Fibonacci-sekvens

I matematikk er Fibonacci -sekvensen (også kalt den gyldne sekvensen ) en sekvens av heltall der hvert tall er summen av de to foregående, bortsett fra de to første som per definisjon er 0 og 1. [1] Denne sekvensen , indikert med eller med , er definert rekursivt : fra de to første elementene, og , vil hvert annet element i sekvensen bli gitt av relasjonen: $F_ {n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Fib} (n)}$ ${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ $F_ {1} = 1$

F_ {n} = F _ {{n-1}} + F _ {{n-2}}

Grunnstoffene kalles også Fibonacci-tall . De første leddene i Fibonacci-sekvensen, som har fått navnet sitt fra den pisanske matematikeren Leonardo Fibonacci fra 1200-tallet , er: $F_ {n}$ ${\ displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, \ prikker}$

Historie

Leonardo Fibonaccis hensikt var å finne en matematisk lov som beskrev veksten til en kaninpopulasjon .

Forutsatt ved hypotese at:

du har et par nyfødte kaniner
dette første paret blir fruktbart på slutten av den første måneden og føder et nytt par på slutten av den andre måneden;
de nyfødte parene oppfører seg på en lignende måte;
fertile par fra den andre levemåneden og utover føder et par barn per måned;

følgende skjer:

etter en måned vil et par kaniner være fruktbare,
etter to måneder vil det være to par hvorav bare ett er fruktbart,
i den påfølgende måneden, tredje måneden fra det første øyeblikket, vil det være par fordi bare det fertile paret vil ha generert; av disse tre vil derfor to være fruktbare par ${\ displaystyle 2 + 1 = 3}$
i den påfølgende måneden (fjerde måned fra det første øyeblikket) vil det være par ${\ displaystyle 3 + 2 = 5}$

	I begynnelsen	På slutten av den første måneden	På slutten av den andre måneden	På slutten av tredje måned	På slutten av den fjerde måneden	På slutten av den femte måneden	På slutten av den sjette måneden	På slutten av den syvende måneden	På slutten av den åttende måneden	På slutten av den niende måneden	På slutten av den tiende måneden	På slutten av den ellevte måneden	På slutten av den tolvte måneden
Par kaniner	1	1	2	3	5	8	1. 3	21	34	55	89	144	233

I dette eksemplet uttrykker antallet kaninpar hver måned Fibonacci-sekvensen.

Egenskaper

Forholdet , som har en tendens til uendelig, har en tendens til det irrasjonelle algebraiske tallet kalt det gylne snitt eller Phidias -tallet . I matematiske termer: ${\ frac {F_ {n}} {F _ {{n-1}}}}$ $n$ $\ varphi$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ til \ infty} {F_ {n} \ over F_ {n-1}} = \ varphi}

hvor er det

{\ displaystyle \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2} = 1 {,} 6180339888749895 \ prikker}

Faktisk, hvis vi setter det resultater ${\ displaystyle x: = \ lim _ {n \ høyrepil \ infty} {\ dfrac {F_ {n}} {F_ {n-1}}}}$

{\ displaystyle x = \ lim _ {n \ høyrepil \ infty} {\ dfrac {F_ {n}} {F_ {n-1}}} = \ lim _ {n \ høyrepil \ infty} {\ dfrac {F_ { n-1} + F_ {n-2}} {F_ {n-1}}} = \ lim _ {n \ høyrepil \ infty} \ venstre (1 + {\ dfrac {F_ {n-2}} {F_ {n-1}}} \ høyre) = 1 + \ lim _ {n \ høyrepil \ infty} {\ dfrac {F_ {n-1}} {F_ {n}}} = 1 + {\ dfrac {1} {x}}}

hvorav det følger at , altså . Denne ligningen har for løsninger , men fordi Fibonacci-sekvensen definitivt øker: derfor ${\ displaystyle x = 1 + {\ dfrac {1} {x}}}$ $x ^ {2} -x-1 = 0$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ høyrepil \ infty} {\ dfrac {F_ {n}} {F_ {n-1}}}> 1}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ til \ infty} {F_ {n} \ over F_ {n-1}} = {\ dfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Forholdet mellom et Fibonacci-tall og dets neste har en tendens til det gjensidige til det gyldne snitt ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varphi}} = 0,6180339887498948 \ ldots}$

For følgende forhold gjelder: $\ varphi$

til)

{\ displaystyle \ varphi -1 = {\ frac {1} {\ varphi}} = {- 1 + {\ sqrt {5}} \ over 2},}

{\ displaystyle 1- \ varphi = - {\ frac {1} {\ varphi}} = {1 - {\ sqrt {5}} \ over 2}.}

Det -te Fibonacci-tallet kan uttrykkes med formelen: [2] $n$

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n}} {\ sqrt {5}}} - {\ frac {(1- \ varphi) ^ {n}} {\ sqrt {5}} } = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}}}.}

Denne elegante formelen er kjent som Binet-formelen . Jacques Binet beviste det i 1843, men det var allerede kjent på 1700-tallet av Euler , Abraham de Moivre og Daniel Bernoulli . Dette uttrykket for kan beregnes ved hjelp av zeta-transformasjonen . $F_ {n}$

Noen ganger er det praktisk å bruke den bilaterale suksesjonen, det vil si en suksesjon definert på heltall i stedet for på naturlige, som består av heltall ved å legge begrepene til de foregående $F _ {{- n}}: = (- 1) ^ {{n + 1}} F_ {n} \ quad {\ mathrm {per}} \ quad n = 1,2, \ ldots$

Med utgangspunkt i Fibonacci-tallene og det gylne snitt kan noen spesielle funksjoner defineres: Fibonacci hyperbolsk cosinus, Fibonacci hyperbolsk cotangens , Fibonacci hyperbolsk sinus , Fibonacci hyperbolsk tangens .

Relasjoner med Tartaglias trekant og binomiale koeffisienter

Tartaglias trekant er en kjent representasjon av de binomiale koeffisientene hentet fra utviklingen av Newtons binomiale , hvor det er en linje i trekanten: $(a + b) ^ {n}$ $n$

For å vise at det er en sammenheng mellom trekanten og Fibonacci-tallene, skriver vi om tallene i trekanten som følger:

Starter fra den første røde linjen øverst, hvis du legger sammen tallene krysset av hver linje, får du Fibonacci-sekvensen.

