Rankine-Hugoniot-ligningen

I fluiddynamikk er Rankine - Hugoniot-ligningen en ordinær differensialligning i to variabler utledet fra Euler-ligningene for en inviscid væske i tilfellet av en sjokkbølge ortogonal til den innkommende strømmen .

Forenklet behandling

Med utgangspunkt i henholdsvis bevaring av rekkevidden og entropien og med fravær av isokorisk arbeid :

{\ visningsstil \ venstre \ {{\ begynne {matrise} \ operatørnavn {d} (\ rho Av) = 0 \\\ operatørnavn {v} \ operatørnavn {d} v + p \ operatørnavn {d} {\ frac {1 } {\ rho}} = 0 \\\ end {matrise}} \ høyre.}

Ved å forklare den første ligningen i henhold til Leibniz sin regel og uttrykke trykk p i tetthet og Mach-tall , får vi:

{\ visningsstil \ venstre \ {{\ begynne {matrise} {\ frac {\ operatornavn {d} \ rho} {\ rho}} + {\ frac {\ operatornavn {d} A} {A}} + {\ frac {\ operatørnavn {d} v} {v}} = 0 \\ {\ frac {\ operatørnavn {d} v} {v}} + {\ mathrm {Ma} ^ {- 2}} {\ frac {\ operatørnavn {d} {\ rho}} {\ rho}} = 0 \\\ slutt {matrise}} \ høyre.}

Tilsvarer Hugoniot-ligninger:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatornavn {d} A} {A}} - {\ frac {1- \ mathrm {Ma} ^ {2}} {\ mathrm {Ma} ^ {2}}} {\ frac {\ operatørnavn {d} \ rho} {\ rho}} = 0}$
${\ displaystyle {\ frac {\ operatornavn {d} A} {A}} + (1- \ mathrm {Ma} ^ {2}) {\ frac {\ operatornavn {d} v} {v}} = 0}$
${\ displaystyle {\ frac {\ operatornavn {d} A} {A}} - (1- \ mathrm {Ma} ^ {2}) {\ frac {\ operatornavn {d} p} {\ rho v ^ {2 }}} = 0}$

Den andre ligningen viser tydelig hvordan, hvis en strømningshastighet skal akselereres, kreves en konvergent kanal i subsonisk regime og divergent i supersonisk regime. Den tredje ligningen viser at med en konvergerende kanal, i subsonisk regime, realiseres en ekspansjon (og vi snakker om dyse ), mens i supersonisk regime en kompresjon (og vi snakker om diffuser ).

Generell behandling

Tenk på en regelmessig og endimensjonal strømning, underlagt Eulers ligninger og pålegg bevaring av masse , momentum og energi . Under disse hypotesene kommer vi til tre ligninger, der de to hastighetene og er forenklet . $u_1$ $u_2$

Vanligvis er betingelsene for oppstrømsstrømmen betegnet med underskriften "1" og med underskriften "2" de for nedstrømsstrømmen. I denne sammenhengen er det tettheten , hastigheten , trykket . Med betegner vi den indre energien per masseenhet. $\rho$ $u$ $s$ $Og$

Hvis vi på dette punktet vurderer en ideell gass , tar tilstandsligningen formen . Husk at det er forholdet mellom spesifikke varme ved konstant trykk og konstant volum. ${\ displaystyle p = \ rho (\ gamma -1) e}$ $\område$

Følgende ligninger, kalt Hugoniot-ligninger, indikerer henholdsvis bevaring av masse, momentum og energi, tidligere antatt:

{\ displaystyle \ rho _ {1} u_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2}}

{\ displaystyle p_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} = p_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle u_ {1} \ venstre (p_ {1} + \ rho _ {1} e_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} / 2 \ høyre) = u_ {2} \ venstre (p_ {2} + \ rho _ {2} e_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2} / 2 \ høyre)}

Legg merke til de tre komponentene i energi: mekanisk arbeid , potensiell (indre) energi og kinetisk energi .

Når vi løser de to første ligningene med hensyn til og eliminerer de to hastighetene og erstatter den siste, kommer vi til følgende ligning: $u_1$ $u_2$

{\ displaystyle 2 \ venstre (h_ {2} -h_ {1} \ høyre) = \ venstre (p_ {2} -p_ {1} \ høyre) \ cdot \ venstre ({\ frac {1} {\ rho _ {1}}} + {\ frac {1} {\ rho _ {2}}} \ høyre)}

hvor er entalpien . ${\ displaystyle h = {\ frac {p} {\ rho}} + e}$

Siden trykkene begge er positive, er tetthetsforholdet aldri større enn , eller 6 for luft (som det er ca. 1,4). ${\ displaystyle (\ gamma +1) / (\ gamma -1)}$ $\område$

Når kraften til sjokkbølgen øker, blir nedstrømsgassen stadig varmere, tetthetsforholdet har en tendens til en begrenset grense , lik 4 for en monoatomisk gass ( = 5/3), og til 6 for en diatomisk gass ( ). ${\ displaystyle \ rho _ {2} / \ rho _ {1}}$ $\område$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {7/2} {5/2}} = 1 {,} 4}$

Bibliografi

Rankine, WJM, Om den termodynamiske teorien om bølger av endelige langsgående forstyrrelser , Phil. Trans. Roy. Soc. London, 160, (1870), s. 277.
Hugoniot, H., Propagation des Mouvements dans les Corps et spécialement dans les Gaz Parfaits , Journal de 1'Ecole Polytechnique, 57, (1887), s. 3; 58, (1889), s. 1.
Salas, MD The Curious Events Leading to theory of Shock Waves , Invitert forelesning på det 17. Shock Interaction Symposium (Roma, 4.-8. september 2006).

Rankine-Hugoniot-ligningen

Forenklet behandling

Generell behandling

Bibliografi

Relaterte elementer