Moment av en vektor

I lineær algebra er bevegelsesmengden til en vektor en pseudovektor definert som vektorproduktet av vektorens posisjon , i forhold til et punkt kalt pol , for selve vektoren. Begrepet brukes noen ganger med en skalar betydning : dette er for eksempel tilfellet for størrelser som det statiske momentet og treghetsmomentet .

På grunn av vektornaturen til mange mengder som kan observeres i fysikk og anvendt vitenskap, brukes konseptet ofte i disse feltene: for eksempel er vinkelmomentum , mekanisk moment , elektrisk moment og magnetisk moment definert . Et moment kan ha bemerkelsesverdige bevaringsegenskaper og er ikke avhengig av valget av referansesystemet , dvs. det er invariant med hensyn til endring av base .

Definisjon

Gitt en vektor brukt på punktet , og gitt et punkt kalt pol , er øyeblikket for respekt for vektoren definert $\ mathbf a$ $\ mathbf P$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ $\ mathbf a$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} = \ mathbf {r} \ ganger \ mathbf {a}}

hvor er vektoren som forbinder polen og påføringspunktet for vektoren [1] . Momentets modul er gitt, per definisjon av et vektorprodukt , av: ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {P} - \ mathbf {o}}$ $\ mathbf a$

{\ displaystyle m_ {o} = ra \ sin \ vartheta}

hvor er vinkelen dannet av de to vektorene, definert av [2] $\ vartheta$

{\ displaystyle \ cos \ vartheta = {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {a}} {ra}}}

Dens retning er den ortogonale til planet dannet av de to vektorene og , og retningen bestemmes av høyrehåndsregelen . $\ mathbf r$ $\ mathbf a$

Det følger av egenskapene til vektorproduktet at, angir med vektoren ${\ mathbf r} '$

{\ displaystyle \ mathbf {r} '= \ mathbf {r} _ {\ perp} = \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {a}} {a ^ {2} }} \ mathbf {a}}

som måler avstanden mellom punktet og den rette linjen som vektoren ligger på, holder egenskapene ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ $\ mathbf a$

{\ displaystyle {\ start {aligned} & \ mathbf {M} _ {o} = \ mathbf {r} \ ganger \ mathbf {a} = \ mathbf {r} '\ ganger \ mathbf {a} \\ [6pt ] & M_ {o} = ra \ sin \ vartheta = r'a \ sin \ vartheta = r'a \\\ end {justert}}}

det vil si at momentverdien bare bestemmes av den ortogonale komponenten av vektorradiusen ; verdien av denne komponenten kalles respektarmen til polen [1] . $\ mathbf r$ $h$ $\ mathbf a$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$

Merk at hvis

{\ displaystyle \ mathrm {sen} \, \ vartheta = 0}

det vil si at hvis og er parallelle, er momentet null; omvendt, hvis $\ mathbf r$ $\ mathbf a$

{\ displaystyle \ mathrm {sen} \, \ vartheta = 1}

det vil si at hvis og er ortogonale, er momentet maksimalt. $\ mathbf r$ $\ mathbf a$

Dessuten, ved å flytte vektoren eller polen parallelt med linjen den ligger på, forblir øyeblikket det samme, fordi det ikke endres . Ved å velge en ny pol endres derimot øyeblikket generelt, og forskjellen mellom den opprinnelige verdien og den nye verdien er lik. $\ mathbf a$ ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$ $\ mathbf a$ $r '$ ${\ displaystyle \ mathbf {o} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o ^ {\ prime}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} - \ mathbf {m} _ {o ^ {\ prime}} = \ mathbf {r} _ {oo ^ {\ prime}} \ ganger \ mathbf {a}}

hvor er vektoren som peker fra den gamle polen til den nye. ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {oo ^ {\ prime}}}$

Bruke øyeblikk i mekanikk

I mekanikk , og mer spesifikt i systemdynamikken , brukes to distinkte størrelser fremfor alt som faller innenfor definisjonen av moment :

vinkelmomentet , definert som momentet til momentumvektoren [ 3] ;
det mekaniske momentet, som er vektorsummen av momentene til alle kreftene som virker på det betraktede systemet [4] ;

Noen ganger kalles momentvektoren lineært moment på engelsk , og sporer skillet som er gjort på engelsk mellom vinkelmoment og lineært moment . Det skal imidlertid bemerkes at det såkalte lineære momentet ikke representerer momentet til noen vektor [5] .

På samme måte representerer treghetsmoment og skalarmengder for statiske momenter , til tross for navnet, ikke momentumet til noen vektor.

Moment of Momentum

Med hensyn til polen er vinkelmomentum [3] definert som momentum : ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {o}: = \ mathbf {r} \ ganger \ mathbf {p}}

Moment of Force

Med hensyn til polen er mekanisk moment [ 4] definert som kraftmomentet : ${\ displaystyle \ mathbf {o}}$

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {o}: = \ mathbf {r} \ ganger \ mathbf {F}}

Analysen av momentene til de påførte kreftene er viktig for å bestemme tilstanden til statisk likevekt for utvidede kropper, så vel som for studiet av rotasjonsbevegelser. Faktisk er det en viktig bevaringslov som fastslår at hvis momentet til den resulterende kraften på et system er null, blir vinkelmomentet til det systemet bevart. Dette stammer fra vinkelmomentteoremet , så: [6]

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {L} _ {o} = \ mathbf {M} _ {o} - \ mathbf {v} _ {o} \ ganger \ mathbf {p}}

hvor er vinkelmomentvektoren , og momentet til resultanten. Ved å sikre at polen som momentet beregnes for er stasjonær eller beveger seg parallelt med systemets massesenter , koker formelen ovenfor ned til: ${\ mathbf L}$ $\ mathbf M$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {L} _ {o} = \ mathbf {M} _ {o}}

Varignons teorem

Øyeblikket, med hensyn til en pol , av et system av vektorer som alle brukes på samme punkt er lik øyeblikket til den resulterende vektoren, brukt i , med hensyn til samme pol . [7] $P.$ $Q$ $Q$ $P.$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {m} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ ganger \ mathbf {a} _ {i}) = \ mathbf {r} \ ganger \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {a} _ {i} = \ mathbf {r} \ ganger \ mathbf {a}}

Merknader

^ a b Mazzoldi, Nigro, Voices , s. 562.
^ Her, som senere, er det betegnet med det ordinære skalarproduktet mellom vektorer i . ${\ displaystyle \ cdot}$ $\R ^ 3$
^ a b Mazzoldi, Nigro, Voices , s. 83.
^ a b Mazzoldi, Nigro, Voices , s. 84.
^ Merk at på engelsk er momentum indikert med momentum , mens momentet til en vektor med moment .
^ Mazzoldi, Nigro, Voices , s. 137-139 .
^ D'anna, Renno, Elements of Rational Mechanics, Vol I , s. 367.

Bibliografi

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volume I (andre utgave) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer for øyeblikket