Forholdet til de binomiale koeffisientene er:

F_ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} {nk-1 \ velg k} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} {nk \ velg k-1}

Fibonacci-tall og vanlige faktorer

Hvis , da , det vil si at hvert multiplum av identifiserer et Fibonacci-tall som er multiplum av . $n \ midt m$ $F_ {n} \ mid F_ {m}$ $nk$ $n$ $F _ {{nk}}$ $F_ {n}$

Visuelt kan du bygge en tabell ved å sette "x" hvis den ikke er en divisor av : $F_ {n}$ $F_ {i}$

i 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F (i) 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 F (3) = 2 xx xxx x F (4) = 3 xx xxxx x F (5) = 5 xx xxxxxx

Fra hvilket vi ser at det er en faktor på for hver , det er en faktor på for hver , det er en faktor på for hver , og så videre. $2$ $F _ {{3n}}$ $n$ $3$ $F _ {{4n}}$ $n$ $5$ $F _ {{5n}}$ $n$

Beviset følger av de binomiale koeffisientene

F_ {k} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{k-1}} {ki \ velg i-1} = m,

F _ {{nk}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{nk-1}} {nk-i \ velg i-1} = t.

Nærliggende Fibonacci-tall

To påfølgende Fibonacci-tall har ingen felles faktorer, det vil si at de er coprime . $F_ {n}, F _ {{n + 1}}$

Faktisk, både og for noen , hvor er en felles divisor. Vi har , det vil si har også som divisor, og fortsetter resonnementet for de tidligere begrepene , kommer vi til at også har som divisor, derfor $F_ {n} = men$ $F _ {{n + 1}} = mb$ $n$ $m$ ${\ displaystyle F_ {n-1} = F_ {n + 1} -F_ {n} = m (ba)}$ $F _ {{n-1}}$ $m$ ${\ displaystyle F_ {n-2}, F_ {n-3}, \ prikker}$ $F_ {1} = 1$ $m$ ${\ displaystyle m = 1}$

Fibonacci-primtall

Siden det er delelig med og , hvis et tall er primtall, er det også primtall, bortsett fra . $F _ {{nm}}$ $F_ {n}$ $F_ {m}$ $F_ {k}$ $k$ $F_ {4} = 3$

Det motsatte er ikke sant. Faktisk, for eksempel , er det prime, mens det ikke er prime. $19$ $F _ {{19}} = 113 \ cdot 37 = 4181$

Det største kjente første Fibonacci-tallet ble rapportert i april 2001 av David Broadbent og Bouk de Water. $F _ {{81839}}$

Serien med indeksnummer for Fibonacci-primtal er sekvensen A001605 .

Carmichaels teorem og karakteristiske primfaktorer

For hver er det en primfaktor av Fibonacci-tallet som aldri dukket opp som en faktor av Fibonacci-tallene , med $n> 12$ $F_ {n}$ $F_ {k}$ ${\ displaystyle k <n.}$

Denne teoremet er kjent som Carmichaels teorem . For vi har følgende spesielle tilfeller: $n \ leq 12$

F_ {1} = 1

(har ingen primfaktorer);

F_ {2} = 1

(har ingen primfaktorer);

F_ {6} = 8

, som bare har primfaktoren , som også er ;

2

F_ {3}

F _ {{12}} = 144

, som har bare faktorene og , som sine primære faktorer og disse tidligere dukket opp som og .

2

3

F_ {3} = 2

F_ {4} = 3

Merk at dette ikke betyr at det må være et primtall for hvert primtall. For eksempel , hvor er et primtall, men nei. $F_ {p}$ $s$ ${\ displaystyle F_ {19} = 4181 = 37 \ ganger 113}$ $19$ $F _ {{19}}$

Primfaktorene til et Fibonacci-tall som ikke deler noe tidligere Fibonacci-tall kalles karakteristiske faktorer eller primitive primfaktorer . $F_ {n}$

En primitiv faktor av er kongruent med , med unntak av . $F_ {n}$ ${\ displaystyle -1 \ mod n}$ $n = 5$

Hvis e er en primitiv divisor av , så er den primtall. Hvis e er en primitiv divisor av , så er den primtall (denne teoremet ble først nevnt av Édouard Lucas , men ikke bevist). $n \ equiv 3 \ mod 10$ $n$ $F _ {{n + 1}}$ $n$ $n \ equiv 1 \, {\ bmod 1} 0$ $n$ $F _ {{n-1}}$ $n$

Delbarhetsegenskaper

Fibonacci-tall har vanligvis følgende delebarhetsegenskaper:

hvis da $m \ midt k$ ${\ displaystyle F_ {m} \ mid F_ {k},}$

der symbolet betyr at det er en deler av $x \ midten av y$ $x$ ${\ displaystyle y.}$

Et annet resultat er følgende: valgte Fibonacci-tall fra et sett , så deler ett av de valgte tallene et annet nøyaktig (Weinstein 1966). $n + 1$ ${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots, F_ {2n}}$

Mihàly Bencze fant en ny delebarhetsegenskap med en ny sekvens. Sekvensen har de fire første faste verdiene og regelen ${\ displaystyle B (n + 4) = B (n + 1) + B (n).}$

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1. 3
B (n)	4	0	0	3	4	0	3	7	4	3	10	11	7	1. 3

Nå observerer vi at det alltid er delelig med , når det er et primtall (Bencze 1998). $B (n)$ $n$ $n$

Primalitet

Hvis det er et primtall større enn e eller e er et primtall (en tilstand som minner om Sophie Germains primitet), så er det sammensatt. $s$ $7$ $p \ equiv 2 \, {\ bmod 5}$ $p \ equiv 4 \, {\ bmod 5}$ $2p-1$ $(2p-1) \ mid F_ {p}$ $F_ {p}$

Hvis det er primtall, er det ikke et perfekt kvadrat bortsett fra , i så fall er det , uten perfekt kvadrat. $s$ $F _ {{p}} ^ {n}$ $p = 5$ $F _ {{5}} ^ {n} = 5 ^ {m}$ $m$

Relasjoner med størst felles divisor og delbarhet

En viktig egenskap ved Fibonacci-tall gjelder deres største felles divisor . Faktisk er identiteten tilfredsstilt

{\ mathrm {MCD}} (F_ {n}, F_ {m}) = F _ {{{\ mathrm {MCD}} (n, m)}}

(Vorob'evs teorem).

