Enhetsoperatør

I geometri er en enhetlig operator , også kalt enhetlig transformasjon , en isomorfisme mellom to Hilbert-rom som bevarer skalarproduktet, og er derfor generaliseringen av isometribegrepet til det komplekse feltet .

Enhetsoperatorer på endelig-dimensjonale Hilbert-rom utgjør settet med enhetlige matriser . Hvis de har alle de reelle elementene, kalles enhetsmatrisene ortogonale matriser og tilsvarer enhetsoperatorene på . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Definisjon

En enhetlig operator er definert som en isomorfisme mellom to Hilbert-rom som bevarer skalarproduktet: [1] $U: {\ mathcal {H}} _ {{1}} \ høyrepil {\ mathcal {H}} _ {{2}}$

(\ phi, \ psi) = (U \ phi, U \ psi) \ qquad \ forall \ phi, \ psi \ i {\ mathcal {H}} _ {{1}}

Tilsvarende er en enhetsoperatør en operatør slik at:

U ^ {{\ dolk}} U = UU ^ {{\ dolk}} = 1

hvor det er indikert med den ekstra operatoren . $U ^ {{\ dolk}}$ $U$

Spesielt er normen til en enhetlig operatør enhetlig:

\ | U \ | = 1

I endelig dimensjonale vektorrom er surjektivitet garantert av det faktum at en enhetlig operatør er en isomorfisme, og invertibilitet stammer fra den .

Spektrum

Spekteret til en enhetsoperatør ligger på enhetens omkrets , det vil si for hvert tall i spekteret det er . Dette faktum kan sees på som en konsekvens av spektralteoremet for normale operatører , som sier at det er enhetlig ekvivalent med multiplikasjonen med en målbar funksjon med hensyn til sigma-algebraen til et begrenset målrom med Borel-mål . Da, siden det innebærer nesten overalt med hensyn til , er det essensielle spekteret til , og derfor spekteret til , inneholdt i enhetssirkelen. $U$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ $| \ lambda | = 1$ $U$ $f \ i L ^ {2} (\ mu)$ $(X, \ mu)$ $\ mu$ $UU ^ {{\ dolk}} = I$ $| f (x) | ^ {2} = 1$ $\ mu$ $f$ $U$

Linearitet

Lineariteten til en enhetlig operatør kan utledes fra lineariteten til det interne produktet definert som positivt:

\ langle \ lambda \ cdot Ux-U (\ lambda \ cdot x), \ lambda \ cdot Ux-U (\ lambda \ cdot x) \ rangle

= \ | \ lambda \ cdot Ux \ | ^ {2} + \ | U (\ lambda \ cdot x) \ | ^ {2} - \ langle U (\ lambda \ cdot x), \ lambda \ cdot Ux \ rangle - \ langle \ lambda \ cdot Ux, U (\ lambda \ cdot x) \ rangle

= | \ lambda | ^ {2} \ cdot \ | Ux \ | ^ {2} + \ | U (\ lambda \ cdot x) \ | ^ {2} - \ overline {\ lambda} \ cdot \ langle U ( \ lambda \ cdot x), Ux \ rangle - \ lambda \ cdot \ langle Ux, U (\ lambda \ cdot x) \ rangle

= | \ lambda | ^ {2} \ cdot \ | x \ | ^ {2} + \ | \ lambda \ cdot x \ | ^ {2} - \ overline {\ lambda} \ cdot \ langle \ lambda \ cdot x , x \ rangle - \ lambda \ cdot \ langle x, \ lambda \ cdot x \ rangle

= 0

På lignende måte får vi:

\ langle U (x + y) - (Ux + Uy), U (x + y) - (Ux + Uy) \ rangle = 0

Merknader

^ Reed, Simon , side 39

Bibliografi

Serge Lang, Lineær Algebra , Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , 2. utgave, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Serge Lang , Differential manifolds , Reading, Mass. – London – Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
Paul Halmos , A Hilbert space problem book , Springer , 1982.

Relaterte elementer

Eksterne lenker

( EN ) VI Sobolev, enhetsoperatør , i Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
( EN ) VI Sobolev, Unitarily-equivalent operators , i Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.