Begrensning

En begrensning er en tilstand som begrenser bevegelsen til en kropp . I mekanikk , siden bare kreftene er i stand til å modifisere hvile- eller bevegelsestilstanden til et system, blir virkningen av begrensningene påført gjennom et sett med krefter, kalt begrensningskrefter eller begrensningsreaksjoner , som virker på punktene i systemet, begrense motorsykkelen deres.

Begrensningstyper

Tilstedeværelsen av begrensninger oversetter til funksjonelle forhold mellom de generaliserte koordinatene , ikke nødvendigvis de kartesiske koordinatene , som genererer rommet til konfigurasjonene der bevegelsen til systemet er beskrevet.

Avhengig av typen koordinatkobling, er begrensningene delt inn i:

holonomiske og bilaterale begrensninger : hvis det funksjonelle forholdet er av typen , dvs. begrensningen avhenger av posisjon og muligens av tid ; $f ({\ vec r} _ {1}, {\ vec r} _ {2}, ..., {\ vec r} _ {n}, t) = 0$
integrerbare holonomiske begrensninger : hvis de er avhengige av hastigheter og kan spores tilbake til posisjoner, opp til en konstant, ved hjelp av integraler ; eksempel: en stiv stang festet i den ene enden
ikke-holonomiske begrensninger : alle de som ikke tilfredsstiller funksjonelle relasjoner av typen ovenfor. eksempel: en kule som ruller uten å krype på et horisontalt plan
ensidige eller ensidige begrensninger hvis det funksjonelle forholdet er av den typen eller den motsatte ulikheten gjelder. Denne ulikheten definerer et domene hvis grense er den respektive ligningen for bilaterale begrensninger; i tilfelle av en lukket overflate kan domenet være eksternt eller internt avhengig av tegnet på ulikheten. Ved å kombinere likninger og ulikheter oppnås ensidige holonomiske begrensninger, det vil si begrensninger som begrenser rommet til tilgjengelige konfigurasjoner, bestående av en overflate med en kant eller en bue av en kurve. Eksempel: jorda. $f ({\ vec r} _ {1}, {\ vec r} _ {2}, ..., {\ vec r} _ {n}, t) \ leq 0$

Avhengig av tidsavhengigheten er begrensningene delt inn i:

skleronomiske eller faste begrensninger hvis de ikke er avhengige av tid; eksempel: en stiv stang festet i den ene enden
reonomiske eller mobile begrensninger hvis de er avhengige av tid. Eksempel: en ring som roterer med en fast vinkelhastighet.

Avhengig av bindingsreaksjonen produserer de:

jevne begrensninger hvis begrensningsreaksjonen alltid er rettet langs retningen til den begrensede kinematiske komponenten;
grove begrensninger hvis begrensningsreaksjonen også har komponenter langs retningene til de ubegrensede kinematiske komponentene.

I rasjonell mekanikk er begrensningene beskrevet av funksjonelle relasjoner som forbinder koordinatene til det mekaniske systemet. ${\vec x}$

Begrensede systemer

Et begrenset system er et mekanisk system underlagt kinematiske begrensninger. Begrensningsforholdene er representert gjennom funksjonelle sammenhenger som kan tolkes i geometrisk forstand. I tilfelle av et mekanisk system som består av N materialpunkter, har et system med m holonomiske og bilaterale begrensninger følgende representasjon

f_ {1} ({\ vec x}) = 0, \ prikker, {\ vec f} _ {m} ({\ vec x}) = 0

Dette kan tolkes geometrisk som den matematiske representasjonen av en overflate i implisitt form nedsenket i det 3N -dimensjonale rommet til systemkoordinatene

${\ vec x} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}, \ prikker \, x_ {N}, y_ {N}, z_ {N}) \ i {\ mathbb {R}} ^ {{3N}}$

Denne overflaten har dimensjon , og n er antallet frihetsgrader til systemet. Selve overflaten kalles systemkonfigurasjonsrommet . $n = 3N-m$

Et system med n frihetsgrader har n uavhengige koordinater som i den lagrangiske formalismen representerer de generaliserte koordinatene til systemet. $n = 3N-r$

