I plangeometri er tessellasjoner (noen ganger tessellers eller fortau ) måtene å dekke overflaten med en eller flere geometriske figurer som gjentas i det uendelige uten å overlappe.
Disse geometriske figurene, kalt "fliser", er ofte polygoner , vanlige eller ikke, men de kan også ha krumlinjede sider , eller ha ingen toppunkt . Den eneste betingelsen som vanligvis oppstår er at de er koblet sammen , eller rettere sagt ganske enkelt koblet (dvs. at de er et enkelt stykke og ikke har hull).
I matematikk har man også studert mye roms tesseller , der brikkene er solide .
Vanlige (eller periodiske ) tessellasjoner er de som respekterer følgende regel: det er to uavhengige oversettelser som sender tessellasjonen inn i seg selv (med " uavhengig " mener vi at de to oversettelsene ikke må ha samme retning).
Denne tilstanden kalles vanligvis parallellogramregelen fordi hvis vi kaller og vektorene assosiert med de to minste [1] oversettelsene som sender selve tessellasjonen, innser vi at parallellogrammet som har e sider (og som kalles det grunnleggende parallellogrammet ) genererer tessellasjonen . ved hjelp av de to oversettelsene (med andre ord kan vi tegne hele tessellasjonen på nytt ved å replikere det grunnleggende parallellogrammet og uten å måtte rotere eller "reversere" det).
Selv om denne betingelsen kan virke veldig restriktiv, respekteres den av nesten alle gulvbelegg man kan tenke seg. Grunnen til at det er nyttig er at det lar deg sammenligne tilsynelatende totalt forskjellige tesseller med hverandre.
Den grunnleggende parallellogramformen er imidlertid ikke den mest komplette måten å klassifisere vanlige tesseller på; faktisk , å kjenne målingene av vinklene og sidene tillater oss ikke med sikkerhet å fastslå de geometriske egenskapene til vår tessellasjon: det kan skje at det er en del av planet som er mindre enn parallellogrammet (mer presist, en andel av parallellogrammet ) som det er mulig å rekonstruere all tessellasjonen med (ikke lenger med bare oversettelser, men også ved å bruke andre isometrier): den minimale utformingen . Vi vil derfor si at to tesseller tilhører samme klasse hvis:
For eksempel, i bildet på siden ser vi en tessellasjon med dets grunnleggende parallellogram (et kvadrat) og dets minimale design (en rettvinklet trekant) ved siden av. Tessellering kan oppnås ved å oversette firkanten, men også ved å oversette og reflektere kun den rette trekanten. I stedet er det ingen del av planet som er mindre enn trekanten som hele tessellasjonen kan gjenskapes med.
Det er vist at det er nøyaktig 17 klasser med vanlige tessellasjoner. For å katalogisere en tessellasjon er det tilstrekkelig å kjenne til transformasjonene som er nødvendige for å generere den fra minimumstegningen, som vist i følgende tabell:
Minimum vinkelrotasjon? | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Refleksjoner? | |||||||||
Ingen | Glissoreflexioni?
|
Glissoreflexioni?
|
s3 | s4 | s6 | ||||
1 | Glissoreflexioni?
|
pmg | |||||||
2 | Enkelt rotasjonssenter?
|
p4g | |||||||
3 | Enkelt rotasjonssenter?
|
||||||||
4 | p4m | ||||||||
6 | p6m |
Det er et veldig stort utvalg av vanlige tesseller med vanlige polygoner som fliser . Det er imidlertid vist at det bare er 11 som oppfyller følgende to betingelser:
Denne tessellasjonen respekterer ikke den glidende tilstanden.
Denne tessellasjonen respekterer ikke tilstanden til identiske hjørner.
Når vi sier at det er nøyaktig 11, refererer vi ikke lenger til klassene, men nettopp til formen på kantene: vi sier at gitt 12 slike tesseller vil det alltid være minst 2 slik at ved riktig skalering og fargelegging den ene blir den identisk med den andre. .
Spesielt er det ganske enkelt å observere at hvis vi pålegger bruk av kun ett regulært polygon for hele tessellasjonen, har vi 3 mulige konfigurasjoner; faktisk må målet på vinklene til stykket være en heltallsdeler på 360, og derfor vil bare den likesidede trekanten ( ), kvadratet ( ) og den regulære sekskanten ( ) fungere:
Trekantede dybler
Firkantede dybler
Sekskantede dybler
Med to eller flere vanlige polygoner har vi følgende konfigurasjoner (under hvert bilde er beskrivelsen av toppunktene , som - husk - alle er like: hvert tall angir typen tilstøtende polygon, vri med klokken):
(3,3,3,3,6)
(3,3,3,4,4)
(3,3,4,3,4)
(3,4,6,4)
(3,6,3,6)
(3.12.12)
(4.6.12)
(4,8,8)
Som nevnt er mange av tessellene som kommer til hjernen regelmessige. Andre tesseller, selv om de ikke er vanlige, sendes i seg selv ved spesielle oversettelser (dette er for eksempel tilfellet med tesseller sammensatt av bånd av uendelig lengde ved siden av hverandre som hver er dekket av den samme vanlige tessellasjonen, men arrangert forskjøvet mellom dem ) .
