Polar koordinatsystem

I matematikk er det polare koordinatsystemet et todimensjonalt koordinatsystem der hvert punkt i planet er identifisert av en vinkel og en avstand fra et fast punkt kalt polen.

Det polare koordinatsystemet er spesielt nyttig i tilfeller der relasjonene mellom to punkter lettere kan uttrykkes i form av vinkler og avstand; i det mer kjente kartesiske koordinatsystemet , eller rektangulære koordinatsystem, kan dette forholdet bare uttrykkes gjennom trigonometriske funksjoner .

Siden koordinatsystemet er todimensjonalt, er hvert punkt bestemt av to polare koordinater: den radielle koordinaten og vinkelkoordinaten. Den første, vanligvis identifisert med bokstaven , angir avstanden til punktet fra et fast punkt kalt pol (tilsvarer opprinnelsen til det kartesiske systemet ). Vinkelkoordinaten, vanligvis betegnet med den greske bokstaven θ, kalles også asimutvinkelen og identifiserer vinkelen som strålen ved 0 ° må sveipe mot klokken for å overlappe den som forbinder punktet med polen. $r$

Historie

Begrepene vinkel og radius ble allerede brukt av de eldgamle folkene i det 1. årtusen f.Kr. Den greske astronomen Hipparchus fra Nicaea (190-120 f.Kr. ) bygde en tabell over strengenes funksjoner , som ga lengden på strengen dekket av hver enkelt streng. vinkel; det er også referanser til bruk av polare koordinater for å fastslå posisjonene til stjerner .

I essayet On Spirals beskriver Archimedes sin berømte spiral , en funksjon hvis radius avhenger av vinkelen. Grekernes arbeid strakk seg imidlertid ikke til et universelt akseptert polart koordinatsystem.

Mot midten av 1600-tallet introduserte Gregorio di San Vincenzo og Bonaventura Cavalieri , uavhengig av hverandre, begrepet polare koordinater. Den flamske Gregorio di San Vincenzo forklarte dette konseptet i Opus geometricus fra 1647 , men det antas at han var klar over det fra 1625 . Cavalieri publiserte sitt arbeid i 1635 , men en mer korrekt utgave ble trykket i 1653 . Cavalieri var den første som brukte polare koordinater for å løse problemer knyttet til beregningen av arealet dekket av en Arkimedes-spiral . Pascal brukte senere polare koordinater for å beregne lengden på parabolske buer .

I Method for Differential Calculus (skrevet i 1671 og publisert i 1736 ) undersøkte Isaac Newton transformasjonene som skjedde mellom polare koordinater og de som fantes mellom ni andre koordinatsystemer.

I avisen Acta Eruditorum fra 1691 brukte Jacob Bernoulli systemet med et punkt og en linje, som han kalte henholdsvis pol og polarakse . Koordinatene ble spesifisert av avstanden fra polen og vinkelen dannet med polaraksen; Bernoullis arbeid utvidet seg til å beregne krumningsradiusen til kurvene, uttrykt i disse koordinatene.

Begrepet polare koordinater er blitt tilskrevet Gregorio Fontana , og ble brukt av italienske forfattere på 1700-tallet . Alexis Clairaut var den første som tenkte på polare koordinater i tre dimensjoner , og Euler var den første som faktisk utviklet dem.

Lokalisere punkter i polare koordinater

Hvert punkt i det polare koordinatsystemet kan beskrives med de to polare koordinatene, vanligvis kalt (radialkoordinat) og θ (vinkelkoordinat). Koordinaten representerer den radielle avstanden fra polen, mens θ er vinkelen mot klokken som skal dekkes med start fra 0 ° (referanseaksen). $r$ $r$

For eksempel må de polare koordinatene (3, 60°) tegnes med et punkt plassert tre enheter unna polen og på en slik måte at strålen som forbinder punktet med polen danner en vinkel på 60° med referanseaksen. Det er åpenbart at punktet (3, -300 °) vil falle sammen med forrige punkt, fordi vinkelen -300 ° tilsvarer nøyaktig vinkelen på 60 °; for den samme egenskapen til vinklene vil også alle punktene (3, 60 ° + K × 360 °), med K heltall , falle sammen med det første punktet, fordi å legge til eller trekke fra vinkler svinger fra samme vinkel, vil resultatet ikke endring. Generelt tilsvarer alle punktene identifisert av koordinatene ( r , θ + K × 360 ° ) det samme punktet tegnet i polarplanet.

