Oversettelse (geometri)

I euklidisk geometri er en oversettelse en affin transformasjon av det euklidiske rom , som flytter alle punkter med en fast avstand i samme retning. Det kan også tolkes som tillegg av en konstant vektor ved hvert punkt, eller som en forskyvning av opprinnelsen til koordinatsystemet . Med andre ord, hvis det er en fast vektor, er oversettelsen definert av operasjonen $\ overrightarrow {\ mathbf v}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ venstre ({\ overrightarrow {\ mathbf {p}}} \ høyre) = {\ overrightarrow {\ mathbf {p}}} + {\ overrightarrow {\ mathbf {v } }}.}

La det være en oversettelse, så kalles bildet av en delmengde av punkter i forhold til funksjonen en " oversettelse av ". Det oversatte settet av er ofte betegnet med notasjonen . $T.$ $TIL$ $T.$ $TIL$ $T.$ $TIL$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$ $A + \ overhøyrepil {\ mathbf v}$

Alle oversettelser er isometrier .

Translasjon kan også sees som et resultat av en rotasjon utført av et rotasjonssenter som er uendelig i retningen ortogonalt til translasjonsretningen.

Oversettelse i flyet

Oversette grafer til analytisk geometri

Translasjon i planet er en nyttig operasjon i analytisk geometri for å flytte kurver som rette og kjeglesnitt : dette gjøres ved å modifisere ligningene som beskriver dem.

Den generelle formelen for å oppnå en oversatt ligning er følgende:

{\ displaystyle {\ begynne {cases} x '= x + x_ {v} \\ y' = y + y_ {v} \ end {cases}}}

hvor er koordinatene som skal oppnås; de er de av den opprinnelige ligningen; er komponentene i vektoren assosiert med translasjonen, nyttige for å oversette kjeglene i det kartesiske planet i to dimensjoner. Derfor er vektoren assosiert med oversettelse av ligninger og og omvendt. ${\ displaystyle x ', y'}$ $x, y$ ${\ displaystyle x_ {v}, y_ {v}}$ ${\ displaystyle x '= x + x_ {v}}$ ${\ displaystyle y '= y + y_ {v}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {v}}} (x_ {v}; y_ {v})}$

Gitt en funksjon og komponentene og av vektoren assosiert med en spesifikk oversettelse, får vi en oversatt funksjon , hvis uttrykk kan skrives som følger: $y = f (x)$ ${\ displaystyle x_ {v}}$ $y_ {v}$ ${\ displaystyle y = f '(x)}$

{\ displaystyle y = f (x-x_ {v}) + y_ {v}.}

Matriserepresentasjon

Siden oversettelse er en affin, men ikke lineær transformasjon, brukes generelt homogene koordinater for å representere den med matriser . Transformasjonen fra kartesiske koordinater til homogene koordinater er definert på denne måten:

{\ visningsstil \ venstre (x, y, z \ høyre) ^ {\ rm {T}} \ mapsto \ venstre (x, y, z, 1 \ høyre) ^ {\ rm {T}}.}

Translasjonen av et punkt i homogene koordinater langs vektoren utføres deretter ved hjelp av translasjonsmatrisen : ${\ vec {{\ mathbf v}}} = \ venstre (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ høyre) ^ {{{\ rm {T}}}}$

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begynne {pmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Å multiplisere translasjonsmatrisen med vektoren i homogene koordinater gir det forventede resultatet:

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} {\ vec {\ mathbf {p}}} = {\ begynne {pmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ { y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begynne {pmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z } \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begynne {pmatrix} p_ {x} + v_ {x } \\ p_ {y} + v_ {y} \\ p_ {z} + v_ {z} \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ vec {\ mathbf {p}}} + {\ vec {\ mathbf {v}}}}

Den inverse av translasjonsmatrisen oppnås ved å invertere tegnet til den tilknyttede vektoren:

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- \ mathbf {v}}.}

På samme måte oppnås produktet av translasjonsmatriser ved å legge til de tilknyttede vektorene:

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {u}} T _ {\ mathbf {v}} = T _ {\ mathbf {u} + \ mathbf {v}}.}

Siden vektoraddisjon er en kommutativ operasjon , er det også multiplikasjonen av translasjonsmatriser, i motsetning til multiplikasjon mellom generiske matriser.

Gruppestruktur

Oversettelsene utgjør en gruppe . Spesielt er sammensetningen av to oversettelser en oversettelse.

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på oversettelse

Eksterne lenker

( EN ) Oversettelse , på Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.