Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel ( Finnøy , 5. august 1802 - Froland , 6. april 1829 ) var en norsk matematiker , mest kjent for sine grunnleggende bidrag til algebra og funksjonsteorien. Han huskes av prisen som bærer navnet hans.

Historisk kontekst

Abels liv var preget av fattigdom på grunn av periodens norske politiske og økonomiske kontekst. På slutten av 1700-tallet var Norge en del av Danmark og danskene hadde bestemt seg for å holde seg nøytrale under Napoleonskrigene . Ikke desto mindre ble en nøytralitetsavtale fra 1794 tolket av Storbritannia som en aggressiv handling, og i 1801 ble det meste av den danske flåten ødelagt under et slag ved havnen i København . Til tross for å ha forsøkt å unngå krig frem til 1807, av frykt for at den danske flåten skulle bli brukt til støtte for den franske, bestemte Storbritannia i oktober 1807 å angripe Danmark og ødela flåten fullstendig.

Følgelig var Norge ikke lenger i stand til å eksportere tømmer til det kontinentale Europa og spesielt til Storbritannia, dets hovedkjøper, og var ikke i stand til å importere kornet som var nødvendig for innbyggerne sine behov: landet havnet da i en alvorlig økonomisk krise. I 1813 angrep Sverige Danmark fra sør og - etter Kiel-traktaten av 1814 - tvang det til å overlate Norge. Et forsøk på Norges uavhengighet noen måneder senere førte til at Sverige angrep landet i juli 1814. Sverige tok tilbake kontrollen over Norge og etablerte en regjering under sin direkte kontroll med base i Cristiania (nå Oslo ). Abel vokste opp i denne vanskelige sammenhengen.

Biografi

Abel ble født 5. august 1802 i bygda Finnøy, i Kristiansand bispedømme . Både faren og flere av hans forfedre hadde markert seg som geistlige, og alle Niels Abels forfedre var utdannet. Abels mor, Anna-Maria Simonsen, var kjent for sin skjønnhet og Abel arvet utseendet hennes. Som 13-åring meldte han seg inn på katedralskolen i Cristiania, en svært krevende skole, sammen med sin eldre bror; her var Abels oppfinnsomhet i stand til å manifestere seg tidlig.

På den tiden hadde ikke skolen gode lærere; den beste hadde faktisk blitt kalt til universitetet i Christiania, som var åpent for undervisning siden 1813. Skolens meget strenge lærer ble sendt bort på grunn av hans brutale metoder som hadde forårsaket et barns død og ble erstattet av en matematiker ikke utmerket, men av verdi, Bernt Michael Holmboe (1795-1850) som var til stor hjelp for Abel (i 1839 vil han utgi førsteutgaven av samlingen av verkene hans). Under hans ledelse begynte Abel å assimilere mange verk av store matematikere som hadde gått foran ham: spesielt verk av Newton , Euler , Joseph-Louis Lagrange og Gauss 's Disquisitiones Aritmeticae . Fra det øyeblikket var matematikk Niels Abels hovedbeskjeftigelse, og fremfor alt hans største underholdning. Abel, med sin dype kritiske ånd, var en av de første som oppdaget hull i resonnementet til sine forgjengere, og allerede i ung alder utviklet han ønsket om å fylle dem. Maksimen ble berømt etter hans død:

"Lær av mesterne og ikke av disiplene"

Et av verkene hans i denne rekkefølgen av ideer er den første demonstrasjonen av utviklingen av binomialserien satt inn i det bredere feltet av teori og anvendelser av uendelige serier .

Abels far døde i 1820, hvorved ansvaret og byrden for hele familien falt på hans skuldre; for å møte familiens behov ga han en rekke privattimer, og dedikerte de få øyeblikkene med frihet til matematisk forskning. Han gikk inn på universitetet i Cristiania i 1821 med dårlige karakterer i alle fag, bortsett fra matematikk. Overbevist om at han hadde å gjøre med en av tidenes største matematikere, gjorde Holmboë alt for å gi ham hjelpemidler; i de samme årene fikk Abel bakteriene til sykdommen som førte ham til døden for tidlig.

