + S_ { {yz}} v + S _ {{zz}} w)} {\ delvis z}}

når det gjelder de viskøse spenningene , mens det for trykket vil være:

P_ {p} = - \ venstre ({\ frac {\ delvis pu} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis pv} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis pw} {\ delvis z}} \ høyre)

Styrken til feltkreftene er definert som:

P_ {c} = \ rho a_ {x} u + \ rho a_ {y} v + \ rho a_ {z} w

Når det gjelder den termiske kraften som overføres ved ledning gjennom overflatene til elementet, er definisjonen av en termisk fluksvektor nødvendig . Det vil være mulig å skrive: ${\ vec q} = [q_ {x}, q_ {y}, q_ {z}] ^ {T}$

- \ venstre ({\ frac {\ delvis q_ {x}} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis q_ {y}} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis q_ {z} } {\ delvis z}} \ høyre)

Den komplette ligningen som formaliserer termodynamikkens første lov for bevegelige væsker vil derfor være:

{\ frac {\ delvis \ rho E} {\ delvis t}} + {\ frac {\ delvis E \ rho u} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis E \ rho v} {\ delvis y }} + {\ frac {\ delvis E \ rho w} {\ delvis z}} = - \ venstre ({\ frac {\ delvis pu} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis pv} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis pw} {\ delvis z}} \ høyre) +

+ {\ frac {\ delvis (S _ {{xx}} u + S _ {{yx}} v + S _ {{zx}} w)} {\ delvis x}} + {\ frac {\ delvis ( S _ {{ xy}} u + S _ {{yy}} v + S _ {{zy}} w)} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis (S _ {{xz}} u + S _ {{yz}} v + S _ {{zz}} w)} {\ delvis z}} +

+ \ rho a_ {x} u + \ rho a_ {y} v + \ rho a_ {z} w- \ venstre ({\ frac {\ delvis q_ {x}} {\ delvis x}} + {\ frac { \ delvis q_ {y}} {\ delvis y}} + {\ frac {\ delvis q_ {z}} {\ delvis z}} \ høyre)

Merknader og lukking av problemet

De 3 ligningene (to skalare ligninger og en vektorligning) som nettopp er utledet er utilstrekkelige i seg selv for å lukke problemet med å bestemme strømningsfeltet til væsken . Faktisk inneholder ligningene 20 ukjente:

tetthet
hastighetsvektor ( 3 ukjente)
press
viskøs stresstensor (9 ukjente) $S.$
feltakselerasjonsvektor (3 ukjente )
indre energi $Og$
termisk fluksvektor , alltid referert til en funksjon av en koeffisient for termisk ledningsevne og temperatur (2 ukjente). ${\vec q}$

Disse ligningene er helt generelle og deres anvendelse krever en slags spesialisering av det samme til arbeidssituasjonen.

For å lukke problemet er det derfor nødvendig å definere de termofysiske egenskapene til fluidet som undersøkes (som gjør det mulig å definere den termiske ledningsevnen , tettheten , den indre energien og en eller flere tilstandsligninger som også kan bestemme temperatur og trykk ) og felt av krefter den beveger seg i (bestemmer vektoren for feltakselerasjoner ). Videre er det observert at den viskøse spenningstensoren er symmetrisk, med den konsekvens at de ukjente som faktisk finnes er 6 og ikke 9 og kan bestemmes eksperimentelt eller teoretisk ved å spesifisere typen væske. Startbetingelsene og grensebetingelsene vil da være nødvendige, siden de er differensialligninger ( Cauchy problem eller Neumann problem ). $S.$

Ligninger i dimensjonsløs form

Ligningene skrevet i de foregående avsnittene er i dimensjonal form, i den forstand at hvert begrep har fysiske dimensjoner av mengden som vurderes:

${\ mathrm {\ venstre [{\ frac {kg} {m ^ {3} \, s}} \ høyre] \ qquad}}$ i den første ligningen;
${\ mathrm {\ venstre [{\ frac {kg} {m ^ {2} \, s ^{2}}} \ høyre] \ qquad}}$ i de tre momentumlikningene;
${\ mathrm {\ venstre [{\ frac {kg} {m \, s ^ {3}}} \ høyre] \ qquad}}$ i den siste ligningen.

Følgelig, hvis vi ønsker å sammenligne de tallrike koeffisientene for å finne ut hvilken av dem som er den mest dominerende i de forskjellige tilfellene som undersøkes, bør vi beregne verdien av hvert enkelt ledd. En praktisk metode for å unngå dette behovet er å dele hver koeffisient med en viss homogen referansemengde, på denne måten vil koeffisientene være dimensjonsløse . Disse referansemengdene vil bli valgt på grunnlag av grensebetingelsene og startbetingelsene for det spesielle fluiddynamiske problem som skal undersøkes. Her er de indikert med senket 0 ( null ):

\ rho ^ {*} = {\ frac {\ rho} {\ rho _ {0}}} \ qquad {u_ {i}} ^ {*} = {\ frac {u_ {i}} {U_ {0} }} \ qquad p ^ {*} = {\ frac {p} {p_ {0}}} \ qquad t ^ {*} = {\ frac {t} {t_ {0}}} \ qquad x ^ {* } = {\ frac {x_ {i}} {L_ {0}}} \ qquad T ^ {*} = {\ frac {T} {T_ {0}}}

Bevaringsligningen for masse

Bevaringsligningen for masse skrevet i formen:

{\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} = {\ frac {\ delvis \ rho} {\ delvis t}} + ( {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) \ rho + \ rho {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} = 0

kan gjøres dimensjonsløs ved å uttrykke det i formen:

{\ mathrm {St}} \; {\ frac {\ delvis \ rho ^ {*}} {\ delvis t ^ {*}}} + ({\ vec {u}} ^ {*} \ cdot {\ vec {\ nabla}} ^ {*}) \ rho ^ {*} + \ rho ^ {*} {\ vec {\ nabla}} ^ {*} \ cdot {\ vec {u}} ^ {*} = 0

hvor symbolet St indikerer den dimensjonsløse gruppen, kalt Strouhal-nummer :

${\ mathrm {St}} = {\ frac {L_ {0}} {U_ {0} \; t_ {0}}}$ .

