Intern spenning

Intern spenning (eller indre spenning eller tøyning ) er et mål på kontaktkreftene som utøves mellom de indre delene av et kontinuerlig tredimensjonalt legeme over dens skilleflate . Det er definert som kontaktkraften per arealenhet, det vil si at det er grensen for forholdet mellom den virkende kraften og arealet av overflaten den virker på:

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = \ lim _ {\ Delta A \ høyrepil 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {f} _ {c}} {\ Delta A}}}

Det er en vektormengde og dens måleenhet er pascal (symbol Pa ). I teknisk praksis er megapascal ( MPa ) eller gigapascal ( GPa ) mest brukt.

Begrepet spenning er basert på begrepet kontinuum og spiller en grunnleggende rolle i all kontinuummekanikk ettersom det karakteriserer tilstanden til de indre spenningene til en kropp og følgelig oppførselen til materialet som utgjør kroppen, dvs. hvordan den deformeres. under påvirkning av påførte krefter.

Historie

Forestillingen om indre spenning som virker gjennom kontaktflaten ble først introdusert av matematikeren og fysikeren Leibniz i 1684 og av Jakob Bernoulli i 1691 . I 1713 erkjente Antoine Parent (1660-1726), en fransk matematiker,, om enn på en røykfylt måte, eksistensen av interne tangentielle spenninger. Deretter, rundt 1750 , formulerte Daniel Bernoulli og Euler en fullstendig teori om bjelken, og introduserte ideen om indre spenninger i den flate overflaten av en bjelkeseksjon og assosierte dem med en resulterende kraft og et resulterende moment . I 1752 assosierte Euler ideen om de normale spenningskomponentene med konseptet trykk . Ytterligere bidrag til begrepet spenning ble gitt av den franske fysikeren og ingeniøren Coulomb (1736-1806) som ga en presis formalisering av begrepet tangentiell spenning. Men det var den store franske matematikeren (men også med ingeniørutdanning) Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) som i 1822 formaliserte begrepet spenning i sammenheng med en generell tredimensjonal teori, sammen med teorien om deformasjon, og etablerte koblingene mellom to størrelser.

Stressvektoren

Notasjoner og symbolikk
Operasjoner på vektorer og tensorer eller matriser : skalarprodukt mellom vektorer: ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} \, \ cdot \, {\ mathbf {b}}}$ transponert tensor av en tensor: ${\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {t}}$ invers tensor av en tensor: ${\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1}}$ spor av en tensor: ${\ displaystyle \ mathrm {tr} ({\ mathbf {A}})}$ determinant for en tensor: ${\ displaystyle \ det ({\ mathbf {A}})}$

Notasjoner og symbolikk

Operasjoner på vektorer og tensorer eller matriser :

skalarprodukt mellom vektorer:

{\ displaystyle {\ mathbf {a}} \, \ cdot \, {\ mathbf {b}}}

transponert tensor av en tensor:

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {t}}

invers tensor av en tensor:

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1}}

spor av en tensor:

{\ displaystyle \ mathrm {tr} ({\ mathbf {A}})}

determinant for en tensor:

{\ displaystyle \ det ({\ mathbf {A}})}

For et legeme i en konfigurasjon er de indre spenningene et vektorfelt definert i konfigurasjonen slik at resultanten av kontaktkreftene som virker på en generisk del av kroppen måles av overflateintegralet på grensen ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$

{\ displaystyle {\ mathbf {r}} ^ {c} ({\ mathcal {P}}) = \ int _ {\ delvis {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})} {\ mathbf {t}} ({\ mathbf {x}}, \ ldots) \, ds}

Spenninger er generelt en funksjon ikke bare av punktet , men også av formen på kontaktflaten ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ venstre ({\ mathbf {x}}, \ delvis {\ fetsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}}) \ høyre )}

I klassisk mekanikk innrømmes imidlertid gyldigheten av Cauchys postulat , som definerer avhengigheten av seg selv gjennom normalen til overflaten som går gjennom , det vil si å akseptere forenklingen: ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ chi}} ({\ mathcal {P}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ venstre ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {n}} \ høyre)}

Med andre ord, på grunnlag av Cauchy-postulatet, er den samme verdien av spenningsvektoren assosiert med forskjellige overflater som passerer gjennom punktet , lokalt karakterisert ved å ha samme normal. ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$

Normale og tangentielle spenninger

Spenningsvektoren som virker i et internt punkt og på normalposisjonen , kan representeres gjennom komponentene i en generisk base av ortonormale vektorer ${\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {t}} \ venstre ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {n}} \ høyre)}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = \ sigma _ {1} {\ bar {1}} _ {1} + \ sigma _ {2} {\ bar {1}} _ {2} + \ sigma _ {3} {\ bar {1}} _ {3}}