Hans første oppgave var søket etter løsningen av den generelle femtegrads polynomligningen, et problem som ennå ikke er løst av forgjengerne: han lyktes i å demonstrere at ingen generell algebraisk løsning av denne ligningen var mulig.

Deretter ble det foreslått å studere følgende to relaterte problemer:

  1. finne alle de algebraiske ligningene for de ulike gradene som kan løses algebraisk;
  2. avgjøre om en gitt algebraisk ligning kan løses algebraisk.

Det var imidlertid datidens andre unge matematiske geni, Galois , som sørget for de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for at en algebraisk ligning kunne løses algebraisk.

Skandinavia ble snart for lite for Abel som ville besøke Frankrike og møte Gauss i Tyskland. Abels kolleger presset universitetet til å appellere til den norske regjeringen om å gi et stipend for å la ham gjennomføre sin vitenskapelige turné i Europa. For å påvirke myndighetene positivt, presenterte Abel en memoarbok som trolig inneholdt de sakene som senere skaffet ham stor berømmelse; dessverre mistet universitetet det. Regjeringen begrenset seg til å gi ham et stipend som ikke var tilstrekkelig for reisen han ønsket å foreta, men som gjorde at han kunne fortsette studiene ved universitetet i Christiania for å forbedre sine ferdigheter i fransk og tysk. Som 23-åring bevilget regjeringen tilstrekkelige midler til hans vitenskapelige reise. Etter å ha bestemt seg for ikke å besøke Gauss , som ikke hadde tatt behørig hensyn til minnet om umuligheten av den algebraiske oppløsningen av femtegradsligningen han hadde sendt ham, dro Abel til Berlin . Her møtte han matematikeren August Leopold Crelle ; han hadde fortjenesten av å grunnlegge tidsskriftet " Journal für die reine und angewandte Mathematik ", og i dets tre første bind ble det utgitt tjueto memoarer av Abel; takket være dem, etablerte magasinet seg som tidens beste på det matematiske feltet.

Etter oppholdet i Berlin, hvor han hadde hyppige møter med Crelle og den store landmåleren Jakob Steiner , flyttet Abel til Freiburg im Breisgau for å reise til Frankrike kort tid etter. I Paris ble det mottatt ganske kaldt og kunnskapen til noen av datidens største matematikere var lite stimulerende. Abel var skuffet; faktisk hadde Cauchys arbeid inspirert ham så mye at han sa at Cauchy "for øyeblikket er den som vet hvordan matematikk skal behandles". På den tiden studerte han konvergensdomenet til binomialserien . I et brev fra 1826 til Holmboë skriver Abel:

«De divergerende seriene er djevelens oppfinnelse, og det er synd å basere enhver demonstrasjon på dem. Ved å bruke den kan du trekke en hvilken som helst konklusjon etter eget ønske, og dette er grunnen til at disse seriene har produsert så mange feilslutninger og så mange paradokser. Jeg har blitt utrolig oppmerksom på alt dette fordi, med unntak av den geometriske rekken, er det ingen enkelt uendelig rekke i all matematikk hvis sum er strengt bestemt. Med andre ord, de tingene i matematikken som er viktigst, er også de som har minst grunnlag."

Etter å ha stoppet i Paris dro Abel til Sør-Frankrike og ba Cauchy presentere sitt hovedverk, "En generell eiendom for en veldig stor klasse av transcendente funksjoner" for vitenskapsakademiet i Paris . Cauchy undersøkte ikke verket og ga det til matematikeren Hachette som presenterte det for akademiet i 1826. Sistnevnte ga Cauchy og Legendre i oppdrag å undersøke det og skrive en rapport om det; Cauchy tok den med seg hjem, mistet den og glemte den helt. Verket ble funnet og publisert posthumt i 1841. I dette er det Abels teorem , beviset på dette er en fantastisk øvelse i integralregning.

