Grundlagen der Geometrie ( Fundament of Geometry ) er et bind utgitt av David Hilbert i 1899 , som var så vellykket at det påvirket mange utviklinger innen matematikk fra det 20. århundre .
Forfatterens mål er å gi en strenghet og en aksiomatisk formalisme (sammenlignbar med algebra og matematisk analyse ) også til geometri , en disiplin som i løpet av hele det nittende århundre hadde hatt enestående fremgang, hadde oppnådd mange og viktige resultater, den satte ambisiøse mål. (se Erlangen-programmet ), men som fortsatt manglet logisk solid fundament.
In the Elements Euclid bruker en deduktiv struktur, men bruker ofte definisjoner av mening og antakelser som vil forbli implisitte; dessuten mangler den i noen øyeblikk logisk strenghet.
Hilbert, klar over det faktum at i matematikk ikke alle enheter kan være gjenstand for strenge definisjoner, bruker tre grunnleggende objekter som han lar være udefinerte: punktet, linjen og planet; den bruker også seks ubestemte relasjoner: å være på, å være i, å være mellom, å være kongruent med, å være parallell med, å være kontinuerlig .
Tjue aksiomer følger deretter i verket, i dag kalt Hilberts aksiomer , der åtte forekomstforhold, fire ordensegenskaper, fem kongruensforhold, to for kontinuitet og til slutt et postulat om parallellisme, i hovedsak ekvivalent med det euklidiske postulatet, griper inn. . Det er ikke riktig å tillegge alle enheter som ikke er formelt definerte egenskaper som er forskjellige fra de som er angitt i aksiomene; på dette tidspunktet blir relasjonene bare korrespondanser.
Resultatet av dette aksiomatiseringsarbeidet er oppnåelsen av en grad av høy abstraksjon, mye høyere i bevissthet og logisk robusthet enn den til pre-Hilbert geometri.
Grundlagen der Geometrie var pionerene for en "aksiomatisk skole", for en ny måte å håndtere geometri på; faktisk har det vært mange etterfølgende tekster som foreslår forskjellige sett med aksiomer som et utgangspunkt, alternative til Hilberts.
Det aktuelle bindet begynner med en setning fra Kant : "All menneskelig kunnskap starter fra intuisjoner, går gjennom konsepter og kulminerer i ideer" ; Hilberts refleksjon er artikulert over denne tanken, men han er bestemt plassert i en visjon motsatt Kants tanke. Resultatene av geometri fra det nittende århundre , med utgangspunkt i krisen til ikke-euklidisk geometri , gjør det nødvendig å forlate det empirisk-intuitive nivået som er typisk for klassisk geometri: punkter, linjer og plan er ganske enkelt elementer i gitte sett; i denne forbindelse vil Hilbert si at man i stedet for punkter, linjer og fly kan snakke om glass, begre og krus med øl.
Ideen som lå til grunn for Grundlagen der Geometrie var grunnlaget for formalismens filosofiske posisjon i matematikk , og ble deretter overdrevet av noen av Hilberts tilhengere, opp til påstanden om at matematikk er et meningsløst spill, med meningsløse markeringer. , i henhold til formelle regler som må bare avtales i starten.