Spenningsvektoren er ikke nødvendigvis ortogonal til planet den virker på. Interessant fra et teknisk synspunkt er dekomponeringen av spenningsvektoren i komponenten langs retningen normal til posisjonen og i komponenten i posisjonsplanet ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ boldsymbol {\ tau}} \; \; \;, \; \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ sigma _ {n} {\ mathbf {n}} \; \; \;, \; \; \; {\ fetsymbol {\ tau}} = \ tau _ {m} {\ mathbf {m}}}

Normal spenning er komponenten av spenningsvektoren langs normalretningen $\ sigma _ {n}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ mathbf {t}} \, \ cdot \, {\ mathbf {n}}}

Tangential spenning er komponenten av spenningsvektoren langs en retning inneholdt i normalplanet ${\ displaystyle \ tau _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {t}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$

{\ displaystyle \ tau _ {m} = {\ mathbf {t}} \, \ cdot \, {\ mathbf {m}}}

The Cauchy stress tensor

Viktige karakteriseringer av spenningstilstanden i et punkt kommer som følge av Eulers lover , de to balanselikningene som skal tilfredsstilles under bevegelsen til et kontinuerlig legeme. Eulers første lov (bevaring av momentum) fører til Cauchys teorem .

Spenningstilstanden i et punkt er definert av kunnskapen om alle spenningsvektorene knyttet til alle planene (av uendelig antall) som passerer gjennom det punktet. Spesielt vil spenningstilstanden på tre plan parallelt med de koordinerte planene representeres av de tre vektorene ${\ displaystyle \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {n})}}$

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {1})} = \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {13} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {2})} = \ sigma _ {21} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {22} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {23} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {3})} = \ sigma _ {31} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {32} \ mathbf {e } _ {2} + \ sigma _ {33} \ mathbf {e} _ {3}}

og derfor fra de ni skalarkomponentene , hvorav ${\ displaystyle \ venstre \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ høyre \}}$

{\ displaystyle \ \ sigma _ {11}}

,, og: er normale spenninger, og

{\ displaystyle \ \ sigma _ {22}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {33}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {12}}

,,,,, og er tangentielle spenninger , ofte angitt med ,,,,, og .

{\ displaystyle \ \ sigma _ {13}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {21}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {23}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {31}}

{\ displaystyle \ \ sigma _ {32}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {12}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {13}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {21}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {23}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {31}}

{\ displaystyle \ \ tau _ {32}}

Settet med ni skalarkomponenter representerer komponentene i representasjonsmatrisen, i basen , av en andreordens tensor (ellers indikert med symbolet på tensor ) kalt Cauchy-spenningstensoren . Nedenfor er alle de vanligste typografiske konvensjonene som brukes for å representere komponentene: ${\ displaystyle \ venstre \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ høyre \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${{\ fetsymbol \ sigma}}$

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] \ equiv \ venstre [{\ begynne {matrise} \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {1})} \\\ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {2})} \\\ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {e} _ {3})} \\\ slutten {matrise}} \ høyre] = \ venstre [ {\ begynne {matrise} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\ \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {matrise}} \ høyre] \ equiv \ venstre [{\ begynne {matrise} \ sigma _ {11} & \ tau _ {12} & \ tau _ {13} \\\ tau _ {21} & \ sigma _ {22} & \ tau _ {23} \\\ tau _ {31} & \ tau _ {32} & \ sigma _ {33} \\\ end {matrise}} \ høyre] \ equiv \ venstre [{\ begynne {matrise} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \\ \ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \\\ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \\\ end {matrise}} \ høyre] \ equiv \ venstre [{\ begynne {matrise} \ sigma _ {x} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {y} & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {z} \\\ end {matrise}} \ høyre] \; \;, \; \; {\ sigma} _ {ij} = \ venstre ({\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {e}} _ {i} \ høyre) \, \ cdot \, {\ mathbf {e}} _ {j} }

Cauchy - teoremet sier at kunnskapen om spenningstilstanden på tre distinkte ortogonale posisjoner, dvs. de ni komponentene , er tilstrekkelig til å bestemme spenningene på enhver annen posisjon som går gjennom punktet. ${\ displaystyle \ venstre \ {\ sigma _ {11}, \ sigma _ {12}, \ ldots, \ sigma _ {33} \ høyre \}}$

I mer formelle termer sier Cauchys teorem at det eksisterer en tensor , kalt spenningstensoren , slik at følgende lineære representasjon gjelder ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {t} ^ {(\ mathbf {n})} \, = {\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {n}}}

Overholdelse av Eulers andre lov (bevaring av momentum) fører til kravet om at Cauchy-tensoren er en symmetrisk tensor

{\ displaystyle {\ mathbf {T}} ^ {t} = {\ mathbf {T}} \; \;, \; \; \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {ji}}

Den er derfor representert av bare seks uavhengige skalarkomponenter.