Bevaringsligningene for momentum

Momentumkonserveringsligninger kan være dimensjonsløse i formen:

{\ mathrm {St}} \ venstre (\ rho ^ {*} {\ frac {\ delvis {\ vec {u}} ^ {*}} {\ delvis t ^ {*}}} \ høyre) + \ rho ^ {*} \ venstre ({\ vec {u}} ^ {*} \ cdot {\ vec {\ nabla}} ^ {*} \ høyre) {\ vec {u}} ^ {*} = - {\ frac {1} {{\ mathrm {Ru}}}} {\ vec {\ nabla}} ^ {*} p ^ {*} - {\ frac {1} {{\ mathrm {Fr}} ^ {2} }} \ rho ^ {*} {\ vec k} + {\ frac {1} {{\ mathrm {Re}}}} {\ nabla ^ {*}} ^ {2} {\ vec {u}} ^ {*} + {\ frac {1} {3 \, {\ mathrm {Re}}}} {\ vec {\ nabla}} ^ {*} \ venstre ({\ vec {\ nabla}} ^ {*} \ cdot {\ vec {u}} ^ {*} \ høyre)

der symbolene indikerer følgende dimensjonsløse grupper:

${\ mathrm {Re}} = {\ frac {U_ {0} \, L_ {0}} {\ nu}} = {\ frac {\ rho _ {0} \, U_ {0} \, L_ {0 }} {\ mu}}$ Reynolds nummer ;
${\ mathrm {Fr}} = {\ sqrt {{\ frac {U_ {0} ^ {2}} {g \, L_ {0}}}}}$ Froude nummer ;
${\ mathrm {Ru}} = {\ frac {\ rho _ {0} \, U_ {0} ^ {2}} {p_ {0}}}$ Ruark-tall , invers av Eulers tall .

Hvis den dynamiske viskositeten ikke er konstant, vil en referanseverdi bli funnet og den dimensjonsløse verdien vil bli brukt i ligningen . $\ mu$ $\ mu _ {0}$ $\ mu ^ {*}$

Ligningen for bevaring av termisk energi

Bevaringsligningen for termisk energi, gitt at den for mekanisk energi ville føre til dimensjonsløse grupper som allerede er sett for momentumligningene, uttrykkes som en funksjon av dimensjonsløse termer:

{\ mathrm {St}} \ venstre (\ rho ^ {*} {\ frac {\ delvis T ^ {*}} {\ delvis t ^ {*}}} \ høyre) + \ rho ^ {*} \ venstre ({\ vec {u}} ^ {*} \ cdot {\ vec {\ nabla}} ^ {*} \ høyre) T ^ {*} = {\ mathrm {St}} \, {\ frac {{\ mathrm {Ec}}} {{\ mathrm {Ru}}}} \, {\ frac {\ partial p ^ {*}} {\ partial t ^ {*}}} + {\ frac {{\ mathrm {Ec }}} {{\ mathrm {Ru}}}} \ venstre ({\ vec {u}} ^ {*} \ cdot {\ vec {\ nabla}} ^ {*} \ høyre) p ^ {*} + {\ frac {{\ mathrm {Ec}}} {{\ mathrm {Re}}}} \ Phi ^ {*} + {\ frac {1} {{\ mathrm {Pr}} \, {\ mathrm {Re }}}} {\ nabla ^ {*}} ^ {2} T ^ {*} + {\ frac {{\ mathrm {Nu}}} {{\ mathrm {Pr}} \, {\ mathrm {Re} }}} \ rho ^ {*} {\ prikk {q}} ^ {*}

der symbolene indikerer følgende dimensjonsløse grupper:

$\ mathrm {Ec} = \ frac {U_0 ^ 2} {c_p \, T_0}$ Eckert nummer ;
$\ mathrm {Pr} = \ frac {\ mu \, c_p} {K} = \ frac {\ nu} {\ alpha}$ Prandtl-nummer , hvor med er angitt koeffisienten for termisk diffusivitet ; ${\ alpha} = \ frac {K} {\ rho \, c_p}$
${\ mathrm {Nu}} = - {\ frac {\ lambda \, L_ {0}} {K}}$ Nusselt nummer , hvor med er angitt varmevekslingskoeffisienten . $\ lambda$

Euler-ligninger

Hopprelasjoner

Kontaktdiskontinuitet Shockwave

Merknader

^ Georgia Institute of Technology, Physicists avdekker nytt dynamisk rammeverk for turbulens , på phys.org , Phys.org , 29. august 2022, DOI : 10.1073 / pnas . 2120665119 .

Bibliografi

( NO ) R. Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena , 2. utgave, New York, Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4 .
Quartapelle, Auteri, Inkompressibel væskedynamikk.
Quartapelle, Auteri, komprimerbar væskedynamikk.

Relaterte elementer

Eksterne lenker

( EN ) Navier-Stokes-ligninger , i Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

( EN ) Verk om Navier-Stokes-ligninger , på Open Library , Internet Archive .