Av dette følger det at den er delelig av seg selv og bare hvis den er delbar med . Denne egenskapen er viktig fordi det følger at et Fibonacci-tall bare kan være et primtall hvis det i seg selv er et primtall, med det eneste unntaket av (det eneste Fibonacci-tallet det kan deles med er ). [3] Det motsatte er imidlertid ikke sant: for eksempel er det lik . $F_ {n}$ $F_ {m}$ $n$ $m$ $F_ {n}$ $n$ $F_ {4} = 3$ $F_ {2} = 1$ $F _ {{19}}$ $4181 = 37 \ cdot 113$

Det er ikke kjent om primtall som også er Fibonacci-tall er uendelige eller ikke.

Videre kan det vises at hvert primtall deler minst ett, og følgelig uendelig, Fibonacci-tall.

Andre egenskaper

Blant de andre mindre egenskapene til Fibonacci-sekvensen er følgende.

Charles Raine fant følgende. Tenk på 4 påfølgende Fibonacci-tall og en rettvinklet trekant med ben og hypotenusa . Så, hvis det er lik produktet av de eksterne leddene og er lik det dobbelte av produktet av de interne leddene (dvs. hvis og ), så er det også et Fibonacci-tall. Dessuten er arealet av trekanten lik produktet av de fire tallene. $F _ {{k}}, F _ {{k + 1}}, F _ {{k + 2}}, F _ {{k + 3}}$ $til$ $b$ $c$ $til$ $b$ $a = F _ {{k}} F _ {{k + 3}}$ $b = 2F _ {{k + 1}} F _ {{k + 2}}$ $c$

Ta tall for eksempel og så er det . Ved å legge til kvadratene og trekke ut kvadratroten får vi , som er det ellevte Fibonacci-tallet. Arealet av trekanten vil være . ${\ displaystyle 3,5,8}$ ${\ displaystyle 13,}$ ${\ displaystyle a = 3 \ cdot 13 = 39, b = 2 \ cdot (5 \ cdot 8) = 80}$ $c = {\ sqrt {39 ^ {2} + 80 ^ {2}}} = {\ sqrt {1521 + 6400}} = {\ sqrt {7921}} = 89$ ${\ displaystyle 3 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot 13 = 1,560}$

Gitt fire påfølgende Fibonacci-tall, er produktet av det første med det fjerde alltid lik produktet av det andre med det tredje økt eller redusert med . $1$
Hvis vi tar sekvensen av kvadrater av Fibonacci-tallene og bygger en sekvens ved å addere to og to tallene til den første sekvensen, består den resulterende sekvensen av alle og bare Fibonacci-tallene med oddeplasser.
Gitt sekvensen av de oddetalls Fibonacci-tallene, hvis vi konstruerer sekvensen oppnådd ved å subtrahere de tilstøtende tallene i den første sekvensen fra to til to, får vi sekvensen av de partallsnummerede Fibonacci-tallene.
Hvert Fibonacci-tall tilsvarer summen av tallene foran unntatt det siste, økt med . $1$
De eneste Fibonacci-tallene som er jevne kvadrater er og som demonstrert i 1963 av John HE Cohn [4] . ${\ displaystyle 0,1}$ ${\ displaystyle 144,}$
Identiteten til Cassini , oppdaget i 1680 av Jean-Dominique Cassini , sier at for hver helhet , $n$

F _ {{n-1}} F _ {{n + 1}} - F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}.

Denne identiteten ble generalisert i 1879 av Eugène Charles Catalan :

F_ {n} ^ {2} -F _ {{nr}} F _ {{n + r}} = (- 1) ^ {{n + r}} F_ {r} ^ {2}.

Summen av de gjensidige til Fibonacci-tallene konvergerer , som kan sees ved å bruke forholdskriteriet , og husk at forholdet mellom to påfølgende Fibonacci-tall har en tendens til . Summen av denne serien er omtrentlig , det har vist seg at dette tallet er irrasjonelt . Det kan allerede fås fra termer med PARI / GP: sum (i = 1,100,1.0 / fibonacci (i)) $\ phi \ ca. 1,618> 1$ ${\ displaystyle 3,35988566624;}$ $100$

Euklids algoritme med lengre syklus

Lamé demonstrerte i 1844 at Euclids algoritme har en lengre syklus hvis det er Fibonacci-tall i inngangen.

Fortsatt brøker

Det er koblinger med fortsatte brøker etter Fibonacci-tall og også med Farey-brøker og det gylne snitt.

En spesiell uendelig kontinuerlig brøkdel er det gylne snitt ${\ displaystyle \ phi = [1; 1,1,1,1,1,1,1,1, \ ldots].}$

Den foregående fortsatte brøken kan også betraktes som forskjellige biter av konvergerende termer; for eksempel:

{\ displaystyle (0) = 0}

{\ displaystyle (0,1) = 1}

{\ displaystyle (0,1,1) = 1/2}

{\ displaystyle (0,1,1,1) = 2/3}

{\ displaystyle (0,1,1,1,1) = 3/5}

{\ displaystyle (0,1,1,1,1,1) = 5/8}

{\ displaystyle (0,1,1,1,1,1,1) = 8/13}

De forskjellige brikkene sett ovenfor gir to uventede koblinger til den gylne delen: en med Fibonacci-sekvensen, den andre med Farey-sekvensen.

Faktisk gjentas sekvensen mellom brikkene som i Fibonacci-tallene. Utenom , for å få det tredje elementet, må de to første legges til, for å få neste ledd må de to foregående legges til osv. ${\ displaystyle 1,2,3,5,8,13, \ ldots}$ $(0)$

Også fra stykkene er det observert at to suksessive konvergenter av det gylne snitt tilfredsstiller forholdet For eksempel med og vi har det , som i Farey-serien. ${\ displaystyle (ps-qr) = 1.}$ ${\ displaystyle 5/8}$ ${\ displaystyle 8/13}$ ${\ displaystyle 5 \ cdot 13-8 \ cdot 8 = 65-64 = 1}$

Generaliseringer

En generalisering kan oppnås ved å angi:

W_ {0} (a, b, h, k) = a,

W_ {1} (a, b, h, k) = b,

og for hver $n> 1$

W_ {n} (a, b, h, k) = hW _ {{n-1}} (a, b, h, k) -kW _ {{n-2}} (a, b, h, k ).

Det er lineære tilbakevendende sekvenser, der hvert element er en lineær kombinasjon av de to foregående. $W _ {{n}} (a, b, h, k)$

Generalisert Fibonacci -sekvens er sekvensen med startverdier og : $W_ {n} (a, b, h, k)$ ${\ displaystyle 0}$ $1$ ${\ displaystyle F_ {n} (h, k) = W_ {n} (0,1, h, k).}$

Den klassiske Fibonacci-sekvensen er:

\ {F _ {{n}} (1, -1) \} = \ {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, \ prikker \}.

Sekvensen kalles generalisert sekvens av Lucas:

L _ {{n}} (h, k) = W _ {{n}} (2, h, h, k).

Den klassiske sekvensen av Lucas-tall er:

\ {L _ {{n}} (1, -1) \} = \ {2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199, \ prikker \}.

Lucas-tall og Fibonacci-tall er forbundet med mange forhold. Merk for eksempel at :. Så vi trekker ut at en Fibonacci-sekvens ikke nødvendigvis starter med to . Denne sekvensen kalles den generiske eller generaliserte Fibonacci-sekvensen . Hver generisk Fibonacci-sekvens har en singulær karakteristikk, summen av de ti første elementene er alltid lik 11 ganger det syvende elementet. Beviset er veldig enkelt: liste opp de ti første elementene slik: ${\ displaystyle 1 + 2 = 3,1 + 3 = 4,2 + 5 = 7,3 + 8 = 11, \ prikker, F_ {k} + F_ {k + 2} = L_ {k + 1}}$ $1$

1. element:

m

2. element:

n

3. element:

m + n

4. element:

m + 2n

5. element:

2m + 3n

6. element:

3m + 5n

7. element:

5m + 8n

8. element:

8m + 13n

9. element:

13m + 21n

10. element:

21m + 34n

Ved å legge til alle ti elementene vil du få at det er nøyaktig lik 11 ganger det syvende elementet. $55m + 88n$

Hver generaliserte sekvens beholder egenskapen at forholdet mellom to påfølgende tall tenderer til det gylne snitt. En spesiell generalisert Fibonacci-sekvens, den som oppnås ved å plassere og , kalles Lucas-sekvensen . $m = 2$ $n = 1$

Beregning med matrisen M

En effektiv måte å beregne generaliserte Fibonacci-tall med stor indeks på er å bruke matriser.

M = {\ begynne {bmatrise} 0 & 1 \\ - k & h \ slutten {bmatrise}}

$M ^ {n} = {\ begynne {bmatrise} -kF _ {{n-1}} (h, k) & F _ {{n}} (h, k) \\ - kF _ {{n}} (h, k ) & F _ {{n + 1}} (h, k) \ end {bmatrise}}$

Selv

T _ {{r}} (M ^ {n}) = L _ {{r}} (h, k)

så

M ^ {n} = T _ {{n}} (h, k) I + F _ {{n}} (h, k) M

hvor er det ${\ displaystyle T_ {n} (h, k) = W_ {n} (1.0, h, k).}$

Tribonacci og Tetranacci suksesjoner

Fibonacci-sekvensen kan også generaliseres ved å kreve at hvert tall er summen av de siste , der det er et hvilket som helst heltall. Hvis vi får en degenerert sekvens hvis termer er alle , hvis vi får Fibonacci-sekvensen, mens for og vi får de såkalte Tribonacci- og Tetranacci-sekvensene henholdsvis . Et fellestrekk ved disse sekvensene er at forholdet mellom to påfølgende ledd tenderer til den reelle roten mellom og av polynomet $n$ $n$ $n = 1$ $1$ $n = 2$ $n = 3$ $4$ $1$ $2$

x ^ {n} -x ^ {{n-1}} - x ^ {{n-2}} - \ prikker -x-1.

Summen av de resiproke elementene i denne sekvensen konvergerer også (hvis ), som lett kan sees med tanke på at hvert -te element i en sekvens er større enn eller lik det tilsvarende elementet i Fibonacci-sekvensen, og derfor er den resiproke mindre. $n> 1$ $k$ $F_ {k}$

Fibonacci komplekse tall

Et Fibonacci-komplekst tall er et komplekst tall hvis reelle del er et Fibonacci-tall.

For eksempel er det et komplekst Fibonacci-tall fordi . $z = 8-i$ ${\ mathrm {Re}} (z) = 8 = F_ {6}$

Forholdet mellom Fibonacci komplekse tall og oddetall e er slik at: $k$ $n> 0$

{\ frac {F_ {k} -ni} {F _ {{k-1}} - (n-1) i}} = {\ frac {F _ {{k + n}} + i (-1) ^ { {n-1}}} {F _ {{k + (n-1)}}}},

hvor er det $F _ {{k + n}} = \ sum _ {{i = k + 1}} ^ {{n-1}} F_ {i}.$

For eksempel:

{\ frac {5-i} {3-i}} = {\ frac {8 + i} {5}},

{\ frac {13-i} {8-i}} = {\ frac {21 + i} {13}},

{\ frac {8-2i} {5-i}} = {\ frac {21-i} {13}},

{\ frac {13-3i} {8-2i}} = {\ frac {55 + i} {34}}.

For partall og formelen gjelder ikke for komplekse tall, men bare for heltall som erstatter , det vil si $k$ $n> 0$ $1$ $de$

{\ frac {F _ {{k}} - n} {F _ {{k-1}} - (n-1)}} = {\ frac {F _ {{k + n}} + (- 1 ) ^ { {n-1}}} {F _ {{k + (n-1)}}}},

hvor er det $F _ {{k + n}} = \ sum _ {{i = k + 1}} ^ {{n-1}} F_ {i}.$

For eksempel:

{\ frac {8-1} {5-1}} = {\ frac {13 + 1} {8}},

{\ frac {13-2} {8-1}} = {\ frac {34-1} {21}},

{\ frac {8-3} {5-2}} = {\ frac {34 + 1} {21}},

{\ frac {8-3} {5-2}} = {\ frac {34 + 1} {21}}.

Tilfeldig Fibonacci-sekvens

I 1999 vurderte Divikar Viswanath en tilfeldig Fibonacci-sekvens , der den er definert som , hvor er + eller - med lik sannsynlighet. Denne sekvensen ble kalt Vibonacci -sekvensen eller den tilfeldige Viswanath-sekvensen . $V_ {n}$ $V _ {{n}}$ $V _ {{n-1}} \ pm V _ {{n-2}}$ $\ pm$

Viswanath oppdaget en konstant som ligner på det gylne snitt i sin rekkefølge. Siden sekvensen ikke alltid øker, visste Viswanath at konstanten ville være mindre enn det gylne snitt. Denne konstanten er kjent som Viswanath-konstanten .

Repfigit-sekvenser

Repfigit tall

Navnet stammer fra "repliserende Fibonacci-siffer" og indikerer "Fibonacci-reproduserende tall".

Et Repfigit-nummer eller Keith-nummer er definert som et heltall, bestående av sifre $n$ $m$

n = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{m-1}} 10 ^ {i} {d_ {i}},

som regenererer innenfor en sekvens av typen

d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_ {m}, s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, \ ldots

med

s_ {1} = d_ {1} + d_ {2} + d_ {3} + \ ldots + d_ {m}

s_ {2} = s_ {1} + d_ {2} + d_ {3} + \ ldots + d_ {m}

s_ {3} = s_ {1} + s_ {2} + d_ {3} + \ ldots + d_ {m}

\ vdots

Generalisere, vurdere sekvensen definert rekursivt av

s_ {1} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{m}} d_ {k}

s_ {k} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{k-1}} s _ {{i}} + \ sum _ {{j = k}} ^ {{m}} d_ {j }

for .

k> 1

Hvis for noen er det et Fibonacci-nummer eller Keith-nummer . $s_ {k} = n$ $k$ $n$

Eksempler på repfigit

n = 47 m = 2 sifre

4 , 7 , 11, 18, 29, 47 , 76, ...

n = 197 m = 3 siffer

1 , 9 , 7 , 17, 33, 57, 107, 197 , 361, ...

n = 1537 m = 4 siffer

1 , 5 , 3 , 7 , 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537 , 2963, ...

I 1987 introduserte Michael Keith konseptet med Fibonacci som gjengir tall.

I 1987 var det største kjente repfigitnummeret et 7-sifret nummer, 7.913.837. I november 1989 ble 44 121 607 oppdaget, og samme år fant Dr. Googol at tallene 129 572 008 og 251 133 297 er repetert i det definerte området 100 til 1 000 millioner. Mye større antall av denne typen har blitt oppdaget i dag.

Fibonacci gjengir tall på opptil 5 sifre

m = 2

14, 19, 28, 47, 61, 75

m = 3

197, 742

m = 4

1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909

m = 5

31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993

Se [2] A007629 i Sloanes OEIS for en fullstendig liste.

Reverse Repfigit Numbers

Det er også inverse Keith-tall, syntetisk kalt revRepfigit.

For eksempel er 12 et revRepfigit tall fordi med teknikken sett ovenfor kan du få en sekvens som gir meg det inverterte tallet, det vil si 21: 1,2,3,5,8,13,21

RevRepfigit er også 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 80711, 759669, 819, 759669, etc.

Formodninger

Det er minst to formodninger å sjekke, spesielt (1) hvis repfigit-tallene er uendelige og (2) hvis det er repfigit med m> 34.

Fibonacci-tall og lenker til andre sektorer

I matematikk er Fibonacci-tall på en eller annen måte relatert til det gylne snitt , til Farey-sekvensen , til kontinuerlige brøker , til Fibonaccis zeta , til Riemanns zeta , til Lie-grupper , til fraktaler .

I fysikk er det en kobling med strengteori . Mange andre koblinger er tydelige med biologi, krystallografi, musikk, økonomi, kunst, elektroteknikk, informasjonsteknologi, etc. Imidlertid er det også eksempler på noe tvungne "observasjoner" av Fibonacci-sekvensen: dette ble avslørt av Gael Mariani og Martin Scott fra University of Warwick, med en artikkel i New Scientist i september 2005 . [5]

I kjemi

I 2010 observerte en gruppe forskere ledet av R. Coldea fra University of Oxford hvordan i en kjemisk forbindelse (koboltniobat), kunstig brakt inn i en kritisk kvantetilstand, ser det ut til at en symmetri kan tilskrives Lie-gruppen E 8 , med to topper ved lave energier i et forhold som ligner på det gylne. [6] [7]

Gjennom det geometriske prinsippet for strengteorier kan det bli funnet at Fibonacci-tall beholder symmetri og er ganske nær "Lie Numbers", som i stedet de fem eksepsjonelle symmetrigruppene G2, F4, E6, E7 er basert på, E8. E8 har dimensjon 57, som er et Lie-tall for n = 7, faktisk 7 ^ 2 + 7 + 1 = 57, veldig nær Fibonacci-tallet 55 = 7 ^ 2 + 7-1 (Liet-tallene og Fibonacci-tallene derfor har de samme geometriske (symmetri) og numeriske DNA tilsvarende (parabel n ^ 2 + n + 1 for Lie-tall, n ^ 2 + n +/- c med n primtall og c svært liten). Men tallet 248, forbundet til E8, er også 248 = 15 ^ 2 + 15 + 8 = 225 + 15 + 8 med nært Fibonacci-tall 233 = 15 ^ 2 + 15-7.

I musikk

Musikk har mange koblinger med matematikk , og mange tror [8] at rollen til det gylne snitt og Fibonacci-tall er viktig i det . [9]

På det kompositoriske nivået , gjennom Fibonacci-sekvensen, kan det gyldne snitt relateres til en hvilken som helst måleenhet angående musikken, det vil si den tidsmessige varigheten av et stykke, antall toner eller beats, etc. Selv om det har vært numeriske misforståelser: i 1978 , for eksempel, i Kyrie inneholdt i Liber Usualis fant Paul Larson det gylne snitt på nivået av det melodiske, forblir tilfeldigheten av gjentakelsen helt på et rent formodet nivå. Lignende slutninger har blitt uttrykt flere ganger om Mozarts verk , selv om nylig John Putz, en matematiker ved Alma College, som også var overbevist om denne teorien (spesielt når det gjelder hans pianosonater ), måtte ombestemme seg, og fant bare en anstendig resultat for Sonata n. 1 i C-dur .

Musikologer har funnet andre anvendelser i forholdet mellom varighetene (i mål ) til de ulike delene av musikalske stykker, spesielt disse forholdene finnes i verkene til Claude Debussy [10] [11] og Béla Bartók [12] [13] .

Blant komponistene fra det tjuende århundre , Stravinsky , Xenakis , Stockhausen (i hvis stykke Klavierstücke IX det er hyppige referanser til de fibonaccianske suksesjonene i taktartene), Luigi Nono , Ligeti , Giacomo Manzoni og Sofija Asgatovna Gubajdulina som sa om Barjtokulina:

"[...] Det rytmiske aspektet ved Bartóks musikk interesserer meg veldig, til det punktet at jeg ønsker å studere hans anvendelse av det gylne snitt i dybden."

Det er imidlertid svært vanskelig å fastslå om kunstneren bevisst ønsket å strukturere arbeidet med det gylne snitt eller om dette ikke snarere er et resultat av hans kunstneriske følsomhet [14] , gitt at det gylne snitt ofte finnes i naturen [15] (som for eksempel i sjøstjerner, i ammonitter, skjell, ananas , kongler og i form av egget [16] ). Faktisk, mens noen mener at de nevnte Debussy og Bartok bevisst brukte det gyldne snitt, er dette mindre åpenbart for andre. På den annen side skrev Debussy selv [17] eksplisitt til utgiveren sin Durand (i august 1903):

( FR )

«Vous verrez, à la side 8 av" Jardins sous la Pluie ", qu'il manque une mesure; c'est d'ailleurs un oubli de ma part, car elle n'est pas dans le manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au nombre; det guddommelige navn [...]."

( IT )

«Du vil se, på side 8 av" Jardins sous la Pluie "at det mangler en linje; det er dessuten min forglemmelse, fordi det ikke står i manuskriptet. Likevel er det nødvendig, for antallet; det guddommelige tall [...]."

I det tjuende århundre brukte kulturmusikkens avantgarde og mange av arvingene til serialismen , som de nevnte Karlheinz Stockhausen , György Ligeti og Iannis Xenakis , i stedet systematisk og bevisst - i motsetning til flertallet av deres forgjengere - Fibonacci-numrene på musikk , utdype dem studie og kunnskap; ved å utvikle tidligere bruk av matematikk til musikk, introduserte de en mer strukturert bruk av matematikk (spesielt beregning av sannsynligheter og datamaskinen for musikalsk komposisjon). Spesielt Xenakis grunnla for dette formålet, i Paris i 1972 , en universitetsforskningsgruppe kalt CEMAMU, som har nettopp som mål å anvende moderne vitenskapelig kunnskap og datamaskiner til musikalsk komposisjon og skape nye lyder gjennom synthesizere .

Til og med rockemusikk , spesielt i den såkalte progressive rocken , har blitt konfrontert med de mystisk - esoteriske aspektene ved det gylne snitt, og mer presist fra Fibonacci-sekvensen. Det mest emblematiske eksemplet er musikken til Genesis , som brukte denne rekkefølgen flittig i den harmonisk-temporale konstruksjonen av stykkene sine; Firth of Fifth er alt basert på gylne tall: for eksempel er det soloer på 55, 34, 13 takter, hvorav noen består av 144 toner, etc. I tillegg til Genesis har andre rockeband brukt, om enn mer sporadisk, gullnumrene i komposisjonene sine. Disse inkluderer Deep Purple i sangen Child in Time og Dream Theater i Octavarium -albumet , helt unnfanget i henhold til forholdet mellom nummer 8 og 5 og påfølgende ledd i Fibonacci-sekvensen. På den annen side dateres Lateralus- albumet til det amerikanske bandet Tool tilbake til 2001, som inneholder singelen med samme navn " Lateralus " trofast bygget på Fibonacci-sekvensen: Tool gjør klok bruk av de første elementene i Fibonacci-sekvensen: faktisk , teller stavelsene i det første verset får vi 1, 1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. I tillegg veksler rytmen til sangen taktene 9/8, 8/8 og 7/8, tallet oppnådd er 987 som er det sekstende tallet i sekvensen. Merk at sangen refererer kontinuerlig til spiralens figur ( [...] Å svinge på spiralen [...] Spiral ut. Fortsett [...] ).

I botanikk

Nesten alle blomstene har tre eller fem eller åtte eller tretten eller tjueen eller trettifire eller femtifem eller åttini kronblad: for eksempel har liljene tre, smørblomstene fem, delphinium har ofte åtte, ringblomsten tretten, stjernen tjueen, og tusenfryd har vanligvis trettifire eller femtifem eller åttini.

Fibonacci-tall finnes også i andre planter som solsikke ; faktisk er de små blomstene i midten av solsikken (som faktisk er en blomsterstand) arrangert langs to sett med spiraler som dreier henholdsvis med klokken og mot klokken.

Pistillene på blomsterkronene ordner seg ofte etter et presist mønster dannet av spiraler hvis nummer tilsvarer en av Fibonacci-sekvensen. Det er vanligvis trettifire spiraler orientert med klokken, mens de orientert mot klokken femtifem (to Fibonacci-tall); andre ganger er de henholdsvis femtifem og åttini, eller åttini og ett hundre og førtifire. Dette er alltid påfølgende Fibonacci-tall.

Fibonacci-tall er også til stede i antall blomsterstander av grønnsaker som Romanesco-brokkoli .

Bladene er arrangert på grenene på en slik måte at de ikke dekker hverandre for å la hver av dem motta sollys. Hvis vi tar utgangspunkt i det første bladet i en gren og teller hvor mange blader det er opp til det perfekt justerte, er ofte dette tallet et Fibonacci-tall, og også antall svinger med eller mot klokken som gjøres for å nå det. .justert blad skal være et Fibonacci-nummer. Sammenhengen mellom antall blader og antall omdreininger kalles "fyllotaktisk forhold" (se Phyllotaxis ).

I menneskekroppen

Forholdet mellom lengden på phalanges på langfingeren og ringfingeren til en voksen mann er gyllent, det samme er forholdet mellom lengden på armen og underarmen, og mellom lengden på benet og dens nedre del. [18] [19]

I geometri og i naturen

Hvis du tegner et rektangel med sidene i et gyldent snitt til hverandre, kan du dele det i et kvadrat og et annet rektangel, lik det store i den forstand at sidene også er i det gyldne snitt. På dette tidspunktet kan det mindre rektangelet deles inn i en firkant og et rektangel som også har sider i gyldent snitt, og så videre.

I birøkt
Leonardo da Pisa eller Fibonacci bodde i nærheten av Béjaïa , på den tiden en viktig vokseksportby (derav den franske versjonen av navnet på byen, "bougie", som betyr "stearinlys" på fransk). En fersk matematisk-historisk analyse av perioden og regionen der Fibonacci levde, antyder at det i virkeligheten var birøkterne i Bejaia og deres kunnskap om reproduksjonen av bier som var inspirasjonskilden for Fibonacci-følgen og ikke den beste- kjent modell for reproduksjon av kaniner [20] .

I birøkt

Leonardo da Pisa eller Fibonacci bodde i nærheten av Béjaïa , på den tiden en viktig vokseksportby (derav den franske versjonen av navnet på byen, "bougie", som betyr "stearinlys" på fransk). En fersk matematisk-historisk analyse av perioden og regionen der Fibonacci levde, antyder at det i virkeligheten var birøkterne i Bejaia og deres kunnskap om reproduksjonen av bier som var inspirasjonskilden for Fibonacci-følgen og ikke den beste- kjent modell for reproduksjon av kaniner [20] .

Kurven som går gjennom påfølgende hjørner av denne rekkefølgen av rektangler er en spiral som vi ofte finner i skjellene og i arrangementet av frøene til solsikken beskrevet ovenfor og av bladene på en gren, så vel som i bikubene .

I kunst

Fibonacci-tall har blitt brukt i noen kunstverk.

I følge Pietro Armienti, professor ved Universitetet i Pisa og ekspert i petrologi (bergvitenskap), vil geometriene som er tilstede på fasaden til den pisanske kirken San Nicola være en klar referanse til matematikerens arvefølge. [21]

Mario Merz brukte dem i lysinstallasjonen kalt Il volo dei numbers , på en av sidene av Mole Antonelliana i Torino . Videre, på veggene til San Casciano i Val di Pesa , ved siden av en utstoppet hjort , er neonnumrene med tallene 55, 89, 144, 233, 377 og 610 1997permanent installert. [22] . Samme forfatter opprettet også en permanent installasjon i 1994 på skorsteinen til Turku Energia - elektroselskapet i Turku , Finland .

Alt Tobia Ravàs arbeid refererer til Fibonacci-sekvensen, og oppdager også en spesifikk egenskap.

Den østerrikske maleren Helmutt Bruck malte også Fibonacci-hyllestmalerier og produserte verk i serier på 21.

En lysinstallasjon ble opprettet i Barcelona og Napoli : i den spanske byen ligger den i Barceloneta - området, inne i fotgjengerområdet, hvor tallene er plassert i avstander proporsjonale med forskjellen deres, mens de i Napoli er ordnet i en spiral inne i Vanvitelli stasjon på undergrunnslinje 1 , og nærmere bestemt i taket over rulletrappene når du etter å ha passert valideringsmaskinene går ned inne på selve stasjonen.

I 2017, i Albissola Marina , i Piazzetta Poggi i det historiske sentrum, ble det installert en gulvmosaikk med tittelen Fiore di Fibonacci , på grunn av kunstneren Gabriele Gelatti.

I økonomien

Fibonacci-tall brukes også i økonomi i teknisk analyse for å forutsi ytelsen til aksjer på børsen, ifølge Elliotts bølgeteori . [23]

Ved å studere historiske aksjediagrammer utviklet Ralph Nelson Elliott en metode basert på tretten grafiske konformasjoner kalt bølger , like i form, men ikke nødvendigvis i størrelse.

I motsetning til andre grafiske applikasjoner som glidende gjennomsnitt, trendlinje, macd, rsi etc. som er begrenset til å indikere nivået av motstand og støtte og vinklene til trenden "The Princip of Elliott waves" er den eneste metoden som er i stand til å identifisere en markedsbevegelse fra start til slutt og derfor anta fremtidige pristrender.

I informatikk

Fibonacci-tall brukes også i datasystemet til mange datamaskiner. Spesielt er det en kompleks mekanisme basert på disse tallene, kalt " Fibonacci-heap " som brukes i Intel Pentium-prosessoren for oppløsning av bestemte algoritmer. [24]

Følgende algoritme i Python gjør det mulig å finne det n -te tallet i Fibonacci-serien.

def fibonacci ( n ): hvis n < 2 : retur n returner fibonacci ( n - 2 ) + fibonacci ( n - 1 )

I fraktaler

I Mandelbrot fraktaler , styrt av egenskapen selvlikhet, finner vi Fibonacci-tallene. Faktisk er selvlikhet styrt av en repeterbar regel eller formel, det samme er Fibonacci-sekvensen.

I elektroteknikk

Et nettverk av motstander, for eksempel et Ladder Network, har en motstand tilsvarende terminalene A og B som kan uttrykkes både som en kontinuerlig brøk og ved hjelp av det gylne snitt eller Fibonacci-tall (vi har faktisk Req / R = ). [25] $\ phi$

I systemiske spill

I alle systemiske spill som fotballpooler, superenalotto eller rulett, kan Fibonacci-tall brukes som innsats for spill.