Dette illustrerer et viktig aspekt ved det polare koordinatsystemet, som ikke er til stede i det kartesiske koordinatsystemet : hvert enkelt punkt kan uttrykkes med et uendelig antall forskjellige koordinater, som hver er ute av fase i forhold til de andre med et heltall antall omdreininger..

De vilkårlige koordinatene (0, θ) brukes konvensjonelt for å representere polen, uten spesiell interesse for verdien av θ, faktisk faller hvert punkt 0 i avstand fra polen sammen med polen uansett vinkel.

I polar notasjon er vinkler generelt definert i grader eller radianer , ved å bruke konvensjonen om at 2π rad = 360 °. Navigasjonsapplikasjoner bruker stort sett grader, mens fysiske applikasjoner (spesielt innen rotasjonsmekanikk ) og nesten all matematisk litteratur om kalkulus bruker målinger i radianer .

Konvertering fra polare til kartesiske koordinater og omvendt

De to polare koordinatene og kan konverteres til kartesiske koordinater og ved å bruke formlene til de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus : $r$ $\ theta$ $x$ $y$

x = r \ cos \ theta

{\ displaystyle y = r \ sin \ theta,}

mens de to kartesiske koordinatene og kan konverteres til polarkoordinatene ved å bruke Pythagoras teorem : $x$ $y$ $r$

r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}

For å bestemme vinkelkoordinaten i stedet , må følgende to tilfeller vurderes. $\ theta$

Hvis , så kan det få en hvilken som helst reell verdi . ${\ displaystyle r = 0}$ $\ theta$
Hvis du, for å få en unik representasjon av , må begrense deg til et måleområde . Konvensjonelle valg i dette området er vanligvis enten eller . For å få verdien av i intervallet kan følgende formler brukes (arctan er den inverse funksjonen til den tangent trigonometriske funksjonen ): ${\ displaystyle r \ neq 0}$ $\ theta$ $2 \ pi$ $[0,2 \ pi)$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ $\ theta$ $[0,2 \ pi)$

{\ displaystyle \ theta = {\ begynne {cases} \ arctan ({\ frac {y} {x}}) og {\ mbox {se}} x> 0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} { \ mbox {e}} y \ geq 0 \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) + {2} {\ pi} og {\ mbox {se}} x> 0 {\ mbox {} } {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y <0 \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) + \ pi & {\ mbox {se}} x <0 \\ { \ frac {\ pi} {2}} og {\ mbox {se}} x = 0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y> 0 \\ {\ frac {3 } {2}} \ pi og {\ mbox {se}} x = 0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y <0 \ end {cases}}}

For å komme inn i området , brukes følgende i stedet: $\ theta$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$

{\ displaystyle \ theta = {\ begynne {cases} \ arctan ({\ frac {y} {x}}) og {\ mbox {se}} x> 0 \\\ arctan ({\ frac {y} {x }}) + \ pi & {\ mbox {se}} x <0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y \ geq 0 \\\ arctan ({\ frac {y } {x}}) - \ pi og {\ mbox {se}} x <0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y <0 \\ {\ frac {\ pi } {2}} og {\ mbox {se}} x = 0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y> 0 \\ - {\ frac {\ pi} {2 }} og {\ mbox {se}} x = 0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {e}} y <0 \ end {cases}}}

En alternativ metode for å utlede i form av e er som følger. Utnytte en trigonometrisk identitet $\ theta$ $x$ $y$

{\ displaystyle {\ start {aligned} \ tan ({\ textstyle {\ frac {\ theta} {2}}}) & = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} \\ & = {\ frac {r \ sin \ theta} {r + r \ cos \ theta}} \\ & = {\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \\\ end {justert}}}

så

\ theta = 2 \ arctan \ venstre ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ høyre)

Fordelen med denne tilnærmingen er at denne enkle formelen gjelder for alt . $\ theta$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$

Mange programvare (inkludert Microsoft Excel) og programmeringsspråk (inkludert Java) har atan2- funksjonen for å bytte mellom kartesiske og polare koordinater.