I løpet av sin tid i Paris hadde Abel konsultert leger for det han trodde var en vedvarende forkjølelse; legene diagnostiserte lungetuberkulose , men han ville ikke tro på denne analysen og nådde Berlin, hvor han ble i to måneder. Han returnerte til Cristiania i håp om å få plass ved universitetet, men uten hell.

I januar 1829 innså Abel, møtt med en blødning, at han ikke hadde mye tid å leve. Han døde 6. april 1829, tatt vare på av kjæresten Crelly Kemp. To dager senere kunngjorde et brev fra Crelle at han ble ansatt som professor i matematikk ved Universitetet i Berlin .

Studier

"Hvis du utelater de virkelig enkle tilfellene, er det i all matematikk ikke en eneste uendelig serie hvis sum er strengt bestemt. Med andre ord, de viktigste områdene i matematikken står uten grunnlag."

Abel, etter å ha lest undersøkelsene til Joseph-Louis Lagrange og Gauss om likningsteorien , mens han fortsatt studerte på videregående, sto overfor problemet med løsbarheten til ligninger av høyere grad etter Gauss behandling av den binomiale ligningen. Han var i stand til å bevise følgende teorem:

Røttene til en ligning som kan løses av radikaler kan gis en form slik at hver av radikalene som opptrer i røttenes uttrykk kan uttrykkes som en rasjonell funksjon av ligningens røtter og av visse enhetsrøtter.

Abel brukte deretter denne teoremet for å bevise umuligheten av å løse den generelle ligningen med grader høyere enn den fjerde av radikaler. Til tross for komplikasjonen av beviset og tilstedeværelsen av en ikke-essensiell feil, ble problemet med å løse generelle ligninger med høyere grad enn den fjerde definitivt løst. Abel møtte også problemet med deling av lemniscate og kom til en klasse algebraiske ligninger, kalt abelske ligninger, som kan løses av radikaler. Den syklotomiske ligningen er et eksempel på en abelsk ligning. Generelt kalles en ligning Abelian hvis alle røttene er rasjonelle funksjoner til en av dem, det vil si hvis de er rasjonelle funksjoner. Her er et sitat fra studien On the algebraic resolution of equations .

"Et av de mest interessante problemene med algebra er problemet med den algebraiske løsningen av ligningene. Faktisk ser vi at nesten alle geometrier av en eller annen verdi har omhandlet dette emnet. Vi kommer dermed uten problemer til det generelle uttrykket for røttene til ligningene for de fire første gradene.ved hjelp av en enhetlig metode som man antok å kunne anvende på ligninger av hvilken som helst grad, men til tross for all innsats fra en Lagrange og andre eminente geometre, ble ikke målet nådd. antok ut fra dette at løsningen av de generelle ligningene var algebraisk umulig, men saken kunne ikke fastslås med sikkerhet, siden metoden som ble brukt kunne føre til presise konklusjoner bare i det tilfellet ligningene var løselige. Derfor foreslo vi å løse ligninger uten å vite om tingen var mulig [ ..] For å komme frem til et bestemt resultat må man gå en annen vei, det vil si å gi problemet en slik form at det er alltid mulig å fikse det, noe som alltid kan gjøres med ethvert problem. I stedet for å slite med en løsning som vi ikke vet om den eksisterer eller ikke, la oss heller spørre oss selv om en slik løsning er mulig ... nå den, og jeg tror at det er få tilfeller det ikke er mulig å komme frem til med mer eller mindre viktige resultater, selv om spørsmålet ikke kan besvares fullt ut på grunn av kompleksiteten i beregningene."