Hovedspenninger, hovedretninger og invarianter av spenningstilstanden

Hovedspenningen i et punkt er verdien av spenningen på en posisjon hvor spenningstilstanden kun har normale komponenter og mangler tangentielle komponenter . Retningen normal til liggende kalles hovedstrekkretningen .

Hovedspenningsproblemet består i å finne de posisjonene som stresstilstanden kun har normale komponenter i forhold til, dvs. av typen

{\ displaystyle {\ mathbf {t}} = {\ mathbf {T}} \, {\ mathbf {n}} = \ sigma _ {n} \, {\ mathbf {n}}}

slik at det er identisk . ${\ displaystyle \ tau _ {m} = 0, \; \ forall {\ mathbf {m}}}$

Fra et algebraisk synspunkt tilsvarer det oppgitte problemet et egenverdiproblem , det vil si et søk etter egenvektorene og egenverdiene til tensoren . ${\ displaystyle {\ mathbf {n}}}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$

Plassert i skjemaet ( det er identitetstensoren) ${\ displaystyle {\ mathbf {I}}}$

{\ displaystyle ({\ mathbf {T}} - \ lambda {\ mathbf {I}}) \, {\ mathbf {n}} = 0}

problemet tilsvarer å finne nullrommet ( kjernen ) til operatoren , definert av den relative singularitetsbetingelsen (den karakteristiske ligningen til operatoren ) ${\ displaystyle ({\ mathbf {T}} - \ lambda \, {\ mathbf {I}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$

{\ displaystyle {\ mbox {det}} \ venstre ({\ mathbf {T}} - \ lambda \, {\ mathbf {I}} \ høyre) = {\ begynne {vmatrix} \ sigma _ {11} - \ lambda & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} - \ lambda & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} - \ lambda \\\ end {vmatrix}} = 0}

Dette tar uttrykket av en tredjegrads algebraisk ligning

{\ displaystyle - \ lambda ^ {3} + \ lambda ^ {2} I_ {1} - \ lambda I_ {2} + I_ {3} = 0 \!}

hvor koeffisientene er invariantene til tensoren og er definert av ${\ displaystyle (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3} \!)}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$

{\ displaystyle {\ start {aligned} I_ {1} & = {\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {T}} = \ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ { 33} \\ I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ venstre (({\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {T}}) ^ {2} - {\ mbox { tr}} \, ({\ mathbf {T}} ^ {2}) \ høyre) = \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} + \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} + \ sigma _ {11} \ sigma _ {33} - \ sigma _ {12} ^ {2} - \ sigma _ {23} ^ {2} - \ sigma _ {13} ^ {2} \\ I_ {3} & = {\ mbox {det}} \, {\ mathbf {T}} = \ sigma _ {11} \ sigma _ {22} \ sigma _ {33} +2 \ sigma _ {12} \ sigma _ {23} \ sigma _ {31} - \ sigma _ {12} ^ {2} \ sigma _ {33} - \ sigma _ {23} ^ {2} \ sigma _ {11} - \ sigma _ {13} ^ {2 } \ sigma _ {22} \ end {justert}}}

Siden tensoren er symmetrisk, sikrer en algebrateorem at den karakteristiske ligningen tillater tre reelle røtter og dessuten at de tre assosierte egenvektorene er ortonormale til hverandre: ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3} \!)}$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {n}} _ {1}, {\ mathbf {n}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {3})}$

{\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {i} \, \ cdot \, {\ mathbf {n}} _ {j} = \ delta _ {ij}}

hvor med indikerer Kronecker-symbolet . $\ delta_ {ij}$

Avslutningsvis, for hvert punkt er det tre ortogonale posisjoner, kalt hovedspenningsplaner , med normalvektorer ( hovedspenningsretningene ), med hensyn til hvilke spenningsvektoren bare har normale komponenter ( hovedspenningene ) og mangler tangentielle komponenter. Det er vist at hovedspenningene representerer de maksimale (og minimums) verdiene oppnådd fra spenningstilstanden i et punkt når posisjonen som passerer gjennom den varierer. ${\ displaystyle ({\ mathbf {n}} _ {1}, {\ mathbf {n}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {3})}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}$

Den spektrale representasjonen av spenningstensoren , dvs. representasjonen av tensoren i en base som består av de tre hovedspenningsretningene, er gitt av den diagonale matrisen ${\ displaystyle {\ mathbf {T}}}$

{\ displaystyle [{\ mathbf {T}}] \ equiv {\ begynne {bmatrix} \ sigma _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma _ {3} \\\ end {bmatrise}}}

I den spektrale representasjonen tegner invariantene av spenningstilstanden følgende uttrykk:

{\ displaystyle \ {\ begynne {justert} I_ {1} & = \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3} \\ I_ {2} & = \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} + \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} + \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} \\ I_ {3} & = \ sigma _ {1} \ sigma _ { 2} \ sigma _ {3} \\\ end {justert}}}

Sfærisk og deviatorisk del av spenningstensoren

Som enhver tensor kan Cauchy-spenningstensoren dekomponeres i en sfærisk del og en deviatorisk del ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle \ mathbf {T} = {\ bar {\ sigma}} \, {\ mathbf {I}} + \ mathbf {T} ^ {dev} \; \;, \; \; [{\ mathbf { T}}] \ equiv \ venstre [{\ begynne {matrise} {\ bar {\ sigma}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ bar {\ sigma}} & 0 \\ 0 & 0 & {\ bar {\ sigma}} \\\ slutt {matrise}} \ høyre] + \ venstre [{\ begynne {matrise} \ sigma _ {11} - {\ bar {\ sigma}} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} - {\ bar {\ sigma}} og \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32 } & \ sigma _ {33} - {\ bar {\ sigma}} \\\ end {matrise}} \ høyre]}

hvor er gjennomsnittsspenningen ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} = {\ frac {1} {3}} {\ mbox {tr}} {\ bigl (} {\ mathbf {T}} {\ bigr)} = {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ {33})}

Den sfæriske delen av spenningstensoren er representativ for en hydrostatisk spenningstilstand. ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} \, {\ mathbf {I}}}$

Tilstand av spenningsplan

Når verdien av en av hovedspenningene er null, er spenningskomponentene i det relative hovedplanet null og vi snakker om en plan spenningstilstand . Sett som hovedretning har spenningsvektoren følgende representasjon i en base av ortonormale vektorer ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3} \ right \}}$

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] \ equiv {\ begynne {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & 0 \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

En tilstand av planspenning karakteriserer vanligvis spenningstilstanden til en kropp der en av dimensjonene er veldig liten sammenlignet med de to resterende (for eksempel et skall ).

Mohrs spenningssirkler

Mohrs sirkel er en grafisk representasjon av spenningstilstanden ved et punkt, foreslått i 1892 av Mohr . Det er spesielt viktig i tilfelle av en plan spenningstilstand og tillater bestemmelse på en enkel måte av hovedspenningene, de maksimale tangentielle spenningene og hovedspenningsplanene.

Piola-Kirchhoff-tensorene

Beskrivelsen av spenningstilstanden uttrykkes naturlig i Eulerisk form med referanse til den nåværende konfigurasjonen og ved bruk av Cauchy-tensoren. Når det gjelder endelige forskyvninger og deformasjoner, kan spenningstilstanden også uttrykkes i en lagrangisk formulering, dvs. med henvisning til den opprinnelige referansekonfigurasjonen, ved å bruke de nominelle Piola - Kirchhoff spenningstensorer , hvis betydning er rent matematisk.

I hypotesen om små forskyvninger og rotasjoner faller de nominelle spenningstensorene og Cauchy-tensoren sammen: i dette tilfellet er det vanlig å bruke symbolet for å indikere spenningstensoren. ${{\ fetsymbol \ sigma}}$

Merknad om begrepet spenning

Eksistensen av spenninger hevdes aksiomatisk. Problematisk er begrunnelsen av denne antagelsen med argumenter av fysisk karakter, gjennom dens verifisering med eksperimentelle data: siden den er relatert til indre punkter i kroppen, er det umulig å faktisk foreta kutt og deretter måle verdien av spenningen på kuttflaten. siden kutteoperasjonen dramatisk vil endre spenningstilstanden som er ment å bli målt. Avslutningsvis kan det bare sies at "definisjonen av spenninger representerer en rimelig hypotese om kontinuumets natur og at begrunnelsen for denne konstruksjonen eller mentale modellen er å finne i dens metodiske verdi, det vil si [...] fra de lønnsomme resultatene man kommer til med metoden basert på den "(Baldacci, 1984)

Merknader

Bibliografi

R. Baldacci, Construction Science, vol I, Utet, Torino, 1984. ISBN 8802038376
P. Morelli, Machine Construction, MacGraw-Hill, ISBN 9781307534863

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på intern spenning

Eksterne lenker

( EN ) Intern spenning , i Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Stressanalyse, Wolfram Research , på documents.wolfram.com . Hentet 20. februar 2008 (arkivert fra originalen 3. september 2006) .