Polare ligninger

Ligningen som definerer en algebraisk kurve uttrykt i polare koordinater er kjent som den polare ligningen . I mange tilfeller kan denne ligningen enkelt uttrykkes ved å definere som en funksjon av . Den resulterende kurven består da av punktene til funksjonen og kan betraktes som grafen til den polare funksjonen til . $r$ $\ theta$ ${\ displaystyle (r (\ theta), \ theta)}$ $r$

Fra ligningen av den polare funksjonen til forskjellige former for symmetri kan utledes . Hvis , vil kurven være symmetrisk i forhold til den horisontale aksen, mens hvis den vil være symmetrisk i forhold til den vertikale, og hvis , vil den utgjøre en rotasjonssymmetri på mot klokken. $r$ ${\ displaystyle r (- \ theta) = r (\ theta)}$ ${\ displaystyle r (\ pi - \ theta) = r (\ theta)}$ ${\ displaystyle r (\ theta - \ alpha) = r (\ theta)}$ $\ alfa$

På grunn av den sirkulære naturen til det polare koordinatsystemet, kan mange kurver beskrives med en ganske enkel polar ligning, mens deres kartesiske uttrykk ville være mer komplisert. Blant de mest kjente kurvene for denne arten er rhodonea , Archimedes-spiralen , lemniscaten , limaçonen og kardioiden .

Omkrets

Den generelle ligningen for sirkelen med sentrum ved ( 0 , φ) og radius er $r$ $til$

{\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ theta - \ varphi) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2}.}

Denne formelen kan forenkles på ulike måter, for å passe til mer spesifikke tilfeller, for eksempel ligningen

{\ displaystyle r (\ theta) = a,}

for en sirkel med senter i polen og radius . $til$

Gebyrer

De radielle linjene (som krysser polen) er representert av ligningen

{\ displaystyle \ theta = \ varphi,}

hvor φ er vinkelen som dannes av den rette linjen; det vil si φ = arctan hvor er helningen til linjen i det kartesiske koordinatsystemet . Den ikke-radiale linjen som krysser den radielle linjen θ = φ vinkelrett på punktet ( 0 , φ) har ligning $m$ $m$ $r$

{\ displaystyle r (\ theta) = {r_ {0}} \ sek (\ theta - \ varphi).}

Rodonea

En rhodonea er en kjent matematisk kurve som ser ut som en blomst med kronblader, og som enkelt kan uttrykkes med en polar ligning, gitt av

r (\ theta) = a \ cos k \ theta

eller

{\ displaystyle r (\ theta) = a \ sin k \ theta.}

Sett som et heltall vil ligningen produsere en rhodon av typen med oddetall , med partall av typen . Hvis det er et irrasjonelt tall , vil kurven danne en skive. Merk at disse ligningene ikke definerer antall roseblader; variabelen representerer kun lengden på kronbladene. $k$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $til$

Spiral of Archimedes

Arkimedes spiral er en kjent spiral som ble oppdaget av Arkimedes , og som enkelt kan uttrykkes med en polar ligning, av formen

r (\ theta) = a + b \ theta.

Ved å endre parameteren vil spiralen rotere, mens den kontrollerer avstanden mellom armene, som for en gitt spiral alltid er konstant. Arkimedes-spiralen har to armer, en for θ> 0 og den andre for θ <0, og begge går sammen i polen. Ved å ta et speilbilde av en arm langs 90 ° / 270 °-linjen, overlapper de to armene. Denne kurven er også kjent for å være en av de første kurvene, etter kjeglesnitt , som skal beskrives i en matematisk avhandling, og for å være det første eksemplet på en kurve som er representert av polare koordinater bedre enn kartesiske. $til$ $b$

Koniske seksjoner

Et kjeglesnitt med ett fokus på polen og det andre sammenfallende med et annet punkt på aksen ved 0° (slik at hovedaksen til kjeglen kan ligge på polaraksen) er gitt av ligningen

r = {\ ell \ over {1 + e \ cos \ theta}}

hvor e er eksentrisiteten til kurven og e er vinkelrett på kurvens semi-hovedakse. Hvis e > 1, definerer denne ligningen en hyperbel , hvis e = 1, definerer den en parabel , og hvis e <1, definerer den en ellipse . Spesialtilfellet der e = 0 reduserer ellipsen til en sirkel med radius . $\ell$ $\ell$