I løpet av disse undersøkelsene introduserte Abel to forestillinger, den om en kropp og den om et irreduserbart polynom over en gitt kropp. Med tallkropp mente Abel en samling av tall slik at summen, differansen, produktet og kvotienten av to tall i samlingen (unntatt divisjon med 0) også tilhører samlingen. Rasjonale tall , reelle tall og komplekse tall utgjør legemer. Et polynom sies å være reduserbart i en kropp hvis det kan uttrykkes som produktet av to polynomer med lavere grad enn koeffisienter i kroppen. Hvis et polynom ikke kan uttrykkes i denne formen, sies det å være irreduserbart.

Abel behandlet analyse i et forsøk på å gi den en streng behandling; i et brev til en norsk matematiker han klaget på

«Enormt mørke som utvilsomt finnes i analyse. Den er så mangelfull i enhver systematisk plan at det er overraskende at så mange menn har vært i stand til å studere den. Og hva verre er, det har aldri blitt strengt behandlet. Det er få teoremer for avansert analyse som har blitt bevist på en logisk bærekraftig måte ... "

Eric Temple Bell skrev også om ham i boken "The great mathematicians": "Ved bålet, bøyd over matematikkbøkene, studerte han mens brødrene og søstrene hans lekte og lo rundt ham. Støyen plaget ham aldri, tvert imot. : han spøkte med dem og fortsatte å skrive ".

Abelprisen

Abels navn har fått viktig anerkjennelse. Institusjonen for "Abelprisen", opprettet for å fylle gapet til Nobelen som fortsetter å ignorere matematikk.

Ifølge en legende, sannsynligvis spredt av en ondsinnet matematiker, ekskluderte Alfred Nobel matematikk fra prisen etter å ha oppdaget en affære mellom hans kone og en svensk matematiker. Nobel giftet seg faktisk aldri, men han avklarte heller ikke årsakene til denne ekskluderingen. Sverige la i 1968 en pris for økonomi til Nobelprisene, men ønsket aldri å bøte på den oppsiktsvekkende utestengelsen av matematikk. I historien har noen matematikere ikke hatt det lett i Sverige. Vi husker bare René Descartes , offer for dronning Christinas innfall, som tvang ham til å jobbe rytmer som var uholdbare for ham, for å bringe ham i graven på kort tid, eller la oss tenke på Sonia Kowalewski , den berømte russiske matematikeren, som døde i Stockholm av komplikasjoner av en banal influensa, førtien år gammel: «Denne evige solen, disse lange klare nettene for tidlig på sommervarmen - skrev hun til en venn - er nervøse; de er netter som lover en lykke som de ikke vet hvordan de skal gi ”.

Norge har bevilget et fond på 22 millioner dollar til Abelprisen og den ganske betydelige prisen er på 770.000 euro. "Abelprisen" var allerede foreslått i 1902 av Oscar II, daværende konge av Sverige og Norge, men da unionen mellom de to landene ble brutt, ble prosjektet forlatt. Den første vinneren av Abelprisen, i 2003, var den franske matematikeren Jean-Pierre Serre , ved Collège de France i Paris. Motivasjonen for prisen var: "For å ha spilt en grunnleggende rolle i å gi en moderne form til en rekke grener av matematikken, inkludert topologi, algebraisk geometri og tallteori". I 2004 var vinnerne Sir Michael Francis Atiyah , fra University of Edinburgh , og Isadore Manuel Singer fra Massachusetts Institute of Technology, med motivasjonen: "For deres oppdagelse og bevis på indeksteoremet som kobler sammen topologi, geometri og analyse, og for deres ledende rolle i å bygge nye broer mellom matematikk og teoretisk fysikk ”. Atiyah-Singer-indeksteoremet, oppdaget for førti år siden med deres felles arbeid, er en av referansene for matematikk fra det 20. århundre og har tillatt store fremskritt innen topologi, differensialgeometri og kvantefeltteori, mens det i 2005 var Peter David Lax , av New York University: "For hans ekstraordinære bidrag til teorien og anvendelsen av partielle differensialligninger og til beregningen av deres løsninger".

Bibliografi

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker