Skalært produkt

I matematikk , spesielt i vektorkalkulus , er skalarproduktet en binær operasjon som assosierer et element i feltet til hvert par av vektorer som tilhører et vektorrom definert på det virkelige feltet. [1] Det er et internt produkt på det virkelige feltet, det vil si en positiv definitiv bilineær bilineær form med reelle verdier. Siden det er et rent algebraisk produkt, kan det ikke representeres grafisk som en enhetsvektor.

Forestillingen om skalarprodukt er generalisert i lineær algebra fra euklidisk rom til et hvilket som helst vektorrom : dette rommet kan ha uendelig dimensjon og defineres på et vilkårlig felt (ikke nødvendigvis det virkelige). Denne generaliseringen er av grunnleggende betydning for eksempel i differensialgeometri og rasjonell mekanikk . Å legge til en ytterligere egenskap, fullstendighet , fører også til konseptet Hilbert-rom , for hvilket teorien er beriket med mer sofistikerte verktøy, grunnleggende i modellering av kvantemekanikk og i mange felt av funksjonell analyse .

Definisjon

Et skalarprodukt på vektorrom er definert som en symmetrisk bilineær form som assosierer to vektorer og en skalar i det virkelige feltet , vanligvis indikert med eller . [2] $V.$ $\ mathbf v$ $\ mathbf w$ $V.$ $\R$ $\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle$ ${\ mathbf v} \ cdot {\ mathbf w}$

Det er en binær operator som tester følgende betingelser for ,, vilkårlige vektorer og feltelement : $\ mathbf v$ $\ mathbf w$ ${\ mathbf u}$ $k$

Symmetri:

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle = \ langle {\ mathbf w}, {\ mathbf v} \ rangle

Linearitet med hensyn til første ledd:

\ langle {\ mathbf v} + {\ mathbf w}, {\ mathbf u} \ rangle = \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf u} \ rangle + \ langle {\ mathbf w}, {\ mathbf u } \ rangle

\ langle k {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle = k \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle

Flere forfattere krever også at formen skal være positiv bestemt , det vil si: [1]

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf v} \ rangle> 0

for hverandre enn null. $\ mathbf v$

De tidligere kravene innebærer også følgende egenskaper:

Linearitet med hensyn til andre ledd:

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} + {\ mathbf u} \ rangle = \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle + \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf u } \ rangle

\ langle {\ mathbf v}, k {\ mathbf w} \ rangle = k \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle

og siden en vektor multiplisert med 0 gir nullvektoren, følger det at:

\ langle {\ mathbf 0}, {\ mathbf 0} \ rangle = 0

Degenerert skalarprodukt

Det skalare produktet er degenerert hvis det eksisterer en vektor som ikke er null ortogonal til alle vektorer, dvs. slik at: $\ mathbf v$

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle = 0

for hver romvektor . $\ mathbf w$

Positivt og negativt bestemt punktprodukt

Et skalarprodukt på et vektorrom er definert positivt hvis: [3] $V.$

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf v} \ rangle> 0 \ qquad \ forall {\ mathbf v} \ neq 0

definert negativ hvis:

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf v} \ rangle <0 \ qquad \ forall {\ mathbf v} \ neq 0

semi-bestemt positiv:

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf v} \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall {\ mathbf v}

semi-definitiv negativ hvis:

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf v} \ rangle \ leq 0 \ qquad \ forall {\ mathbf v}

Et positivt halvbestemt punktprodukt kalles (sjelden) også et pseudoskalært produkt .

Skalært produkt i det euklidiske rom

Skalarproduktet av to vektorer og av planet , brukt på samme punkt, er definert som: $\ mathbf a$ $\ mathbf b$

{\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {b}} = | {\ mathbf a} | \, | {\ mathbf b} | \ cos \ theta

hvor og er lengdene til og , og er vinkelen mellom de to vektorene. Det skalare produktet er indikert som , og tilfredsstiller de algebraiske egenskapene til symmetri: $| {\ mathbf a} |$ $| {\ mathbf b} |$ $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $\ theta$ ${\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b}$

{\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b} = {\ mathbf b} \ cdot {\ mathbf a}

for hvert par av vektorer og , og av bilinearitet: $\ mathbf a$ $\ mathbf b$

{\ mathbf a} \ cdot ({\ mathbf b} + {\ mathbf c}) = {\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b} + {\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf c}

{\ mathbf a} \ cdot (\ lambda {\ mathbf b}) = \ lambda ({\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b})

({\ mathbf a} + {\ mathbf b}) \ cdot {\ mathbf c} = {\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf c} + {\ mathbf b} \ cdot {\ mathbf c}

(\ lambda {\ mathbf a}) \ cdot {\ mathbf b} = \ lambda ({\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b})

for en hvilken som helst triplett av vektorer, og for et hvilket som helst reelt tall . De to første relasjonene uttrykker "linearitet til høyre" og de to andre "til venstre". $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $\ mathbf c$ $\ lambda$

Punktproduktet av en vektor med seg selv er alltid større enn eller lik null:

{\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf a} = | {\ mathbf a} | ^ {2} \ geqslant 0

Dette er også null hvis og bare hvis vektoren er null (null-egenskapen til punktproduktet):

{\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf a} = | {\ mathbf a} | ^ {2} = 0 \ Venstrepil {\ mathbf a} = 0

Denne egenskapen kan uttrykkes ved å angi at punktproduktet er positivt.

Geometrisk tolkning

Siden det er lengden på den ortogonale projeksjonen av su hvis de ortogonale projeksjonsvektorene til su og har samme retning, ellers er det motsatt av lengden, kan vi geometrisk tolke skalarproduktet som produktet av lengdene til denne projeksjonen og av , multiplisert med - 1 hvis ortogonal projeksjon av på og har motsatt retning. Rollene til og kan også byttes ut , tolket som lengden (med fortegn definert som før) på projeksjonen av på og skalarproduktet som produktet av lengdene på denne projeksjonen og lengden på . $| {\ mathbf a} | \ cos \ theta$ $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $\ mathbf b$ $\ mathbf b$ $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $\ mathbf b$ $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $| {\ mathbf b} | \ cos \ theta$ $\ mathbf b$ $\ mathbf a$ $\ mathbf a$

Positivt, null og negativt skalarprodukt

Cosinus til en vinkel er positiv hvis det er en spiss vinkel (dvs. mellom -90 ° og 90 °), null hvis det er en rett vinkel og negativ hvis det er en stump vinkel . Det følger at punktproduktet er: $\ theta$ $\ theta$ $\ theta$ ${\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b}$

Positivt hvis , og vinkelen er spiss. $| {\ mathbf a} |> 0$ $| {\ mathbf b} |> 0$ $\ theta$
Ingenting hvis , eller det er riktig. $| {\ mathbf a} | = 0$ $| {\ mathbf b} | = 0$ $\ theta$
Negativ hvis , og vinkelen er stump. $| {\ mathbf a} |> 0$ $| {\ mathbf b} |> 0$ $\ theta$

Tilfellene der den er akutt og stump er vist i figuren. I begge tilfeller beregnes punktproduktet ved hjelp av den geometriske tolkningen, men tegnet er annerledes. $\ theta$

Spesielt gjelder følgende egenskaper også:

Hvis vektorene er parallelle og . $\ theta = 0$ ${\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b} = | {\ mathbf a} | \ cdot | {\ mathbf b} |$
Hvis vektorene er ortogonale og . $\ theta = \ pi / 2$ ${\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b} = 0$
Hvis vektorene er parallelle, men orientert i motsatt retning, red . $\ theta = \ pi$ ${\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b} = - | {\ mathbf a} | \ cdot | {\ mathbf b} |$

Hvis og er vektorvektorer, dvs. vektorer med lengde 1, er deres skalarprodukt ganske enkelt cosinus til den inkluderte vinkelen. $\ mathbf a$ $\ mathbf b$

Skalarproduktet av en vektor med seg selv er kvadratet av vektorens lengde . $\ mathbf a$ ${\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf a} = | {\ mathbf a} | ^ {2}$ $| {\ mathbf a} |$

Applikasjoner i fysikk

I klassisk fysikk brukes skalarproduktet i sammenhenger der det er nødvendig å beregne projeksjonen av en vektor langs en gitt komponent. For eksempel er arbeidet utført av en konstant kraft på en kropp som beveger seg i retningen prikkproduktet: $L$ $\ mathbf F$ ${\ mathbf u}$

L = {\ mathbf F} \ cdot {\ mathbf u}

av de to vektorene.

Applikasjoner i geometri

Cosinus -teoremet kan enkelt formuleres ved hjelp av punktproduktet. Gitt tre punkter , enhver av planen, gjelder følgende forhold: $TIL$ $B.$ $C.$

\ overrightarrow {AB} \ cdot \ overrightarrow {AC} = {\ frac 12} {\ Big (} | AB | ^ {2} + | AC | ^ {2} - | BC | ^ {2} {\ Big) }

Analytisk uttrykk

Skalarproduktet er definert i analytisk geometri på en annen måte: det er funksjonen som i ethvert euklidisk rom assosierer to vektorer og tallet: ${\ mathbf a} = [a_ {1}, a_ {2}, \ prikker, a_ {n}]$ ${\ mathbf b} = [b_ {1}, b_ {2}, \ prikker, b_ {n}]$

{\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {b}} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} b_ {i}

hvor angir en summering . $\ sum$

For eksempel er skalarproduktet av to tredimensjonale vektorer [1, 3, −2] og [4, −2, −1] [1, 3, −2] [4, −2, −1] = 1 × 4 + 3 × (−2) + (−2) × (−1) = 0.

På denne måten er det mulig å definere vinkelen mellom to vektorer i et hvilket som helst euklidisk rom, ved å invertere formelen gitt ovenfor, dvs. gjøre vinkelen avhengig av skalarproduktet og ikke omvendt: $\ theta$

\ theta = \ arccos {\ frac {{\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {b}}} {| {\ mathbf a} || {\ mathbf b} |}}

Notasjoner

Ofte er punktproduktet mellom og også angitt som eller hvordan . Ved å bruke produktet mellom matriser og vurdere vektorer som matriser , skrives det kanoniske skalarproduktet også som: $\ mathbf a$ $\ mathbf b$ $\ langle {\ mathbf a}, {\ mathbf b} \ rangle$ $\ venstre ({\ mathbf a}, {\ mathbf b} \ høyre)$ $n \ ganger 1$

{\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {b}} = {\ mathbf {a}} ^ {T} {\ mathbf {b}}

hvor er transponeringen av . Eksemplet sett ovenfor er derfor skrevet i matrisenotasjon som følger: ${\ mathbf {a}} ^ {T}$ $\ mathbf {a}$

{\ begynne {bmatrix} 1 & 3 & -2 \ end {bmatrix}} {\ begynne {bmatrix} 4 \\ - 2 \\ - 1 \ end {bmatrix}} = {\ begynne {bmatrix} 0 \ end { bmatrix}}

Ekvivalens mellom de to definisjonene

Ekvivalensen mellom de to definisjonene kan verifiseres ved hjelp av cosinus-teoremet . I formen beskrevet ovenfor, hevder teoremet at skalarproduktet av to vektorer og i planet, definert geometrisk, er lik: $\ mathbf a$ $\ mathbf b$

{\ mathbf a} \ cdot {\ mathbf b} = {\ frac 12} {\ stor (} | {\ mathbf a} | ^ {2} + | {\ mathbf b} | ^ {2} - | {\ mathbf a} - {\ mathbf b} | ^ {2} {\ big)}

Ved å plassere og og bruke Pythagoras teorem får vi: ${\ mathbf a} = [a_ {1}, a_ {2}]$ ${\ mathbf b} = [b_ {1}, b_ {2}]$

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = {\ frac {1} {2}} {\ bigg (} a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} - {\ bigg (} (a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} {\ bigg)} {\ bigg)} = {\ frac {1} {2}} (2a_ {1} b_ {1} + 2a_ {2} b_ {2}) = a_ {1} b_ { 1} + a_ {2} b_ {2}}

Ekvivalensen i et euklidisk rom av vilkårlig størrelse kan verifiseres på en analog måte.

Applikasjoner

Skalarproduktet er av grunnleggende betydning både i fysikk og i ulike felt av matematikk , for eksempel i klassifiseringen av kjegler , i studiet av en differensierbar funksjon rundt et stasjonært punkt , i plantransformasjoner eller i løsningen av noen differensialligninger . Ofte i disse sammenhengene brukes spektralsetningen , et viktig resultat knyttet til skalarproduktet.

Norm for en vektor

I det kartesiske planet tillater skalarproduktet å definere og behandle den geometriske forestillingen om lengden til en vektor. Dette konseptet kan utvides til et vektorrom av vilkårlig størrelse ved å introdusere et analogt konsept: normen . Formelt, hvis og skalarproduktet er definert positivt, er det mulig å utstyre vektorrommet med en norm. Mer presist, funksjonen: $K = \ R$

\ | {\ mathbf x} \ |: = {\ sqrt {\ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf x} \ rangle}}

tilfredsstiller for hver vektor , og for hver skalar egenskapene: $\ mathbf x$ ${\ mathbf y}$ $\ lambda$

$\ | {\ mathbf x} \ | = 0$ hvis og bare hvis ${\ mathbf x} = 0$
$\ | \ lambda {\ mathbf x} \ | = | \ lambda | \ | {\ mathbf x} \ |$
$\ | {\ mathbf x} + {\ mathbf y} \ | \ leq \ | {\ mathbf x} \ | + \ | {\ mathbf y} \ |$

og gjør derfor vektorrommet til et normert rom .