Komplekse tall

Hvert komplekst tall kan representeres som et punkt på det komplekse planet , og kan derfor uttrykkes enten i kartesiske koordinater (kalt en rektangulær form ) eller i de polare koordinatene til punktet (kalt en polar form ). Det komplekse tallet er representert i rektangulær form som $z$

z = x + iy

der den er den imaginære enheten , eller alternativt kan skrives i polar form som $de$

{\ displaystyle z = r \ cdot (\ cos \ theta + i \ operatørnavn {sen} \ theta)}

og herfra hvordan

z = re ^ {{i \ theta}}

hvor er tallet på Napier . De to formlene er ekvivalente som etablert av Eulers formel . For å konvertere den rektangulære formen til polar og omvendt, kan formlene ovenfor brukes. $Og$

For multiplikasjon , divisjon og eksponentialoperasjoner av komplekse tall, er det generelt lettere å operere med komplekse tall uttrykt i polar form, i stedet for i rektangulær form. Faktisk, for reglene for eksponentialer:

Multiplikasjon:

{\ displaystyle r_ {0} e ^ {i \ theta _ {0}} \ cdot r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} = r_ {0} r_ {1} e ^ {i (\ theta _ {0} + \ theta _ {1})}.}

Inndeling:

{\ displaystyle {\ frac {r_ {0} e ^ {i \ theta _ {0}}} {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}}} = {\ frac {r_ {0} } {r_ {1}}} og ^ {i (\ theta _ {0} - \ theta _ {1})}.}

Eksponentiell ( De Moivre-formel ):

{\ displaystyle (re ^ {i \ theta}) ^ {n} = r ^ {n} e ^ {in \ theta}.}

Oversettelse i polare koordinater

Ved å utnytte den polare formen til et komplekst tall er det mulig å komme frem til oversettelsesformelen i polare koordinater. Tatt to punkter i de polare koordinatene og , Uttrykt med Eulers formel er $P_ {1} = (\ rho, \ alfa)$ $P_ {2} = (\ rho _ {0}, \ beta)$

{\ displaystyle {\ bar {P}} _ {1} = \ rho {\ mathit {e}} ^ {i \ alpha} \ qquad {\ bar {P}} _ {2} = \ rho _ {0} {\ mathit {e}} ^ {i \ beta}.}

Hvis vi betrakter punktet som et oversatt punkt og som opprinnelsen til den nye aksen, så er både det ikke-oversatte punktet, så er oversettelsen $P_1$ $P_ {2}$ $P.$

{\ displaystyle {\ bar {P}} = {\ bar {P}} _ {1} - {\ bar {P}} _ {2} = \ rho {\ mathit {e}} ^ {i \ alpha} - \ rho _ {0} {\ mathit {e}} ^ {i \ beta}.}

Modulen til det komplekse tallet er et positivt reelt tall definert som ${\ bar P}$

{\ displaystyle \ venstre | {\ bar {P}} \ høyre | = \ venstre | {\ bar {P}} _ {1} - {\ bar {P}} _ {2} \ høyre | = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ beta - \ alpha)}}.}

Vurderer nå en polar ligning

{\ displaystyle \ rho '= f (\ alfa).}

For å bruke en oversettelse til funksjonen kan vi erstatte med formelen ovenfor $\ rho '$

{\ displaystyle \ rho '= {\ sqrt {\ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ beta - \ alpha)}}. }

Og ligningen blir

{\ displaystyle \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ beta - \ alpha) = (f (\ alpha)) ^ {2 }.}

Hvis det er en konstant funksjon, representerer oversettelsen en sirkel som ligningen $f$

{\ displaystyle \ rho '= \ cos t,}

representerer en sirkel med sentrum origo og radius verdien av konstanten. Legg merke til at i geometriske termer er oversettelsen av et punkt avstanden mellom punktet og opprinnelsen til den nye aksen, som det er tydelig synlig fra selve formelen. For å konvertere den oversatte kurven fra polare koordinater til kartesiske må vi ta punktet på kurven i polare koordinater og transformere den til kartesiske koordinater, vi får ganske enkelt det samme systemet sett ovenfor, faktisk er det nok å ta punktet som er en komponenten i punktet . $P_1$ $P.$

Kalkulus

Kalkulus kan brukes på ligninger uttrykt i polare koordinater. Vinkelkoordinaten , i denne delen, er uttrykt i radianer , det konvensjonelle valget i kalkulus. $\ theta$

Differensialregning

Det er følgende formler:

{\ displaystyle r {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis r}} = x {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis x}} + y {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis y}}}

{\ displaystyle {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis \ theta}} = - y {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis x}} + x {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis y}}.}

Eller det omvendte:

{\ displaystyle {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis x}} = \ cos \ theta {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis r}} - {\ dfrac {\; \ mathrm {sin} \, \ theta } {r}} {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis \ theta}}}

{\ displaystyle {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis y}} = \ mathrm {sin} \, \ theta {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis r}} + {\ dfrac {\ cos \ theta} { r}} {\ dfrac {\ delvis} {\ delvis \ theta}}.}

For å finne den kartesiske helningen til tangenten til den polare kurven ved et gitt punkt, uttrykkes kurven først med et system av parametriske ligninger . $r (\ theta)$

x = r (\ theta) \ cos \ theta

{\ displaystyle y = r (\ theta) \ sin \ theta}

Ved å utlede begge ligningene mht $\ theta$

{\ displaystyle {\ dfrac {dx} {d \ theta}} = r '(\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta}

{\ displaystyle {\ dfrac {dy} {d \ theta}} = r '(\ theta) \; \ mathrm {sin} \, \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta}

Ved å lage forholdet mellom den andre og den første ligningen får vi helningen til tangentlinjen til kurven i punktet ( θ , r (θ)):

{\ displaystyle {\ dfrac {dy} {dx}} = {\ dfrac {r '(\ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta} {r' (\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta}}}

Integralregning: subtended areal

Hvis R betegner området i rommet som er omsluttet av kurven r (θ) og av linjene θ = a og θ = b , hvor 0 < b - a <2π, så uttrykkes arealet til R ved

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} r (\ theta) ^ {2} \, d \ theta.}

Vi kan komme frem til dette resultatet slik: Først deles intervallet [ a , b ] inn i n delintervaller, der n er et vilkårlig positivt heltall . Kalt Δθ bredden til hvert delintervall, er det forholdet at Δθ er lik b - a (den totale bredden av intervallet), delt på n , antall delintervaller. For hvert delintervall kalles i = 1, 2,…, n , θ i dets midtpunkt, og vi konstruerer en sirkulær sektor med senter i polen, radius r (θ i ), og vinkel Δθ. Arealet til hver bygd sektor er derfor lik . Det totale arealet av alle sektorer vil derfor være lik ${\ tfrac 12} r (\ theta _ {i}) ^ {2} \ Delta \ theta$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dfrac {1} {2}} r (\ theta _ {i}) ^ {2} \, \ Delta \ theta.}

Etter hvert som antall delintervaller øker , fortsetter tilnærmingen av området å forbedres. Ved grensen kommer imidlertid summen til å være Riemann-summen for det forrige integralet . $n$ ${\ displaystyle n \ til \ infty}$

Integralregning: linjelengde

Lengden på linjen uttrykt ved en polar funksjon oppnås ved integrering av infinitesimale segmenter langs selve kurven r ( θ ). Vi bruker L for å betegne lengden på linjen fra startpunktet A til sluttpunktet B , hvor disse punktene tilsvarer: = a , = b . Lengden L på linjen er da gitt av følgende integral: $\ theta _ {A}$ $\ theta _ {B}$

L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ venstre [r (\ theta) \ høyre] ^ {2} + \ venstre [{{dr (\ theta)} \ over {d \ theta} } \ høyre] ^ {2}}} d \ theta

\ int _ {{\ theta _ {A}}} ^ {{\ theta _ {B}}} {\ sqrt {\ venstre [r (\ theta) \ høyre] ^ {2} + \ venstre [{{dr (\ theta)} \ over {d \ theta}} \ høyre] ^ {2}}} d \ theta

Generalisering

Ved å bruke kartesiske koordinater kan et uendelig lite arealelement beregnes som . Regelen for substitusjon for flere integraler fastslår at, ved å gå over til andre koordinater, må vi vurdere den absolutte verdien av determinanten til den jakobiske matrisen : $dA = dxdy$ ${\ displaystyle J = \ det {\ frac {\ delvis (x, y)} {\ delvis (r, \ theta)}} = {\ begynne {vmatrise} {\ dfrac {\ delvis x} {\ delvis r} } & {\ dfrac {\ delvis x} {\ delvis \ theta}} \\ {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis r}} og {\ dfrac {\ delvis y} {\ delvis \ theta}} \ slutt {vmatrix}} = {\ begynne {vmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \ slutten {vmatrix}} = r \ cos ^ {2} \ theta + r \ sin ^ {2} \ theta = r.}$

Derfor kan et arealelement i polare koordinater skrives som

dA = | J | \, drd \ theta = r \, drd \ theta.

Nå kan en funksjon gitt i polare koordinater integreres som følger:

\ iint _ {R} f (r, \ theta) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {0} ^ {{r (\ theta)}} f (r, \ theta) \, r \, drd \ theta.

Her er det samme område som er oppnådd ovenfor, og tilsvarer området som er omsluttet av kurven og linjene og . $R.$ $r (\ theta)$ $\ theta = a$ $\ theta = b$

Formelen for beregningen av ble oppnådd ved å anta identisk lik . En overraskende anvendelse av dette resultatet gjelder muligheten for å beregne det gaussiske integralet $R.$ $f$ $1$

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} \, dx = {\ sqrt \ pi}.

Vektorberegning

Polare koordinater kan også brukes på vektorregning og spesielt på studiet av kinematikken til planbevegelser. La være posisjonen til vektoren $\ mathbf {r}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = r (t) \ cos \ theta (t) \, {\ hat {\ mathbf {x}}} + r (t) \ sin \ theta (t) \, {\ hat {\ mathbf {y}}},}

uttrykt i et kartesisk koordinatsystem av grunnleggende versors og , Modulen og den polare vinkelen er avhengig av tid og beskriver bevegelsen til en kropp i planet. $\ hat {\ mathbf {x}}$ ${\ hat {{\ mathbf {y}}}}$ $r$ $\ theta$ $t$

La være enhetsvektoren ( versor ) i retning av og vektoren til vinkelen til . ${\ hat {{\ mathbf {r}}}} = {\ hat {{\ mathbf {r}}}} (t)$ $\ mathbf {r}$ ${\ hat {{\ boldsymbol \ theta}}} = {\ hat {{\ boldsymbol \ theta}}} (t)$ $\ mathbf {r}$

Den første og andre deriverte av posisjonsvektoren

{\ mathbf {r}} (t) = r (t) \, {\ hat {{\ mathbf {r}}}} (t),

er henholdsvis hastighetsvektoren

{\ mathbf {v}} (t) = {\ frac {d {\ mathbf {r}}} {dt}} = {\ frac {dr} {dt}} {\ hat {{\ mathbf {r}} }} (t) + r (t) {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {{\ boldsymbol \ theta}}} (t),

og akselerasjonsvektoren

{\ mathbf {a}} (t) = {\ frac {d ^ {2} {\ mathbf {r}}} {dt ^ {2}}} = \ venstre [{\ frac {d ^ {2} r } {dt ^ {2}}} - r (t) \ venstre ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ høyre) ^ {2} \ høyre] \, {\ hat {{\ mathbf {r }}}} (t) + \ venstre [r (t) {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + 2 {\ frac {dr} {dt}} {\ frac {d \ theta} {dt}} \ høyre] \, {\ hat {{\ boldsymbol \ theta}}} (t).

bevegelse. Det bør huskes at derivatene av versorene er:

{\ frac {d {\ hat {{\ mathbf {r}}}}} {dt}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {{\ boldsymbol \ theta}}} (t ),

{\ frac {d {\ hat {{\ boldsymbol \ theta}}}} {dt}} = - {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {{\ mathbf {r}}}} ( t),

I tre dimensjoner

Det polare koordinatsystemet kan også utvides til tre dimensjoner, med to forskjellige koordinatsystemer, sylindriske og sfæriske, som begge krever plane eller todimensjonale polare koordinater som grunnlag. Oppsummert forlenger det sylindriske koordinatsystemet de polare koordinatene ved å legge til en annen avstandskoordinat, mens de sfæriske koordinatene legger til en annen vinkelkoordinat.

Sylindriske koordinater

Det sylindriske koordinatsystemet er et koordinatsystem som utvider det polare todimensjonale systemet ved å legge til en tredje koordinat, som måler høyden til et punkt fra grunnplanet, lik det der den tredje dimensjonen er introdusert i det kartesiske planet . Den tredje koordinaten kalles ofte , og hele tripletten er derfor . $h$ ${\ displaystyle (r, \ theta, h)}$

De tre sylindriske koordinatene kan konverteres til kartesiske koordinater med formler

{\ displaystyle {\ begynne {cases} x = r \ cos \ theta \\ y = r \ sin \ theta \\ z = h. \ end {cases}}}

Sfæriske koordinater

Polare koordinater kan også utvides i tre dimensjoner ved hjelp av koordinater , hvor er avstanden fra polen, er vinkelen som dannes med aksen og er vinkelen som dannes av projeksjonen på planet , med aksen . Dette koordinatsystemet, kalt det sfæriske koordinatsystemet , ligner på bredde- og lengdegradssystemet som brukes for jorden , med breddegraden som komplementet til , hvis det er jordens rotasjonsakse, bestemt av forholdet og østlig lengdegrad (hvis mellom 0 ° og 180 °) eller vestlig lengdegrad (hvis den er mellom -180 ° og 0 °), hvis halvplanet med inneholder Greenwich-meridianen. ${\ displaystyle (\ rho, \ theta, \ varphi)}$ $\rho$ $\ theta$ $z$ $\ varphi$ $xy$ $x$ $\delta$ $\ theta$ $z$ ${\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ} - \ theta,}$ ${\ displaystyle l = \ varphi}$ $\ varphi$ ${\ displaystyle l = - \ varphi}$ $\ varphi$ ${\ displaystyle xz}$ $x> 0$

De tre kartesiske koordinatene til et punkt er hentet fra de tre sfæriske koordinatene til det punktet med formlene:

{\ displaystyle {\ begynne {cases} x = \ rho \ sin \ theta \ \ cos \ varphi \\ y = \ rho \ sin \ theta \ \ sin \ varphi \\ z = \ rho \ cos \ theta. \ end {saker}}}

Applikasjoner

Polare koordinater er todimensjonale, og kan derfor bare brukes der posisjonene til punktene ligger på et enkelt todimensjonalt plan. Bruken av dem er hensiktsmessig i enhver sammenheng der fenomenet som vurderes er relatert til retningen og avstanden fra et bestemt punkt; Eksemplene vist ovenfor viser hvordan elementære polare ligninger er tilstrekkelige til å definere kurver - slik som Arkimedes-spiralen - hvis ligning i kartesiske koordinater ville være mye mer intrikat. Videre kan mange fysiske systemer - som de som involverer kropper som beveger seg rundt et sentralt punkt og med fenomener som stammer fra et sentralt punkt - behandles på en enklere og mer intuitiv måte ved hjelp av polare koordinater. Den første motivasjonen for introduksjonen av det polare systemet var studiet av sirkulær bevegelse og orbital bevegelse .

Plassering og navigering

Polare koordinater brukes ofte i navigasjon , når reisemålet eller reiseretningen kan angis gjennom en vinkel og avstand fra ankomststedet. For eksempel bruker fly en litt modifisert versjon av polare koordinater for navigering. I dette systemet regnes vinklene med klokken. Vinkelen på 360° (0°) tilsvarer magnetisk nord , mens 90°, 180° og 270° vinklene tilsvarer henholdsvis magnetisk øst, magnetisk sør og magnetisk vest. Derfor vil et fly som reiser 5 nautiske mil øst, reise 5 enheter til 90°-vinkelen.

Maler

Systemer som viser radiell symmetri er det ideelle miljøet for å bruke polare koordinater, med midtpunktet som fungerer som en pol. Systemer med en sentral kraft er også potensielle kandidater for bruk av polare koordinater: disse systemene inkluderer gravitasjonsfelt , som adlyder den omvendte kvadratloven , samt systemer med en punktkilde, for eksempel radioantenner .

Bibliografi

Howard Anton, kalkulus . Anton Lærebøker, 2002. ISBN 0-471-38157-8
Ross Finney, Calculus: Grafisk, Numerisk, Algebraisk . Addison-Wesley Publishing, 1994, ISBN 0-201-55478-X

Relaterte elementer

Referansesystem

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på det polare koordinatsystemet

Eksterne lenker

Polare geografiske koordinater ( PDF ), på physics.oregonstate.edu .
Søknad for å konvertere koordinater fra kartesisk til polar , på sourceforge.net .