Eksempler på begrensning

En partikkel som er begrenset til å bevege seg på en rett linje , dens x- og y -koordinater (for eksempel kartesisk ) er knyttet sammen med et forhold av typen :. Typisk holonomisk begrensning. $y = mx + p$
En partikkel som er bundet til å bevege seg på en overflate av rommet :. $f (x, y, z) = 0$
En partikkel som kan bevege seg i rommet over et plan er en type ensidig begrensning representert av en åpenbar ulikhet.
Vognen (eller enkel støtte ), en enkel begrensning som forhindrer bevegelsen av det begrensede punktet langs aksen vinkelrett på trallens glideplan. Det gir kroppen to bevegelsesfriheter : translasjonen langs vognens glideplan og rotasjonen rundt det begrensede punktet. Begrensningsreaksjonen tilsvarer en kraft påført i det begrensede punktet og rettet langs retningen ortogonalt til glideplanet. Sentrum for øyeblikkelig rotasjon kan være et hvilket som helst av punktene som tilhører aksen ortogonalt til glideplanet.
Hengslet , en dobbel begrensning som forhindrer forskyvning av det begrensede punktet langs alle retninger av problemets plan. La kroppen din fritt rotere rundt selve punktet. Den reagerer med en kraft påført punktet og rettet i henhold til en hvilken som helst retning som hører til problemets plan: denne kraften kan representeres av sine to komponenter på to ortogonale akser. Sentrum av øyeblikkelig rotasjon faller sammen med selve hengslet.
Forriglingen , en trippel begrensning som hindrer kroppen fra både translasjons- og rotasjonskomponenter. Den reagerer gjennom to kraftkomponenter i to forskjellige retninger og et par. Det er ikke noe senter for øyeblikkelig rotasjon fordi leddet ikke tillater bevegelse.
Pendelen (eller koblingsstangen ) er en enkel begrensning tilsvarende vognen: den forhindrer bevegelsen av det begrensede punktet langs aksen til koblingsstangen og lar kroppen bevege seg ortogonalt til denne aksen og rotere rundt punktet. Den reagerer med en kraft påført punktet og rettet langs aksen til koblingsstangen. Sentrum for øyeblikkelig rotasjon, som i tilfellet med vognen, kan være et hvilket som helst av punktene som tilhører aksen ortogonalt til glideplanet.
Den doble doble pendelen (eller dobbel dobbel pendel eller firedobbel pendel eller feil pendel eller pantograf) er en enkel begrensning som forhindrer kroppsrotasjoner. La kroppen din fri til å oversette. Den reagerer gjennom et par. Sentrum for øyeblikkelig rotasjon er alle de upassende punktene i flyet.
Den rene rullende begrensningen er et eksempel på en integrerbar holonomisk begrensning siden selv om den pålegger at hastigheten ved det øyeblikkelige rotasjonspunktet er null, kan det fortsatt utledes et forhold mellom koordinatene til systemet, opp til en konstant.

I rasjonell mekanikk og mekanikk av strukturer er de viktigste begrensningene: hengsel , ledd , enkel støtte eller vogn , ren rullende , dobbel pendel , dobbel dobbel pendel .

Begrensede systemer

Et begrenset system er et mekanisk system underlagt kinematiske begrensninger . Begrensningsforholdene er representert gjennom funksjonelle sammenhenger som kan tolkes i geometrisk forstand.

I tilfelle av et mekanisk system som består av N materielle punkter, vil et system med m holonomiske og bilaterale begrensninger ha n frihetsgrader bestemt av loven . $n = 3N-m$

Et system med n frihetsgrader vil ha n uavhengige koordinater som i den lagrangiske formalismen representerer de generaliserte koordinatene til systemet.

Overflaten der systemet hviler kalles systemkonfigurasjonsrommet .

Perfekte begrensninger

I tilfelle av et system som består av en enkelt partikkel P, hvis begrensningen er jevn og bilateral, til enhver tid t, er begrensningsreaksjonen Φ på P ortogonal til begrensningen i P.

Spesielt:

hvis begrensningen er fast , er hastigheten til P, til enhver tid t, tangent til begrensningen ved P, dette innebærer at kraften som utøves av begrensningsreaksjonen er null siden: ${\ bar {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle W ^ {\ Phi} = \ phi \ cdot {\ bar {\ mathbf {v}}} = 0}$
hvis begrensningen er mobil , er hastigheten til P gitt av summen av drahastigheten til begrensningen og den virtuelle hastigheten ( ); sammenlignet med det forrige tilfellet, vil den virtuelle hastigheten være vinkelrett på begrensningsreaksjonen, noe som gjør den virtuelle kraften null: ${\ bar {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {v}}} = {\ bar {\ mathbf {v}}} ^ {*} + {\ widehat {\ mathbf {v}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {W}} ^ {\ Phi} = \ phi \ cdot {\ widehat {\ mathbf {v}}} = 0}$

La denne gangen gis et system av n partikler slik at underlagt bilaterale begrensninger som forårsaker begrensningsreaksjoner på de n partikler med , Begrensningene til systemet kalles perfekt (eller ideelt ) hvis følgende betingelse gjelder: ${\ displaystyle P _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1,2, ..., N}$ $\ phi _ {\ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1,2, ..., N}$

${\ displaystyle {\ widehat {W}} ^ {\ phi} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ phi _ {k}. {\ widehat {\ mathbf {v}}} = 0}$

Så hvis summen av de virtuelle potensene til systemet generert av begrensningsreaksjonene er null (det er ikke nødvendig at alle potensene er null og derfor er alle begrensningene jevne, men bare at summen er null).

I alle stive kropper er stivhetsbegrensningene perfekte.

Bibliografi

Feliks Ruvimovič Gantmacher , Lessons in Analytical Mechanics - 1. utgave 1980 - Editori Riuniti Mir Editions, Roma
Vittorino Talamini, Luisa Arlotti , Rasjonell mekanikkkurs - 1998 - Forum Edizioni

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wiktionary inneholder ordboklemmaet " constraint "