Det er imidlertid mulig å realisere, og det er et resultat som matematikere relativt nylig har kommet frem til, også aperiodiske tessellasjoner , det vil si slik at ingen oversettelse sender dem i seg selv. Dette er for eksempel tilfellet med Wangs dominobrikker , Robinsons fliser og den berømte Penrose-tesselasjonen .
Vi har sett at det eneste kravet for at en geometrisk form skal være et "godt" stykke er å være sammenkoblet, eller rettere sagt enkelt koblet. Årsaken er enkel: å anta at en flis ikke har denne egenskapen øker ikke de mulige konfigurasjonene vesentlig, så det er ikke geometrisk interessant.
Faktisk, hvis et stykke ikke er koblet sammen, vil det bli delt i to deler, som kan betraktes som to separate stykker.
På den annen side, hvis en flis er et enkelt stykke, men har et hull, må den fylles med en eller flere fliser, men denne fyllingen blir et problem helt uavhengig av den omkringliggende tessellasjonen.
Tessellasjoner i figurativ og abstrakt kunst og i arkitektur har alltid vært en måte å kombinere estetikk, eleganse og enkelhet på, og har blitt brukt i utallige sammenhenger; her er noen viktige eksempler:
Det er ingen tilfeldighet at tessellasjoner også kalles gulvbelegg : faktisk er alle mulige måter å dekke et gulv med fliser av en gitt form på ikke annet enn en tessellasjon. Dette er grunnen til at tessellene nødvendigvis er til stede i en veldig stor del av bygningene som er bygget i løpet av historien. Spesielt har fargede tesseller ofte blitt sett på som en gimmick for å live opp et gulv eller en vegg.
Veldig kjente er tessellene som dekker mange vegger av Alhambra -komplekset , i Granada , frukt av den arabiske kunsten og smaker fra Nasrid -dynastiet : araberne har alltid vært store lærde av matematikk og geometri, og denne kunnskapen gjennomsyrer også kunsten deres , så mye slik at begrepet arabesk fortsatt brukes ofte for å indikere geometriske dekorative motiver .
Mange av verkene til den nederlandske kunstneren Maurits Cornelis Escher er tessellasjoner, hvis fliser vanligvis representerer fisk, fugler, hester, flaggermus, men også antropomorfe figurer. Escher viet ikke bare mye oppmerksomhet til å lage stykker som faktisk lignet dyrene han ønsket å representere, men også til den matematiske studien og katalogiseringen av tesseller, og sammenlignet seg også med matematikere på sin tid [2] .
Fra et matematisk synspunkt er hans mest dristige verk sannsynligvis de der han skildrer tesseller arrangert ikke på et vanlig euklidisk plan, men overfører ikke-euklidiske geometrier til planet. Selv om dette ikke er formelt tessellasjoner (siden flisene ikke bare gjentas, men også skaleres), er det grunnleggende geometriske resonnementet det samme, tilpasset den valgte ikke-euklidiske modellen for geometri. For eksempel, i den berømte serien Limit of the circle kan vi gjenkjenne postulatene til det hyperbolske planet studert av Henri Poincaré .
Bemerkelsesverdig er også Metamorphosis -serien , der Escher setter sammen forskjellige tessellasjoner vekslende med andre geometriske eller frihåndsmotiver i en lang stripe, og gir dermed også ideen om at de enkle geometriske reglene i bunnen av tessellene er tilstede overalt og ved bunnen av tessellene. naturen selv [3] .
Mange materialer, både naturlige og kunstige, er preget av en mikroskopisk struktur som gjentas mer eller mindre likt (opp til krystallenes ekstreme regelmessighet ).
Det er flere tilfeller der det imidlertid er mulig å finne tesseller av en noen ganger overraskende regelmessighet selv av makroskopiske dimensjoner og derfor synlige for det blotte øye:
De sekskantede cellene i en bikube danner en klasse p6 tessellasjon
Den samme konfigurasjonen finnes i det flate arrangementet av såpebobler .
Skallet på en ananas består alltid av sekskanter, men mindre regelmessig: klasse cm .
En kongle av Sequoia , med asymmetriske dekkblader , gir et eksempel på p0 tessellasjon .
I datagrafikk, spesielt i gjengivelsen av 3D-miljøer, gjør denne teknikken det mulig å underdele polygonene ytterligere, som takket være en forskyvningskartlegging eller forskyvningskartlegging vil kunne skape en mer detaljert tredimensjonal form. Med dynamisk tessellering er det et annet snitt av denne effekten, som vil være mer markert for nærliggende objekter, mens den vil reduseres for fjerne objekter, og dermed unngå unødvendig sløsing med ressurser. [4]