Tilknyttet matrise

På samme måte som matrisen knyttet til en lineær applikasjon , når en base er fikset , identifiseres et skalarprodukt av den tilhørende symmetriske matrisen , definert som følger: ${\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}$ $\ phi$ $M.$

$M _ {{i, j}} = \ phi ({\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {j}) \$ [4]

På den annen side gir hver symmetrisk matrise opphav til et skalarprodukt. [5] Mange egenskaper til punktproduktet og basen kan leses på den tilhørende matrisen.

Når matrisen er fikset , for hvert par av kolonnevektorer er skalarproduktet definert av loven $M.$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {y}}$

Hvor er den transponerte linjevektoren . ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T}}$ $\ mathbf {x}$

Den skrevne matrisen med hensyn til en ortonormal basis for et visst skalarprodukt er identitetsmatrisen; hvis basen er ortogonal, men ikke normalisert, vil matrisen ganske enkelt være diagonal.

Radikal

Radikalet til et skalarprodukt er settet med vektorer som: $\ mathbf v \ i V$

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle = 0

for hver . Radikalen er et vektorunderrom av . Skalarproduktet sies å være degenerert hvis radikalet har en dimensjon større enn null. $\ mathbf w \ i V$ $V.$

Hvis den har endelig dimensjon og er matrisen assosiert med med hensyn til et hvilket som helst grunnlag, ved å bruke dimensjonsteoremet er det lett å finne at: $V.$ $M.$ $\ phi$

\ operatørnavn {rang} (M) + \ dim (\ operatørnavn {rad} (V)) = \ dim V

hvor er rangen til og er den radikale. Derfor er et skalært produkt ikke-degenerert hvis og bare hvis den tilknyttede matrisen er inverterbar . Rangeringen av punktproduktet er definert som . $\ operatørnavn {rang} (M)$ $M.$ $\ operatørnavn {rad} (V)$ $\ operatørnavn {rang} (M)$

Et definitivt positivt eller negativt skalarprodukt er nødvendigvis ikke-degenerert. Det motsatte er ikke sant, faktisk skalarproduktet knyttet til det kanoniske grunnlaget for matrisen:

A = {\ begynne {bmatrise} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\\ slutt {bmatrise}}

den er ikke degenerert, men den er verken definert positiv eller definert negativ.

Isotropiske vektorer

En vektor er isotrop hvis = 0. Alle vektorene til radikalet er isotrope, men det kan være isotrope vektorer som ikke tilhører radikalet. For eksempel, for skalarproduktet assosiert med matrisen beskrevet ovenfor, er vektoren isotrop, men er ikke inneholdt i radikalet, som har null dimensjon. $\ mathbf v$ $\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf v} \ rangle$ $TIL$ $[1.1]$

Ortogonalitet

To vektorer og kalles ortogonale hvis . Det ortogonale underrommet a (vektorunderrommet til ) er definert som: $\ mathbf v$ $\ mathbf w$ $\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle = 0$ $W$ $V.$

W ^ {\ perp} = \ {{\ mathbf w} \ i V \ | \ langle {\ mathbf w}, {\ mathbf w} '\ rangle = 0 \ \ forall {\ mathbf w}' \ i W \ }

Det ortogonale underrommet er nettopp et vektorunderrom av . I motsetning til hva som skjer med det kanoniske produktet i det euklidiske rom, krysser et underrom og dets ortogonale seg vanligvis ikke på et enkelt punkt (de kan til og med falle sammen). Når det gjelder størrelsen deres, gjelder følgende ulikhet: $V.$

\ dim W + \ dim W ^ {\ perp} \ geq \ dim V

Hvis prikkproduktet er ikke-degenerert, så gjelder likhet

\ dim W + \ dim W ^ {\ perp} = \ dim V

Til slutt, hvis skalarproduktet er definert positivt eller negativt, skjærer faktisk et rom og dets ortogonale hverandre bare ved opprinnelsen og er i direkte sum . Du får:

W \ oplus W ^ {\ perp} = V

En ortogonal basis av vektorer av er en to-og-to ortogonal vektorbasis. En base er ortogonal hvis og bare hvis matrisen knyttet til skalarproduktet i forhold til denne basen er diagonal . $V.$

Ortogonal transformasjon

En ortogonal transformasjon er en inverterbar lineær applikasjon i seg selv som bevarer skalarproduktet, dvs. slik at: $T: V \ til V$

\ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ rangle = \ langle T ({\ mathbf v}), T ({\ mathbf w}) \ rangle

Sylvesters teorem

Hvis det er feltet med reelle tall og har dimensjon n , sier den reelle Sylvester-setningen at gitt et skalarprodukt på , har vi det: $K = \ R$ $V.$ $\ phi$ $V.$

Det eksisterer et ortogonalt grunnlag for respekt for . $V.$ $\ phi$
To ortogonale baser for har samme signatur, som derfor bare avhenger av . $V.$ $\ phi$
To skalarprodukter med samme signatur er isomorfe.

Derfor er den tilknyttede matrisen en diagonal matrise som har på diagonalen bare tallene 0, 1 og -1, uten spesiell rekkefølge. La , og henholdsvis antall ganger tallene 0, 1 og -1 vises på diagonalen: treklangen er signaturen til skalarproduktet. $i_ {0}$ $jeg _ {+}$ $de_{-}$ $(i_ {0}, i _ {+}, i _ {-})$

Signaturen er en fullstendig invariant for isometri: to vektorrom med skalarprodukt er isometriske hvis og bare hvis de har samme signatur.

Det komplekse Sylvester-teoremet sier i stedet at det alltid er en ortogonal basis slik at tallet for hver er lik 0 eller 1. I dette tilfellet er rangeringen en fullstendig invariant for isometri: to komplekse vektorrom med skalarprodukt er isometriske hvis og bare hvis de har samme rangering. ${\ mathbf v} _ {1}, \ prikker, {\ mathbf v} _ {n}$ $de$ $\ langle {\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {i} \ rangle$

Symmetrisk endomorfisme

En endomorfisme er symmetrisk eller selvtilknyttet med hensyn til punktproduktet hvis: $T: V \ til V$

\ langle T ({\ mathbf v}), {\ mathbf w} \ rangle = \ langle {\ mathbf v}, T ({\ mathbf w}) \ rangle

for hvert par av vektorer . En endomorfisme er symmetrisk hvis og bare hvis den assosierte matrisen med hensyn til en ortonormal basis er symmetrisk . ${\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ i V$

Eksempler

Det kanoniske skalarproduktet mellom vektorer av det euklidiske planet eller rommet er et definitivt positivt skalarprodukt.
La være vektorrommet til de kontinuerlige funksjonene på intervallet [0,1], med reelle verdier . Et skalært produkt kan defineres på ved å plassere: $C ([0,1])$ $C ([0,1])$

\ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx

Dette punktproduktet kalles positivt, fordi integralet av er strengt tatt positivt hvis det ikke konstant er null.

f ^ {2}

f

Det samme skalarproduktet fra forrige punkt kan defineres på vektorrommet til målbare funksjoner med reell verdi . Her er skalarproduktet bare positivt semibestemt: faktisk hvis det er funksjonen som er 1 på 1/2 og 0 på alt annet, er integralet av null ( det er isotropisk). $M ([0,1])$ $f$ $f ^ {2}$ $f$

Merknader

^ a b Hoffman, Kunze , s. 271 .
^ S. Lang , side 185 .
^ S. Lang , side 151 .
^ Dette gjelder for en generisk bilineær form , hvor skalarproduktene bare er en bestemt type.
^ Dette gjelder bare hvis vi vurderer gyldige skalarprodukter, selv de som er degenererte og som ikke er definert som positive for et par av vektorer som ikke er null.

Bibliografi

Serge Lang , Lineær Algebra , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra , 2. utg ., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
( NO ) Arfken, G. "Scalar or Dot Product." §1.3 i Matematiske metoder for fysikere, 3. utg. Orlando, FL: Academic Press, s. 13-18, 1985.
( EN ) Jeffreys, H. og Jeffreys, BS "Scalar Product." §2.06 i Methods of Mathematical Physics, 3. utg. Cambridge, England: Cambridge University Press, s. 65–67, 1988.

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikibooks inneholder tekster eller manualer om skalarproduktet
Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer om dot-produktet

Eksterne lenker

( EN ) AB Ivanov, indre produkt , i Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
( NO ) Weisstein, Eric W. Dot-produkt . Fra MathWorld
Forklaring av punktprodukt inkludert med komplekse vektorer , på mathreference.com .
( EN ) "Dot Product" av Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project , 2007.