Merknader

^ A000045 - OEIS , på oeis.org . Hentet 6. mars 2019 .
^ Samuele Maschio, Prinsipper for induksjon , i demonstrasjonsteknikker , Trieste, Scienza Express, 2019, s. 66-67, ISBN 978-88-969-7375-2 .
^ Sekvensen A005478 i OEIS viser de første primtallene som er tilstede i Fibonacci-sekvensen; sekvensen A001605 viser i stedet indeksene
^ JHE Cohn, Square Fibonacci Numbers Etc , i Fibonacci Quarterly , vol. 2, 1964, 109-113.
^ Ikke så Fibonacci , på newscientist.com .
^ Det gyldne snitt styrer kvante-"musikk" - The Sciences , i The Sciences . Hentet 15. november 2016 .
^ Quantum Criticality in an Ising Chain: Experimental Evidence for Emergent E8 Symmetry , in Science , 8. januar 2010. Hentet 18. desember 2016 .
^ For eksempel, blant de nyeste studiene, Michele Emmer, Mathematics and culture , Springer, 2001 - ISBN 8847001412 , eller Ian Bent, William Drabkin, Musical analysis , EDT srl Editore, 1990 - ISBN 8870630730 .
^ Sekvens i Fibonacci-musikk, en original teori: [1] .
^ Mario Livio , Det gylne snitt, historien til et nummer og et mysterium som har vart i tre tusen år - Bur, 2003, s. 280. ISBN 978-88-17-87201-0
^ Roy Howat, Debussy i proporsjoner: en musikalsk analyse , Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-31145-8
^ Mario Livio , Det gylne snitt, historien til et nummer og et mysterium som har vart i tre tusen år - Bur, 2003, s. 276-279. ISBN 978-88-17-87201-0
^ Ernö Lendvai, Béla Bartók: en analyse av musikken hans , Kahn & Averill, 1971. ISBN 9780900707049
^ Sectio Aurea : Golden Section and Music: En kort historie om "Golden Number" fra Dufay til "progressive-rocken" i Genesis. , av Gaudenzio Temporelli
^ Gyldent snitt i naturen , på liceoberchet.it . Hentet 1. mai 2014 .
^ Gleden ved matematikk av Theoni Pappas, Franco Muzzio Editore. ( ISBN 88-7413-112-7 )
^ Komposisjonen Reflets dans l'eau er sitert i L 110, Images, Set 1 for piano (1905) : i dette stykket er akkordsekvensen preget av intervallene 34, 21, 13 og 8. Se i denne forbindelse Peter F Smith, The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics , Routledge, New York, 2003 - s. 83, ISBN 0-415-30010-X
^ Dan Brown, Da Vinci-koden .
^ Det gylne snitt i menneskekroppen ( PDF ), på atuttoportale.it .
^ ( EN ) TC Scott og P. Marketos, On the Origin of the Fibonacci Sequence ( PDF ), på www-history.mcs.st-andrews.ac.uk , MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of St Andrews, mars 2014 .
^ "Fibonacci-serien oppdaget på fasaden til en kirke i Pisa", La Repubblica, 18. september 2015 < http://firenze.repubblica.it/cronaca/2015/09/18/news/fibonacci-123140907/ >
^ Tuscia Electa Arkivert 15. juni 2008 på Internet Archive .
^ Elliott's Theory , på Fib30Online , 2009.
^ Det gylne snitt i informatikk ( PDF ), på atuttoportale.it . Hentet 15. november 2016 (Arkiveret fra originalen 28. januar 2018) .
^ Motstander og symmetrier i Ladder Networks , på ElectroPortal , 2009.

Bibliografi

Marcel Danesi, Labyrinter, magiske firkanter og logiske paradokser. De ti største , Bari , Daedalus , ISBN 88-220-6293-0 .
Paolo Camagni, Algoritmer og programmeringsbaser , Milan , Hoepli , 2003, ISBN 88-203-3601-4 .
Rob Eastaway, sannsynligheter, tall og køer. Den skjulte matematikken i livet , Daedalus, 2003, ISBN 88-220-6263-9 .
Rita Laganà, Marco Righi og Francesco Romani, informatikk. Konsepter og eksperimenter , Milan, Apogeo , 2007, ISBN 88-503-2493-6 .
Adam Drozdek, Algoritmer og datastrukturer i Java , Milan, Apogeo, 2001, ISBN 88-7303-895-6 .
Gianclaudio Floria og Andrea Terzaghi, Spille og vinne med Excel , FAG, 2006, ISBN 88-8233-529-1 .
Daniele Marsero, Of game , UNI, 2006, ISBN 88-88859-40-3 .
Peter Higgins, Ha det gøy med matematikk. Kuriositeter og rariteter i tallenes verden , Dedalo, 2001, ISBN 88-220-6216-7 .
Michael Schneider og Judith Gersting, Informatica , Apogeo, 2007, ISBN 88-503-2383-2 .
Joseph Mayo, C # , Apogeo, 2002, ISBN 88-503-2011-6 .
( EN ) Thomas Koshy, Fibonacci og Lucas Numbers with Applications , New York , Wiley , 2001, ISBN 0-471-39969-8 .
Nikolay Vorobyov, Fibonacci-numre , Milano, Redaksjonell teknisk fremgang , 1964.
( EN ) Leland Wilkinson, The Grammar of Graphics , Berlin , Springer , 2005, ISBN 0-387-24544-8 .
Mario Livio , Det gylne snitt, Historien om et nummer og et mysterium som har vart i tre tusen år , Milan, Bur , 2003, ISBN 978-88-17-87201-0 .
Clifford A. Pickover , Tallenes magi - matematiske utfordringer , Barcelona , RBA.
Alfred Posamentier og Ingmar Lehmann, De (fantastiske) tallene til Fibonacci , Padua , Muzzio Publishing Group , 2010, ISBN 978-88-96159-24-8 .
( EN ) Hrant Babkeni Arakelyan, Mathematics and History of the Golden Section , Logos, 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 . s. 404
( EN ) " Not so Fibonacci Arkivert 15. juli 2011 på Internet Archive .", New Scientist , n. 251, 24. september 2005, side 24.

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på Fibonacci-serien

Eksterne lenker

( NO ) Stemme fra MathWorld , på mathworld.wolfram.com .
( NO ) " Fibonacci Flim-Flam ", av Donald E. Simanek
( NO ) Det gylne snitt: Phi , på mcs.surrey.ac.uk .
Fibonomial and Factorial , på maths.surrey.ac.uk .
Prosjekt som tillater numerisk beregning av vilkårlig store verdier av sekvensen (implementering og eksempler) , på marianospadaccini.it . Hentet 10. oktober 2008 (arkivert fra originalen 24. oktober 2008) .
Bevis på Binets formel , på matematisk.it .
Keiths nettsted , på planetmath.org . _