Postulater av kvantemekanikk

Kvantemekanikkens postulater er et sett med grunnleggende utsagn som representerer et utgangspunkt i formuleringen av kvanteteori i en aksiomatisk form .

Beskrivelse

Det er mange ekvivalente formuleringer av kvantemekanikk , forskjellige sett med postulater og matematiske verktøy som gir opphav til de samme spådommene og som forklarer de samme klassene av fenomener like tilfredsstillende . Blant disse kan vi sitere Richard Feynmans berømte formulering av integralet på stier eller Bohms tolkning eller mange-verdeners tolkning .

Imidlertid er det en standardformulering , formulert aksiomatisk etter København-tolkningen , som ofte undervises på universiteter rundt om i verden og som danner et felles og universelt anerkjent grunnlag for studiet av kvantefenomener .

Aksiomene eller postulatene til kvantemekanikken representerer en delvis løsning på Hilberts sjette problem . En teori om kvantegravitasjon kan fullføre aksiomatiseringen av kjent fysikk, alltid med tanke på at gitt at et fysisk system kan representere aritmetikk, vil aksiomatiseringen uunngåelig være underlagt Gödels ufullstendighetsteoremer .

Postulatene

Fem postulater kan identifiseres:

Kvantetilstander

Et Hilbert-rom er assosiert med ethvert fysisk system . I dette rommet er hver tilstand i systemet assosiert med en retning (dvs. en vektor med en vilkårlig multiplikativ konstant).

Siden hver tilstand er definert opp til en vilkårlig multiplikativ konstant, er det mulig (og gjøres ved konvensjon) å arbeide bare med normaliserte vektorer slik at . Dette etterlater fortsatt en vilkårlighet på fasen til vektoren siden og er ekvivalente for hver . Det er situasjoner der det er praktisk å utvide Hilbert-rommet (for eksempel når det er et kontinuum av verdier som en viss mengde kan anta), ved å introdusere upassende vektorer (for eksempel plane bølger) som kan tilnærmes i sansen passende fra vektorer av Hilbert-rommet, men som ikke selv tilhører Hilbert-rommet. Generelt kan vektorer av denne typen brukes uten problemer, så lenge noen definisjoner er tilpasset (som for eksempel sannsynlighetsfordeling knyttet til tilstanden: se nedenfor). Et kjent eksempel på disse upassende vektorene er posisjonsoperatorens egentilstand for en fri partikkel, Dirac delta-funksjonen .

Konsekvenser

Generelt kan enhver vektor i Hilbert-rommet dekomponeres i den lineære kombinasjonen av andre vektorer. Spesielt er hver observerbar assosiert med en ortonormal basis av vektorer i Hilberts rom, grunnlaget for dens egentilstander (se nedenfor): derfor kan hver tilstand dekomponeres til summen av egentilstander til en viss observerbar ( superposisjonsprinsipp ). Dette faktum er viktig fordi det er postulert at når man måler den aktuelle observerbare, oppnås en presis egenverdi, med en presis sannsynlighet, og tilstanden etter målingen viser seg å være den tilsvarende egenvektoren (se nedenfor for detaljer). Vi observerer at definisjonen av disse sannsynlighetene ikke endres hvis startvektoren multipliseres med en vilkårlig fase. I kvantemekanikk er det observerbare objekter som ikke pendler: dette faktum antyder at det ikke er noen ortonormal basis som er felles for alle observerbare, faktisk er generelt hver observerbar assosiert med et annet grunnlag, skrått til de andre, og dette kan være en kilde til atferd til å begynne med fantastisk utsikt. Å rekonstruere en vektor med utgangspunkt i sannsynlighetsfordelingene assosiert med resultatet av målingen av visse observerbare er en generelt ikke-entydig operasjon: dette er fordi resultatet av en måling fikser sannsynlighetene, som er kvadratmodulene til vektorkoeffisientene (med hensyn til til den assosierte basen til den observerbare) og de relative fasene til disse koeffisientene forblir ubestemte. Vi bemerker at disse relative fasene ofte er avgjørende for å observere interferensfenomenene som er typiske for kvantemekanikk.

De observerbare

En lineær og selvtilpasset operatør i rommet er assosiert med hver observerbar mengde A. Settet med mulige verdier for måling av en mengde er gitt av spekteret til operatøren knyttet til det.

Lineariteten til operatøren sikrer at den kan representeres som en matrise (muligens uendelig dimensjonal) på et eller annet grunnlag , mens hermitianiteten sikrer at spekteret til operatøren er reelt .

Akkurat som det er praktisk å definere funksjoner av mengder , å definere andre mengder uten å måtte definere dem direkte, er det mulig å matematisk definere operatørfunksjoner gjennom utviklingen deres i Taylor -serier (når denne serien konvergerer, for eksempel ). Serieutviklingen bringer problemet med operatørfunksjoner tilbake til sum- og kraftoperasjoner mellom matriser .

Konsekvenser

Siden grunnlaget for å representere operatorene er vilkårlig, er det ofte praktisk å skrive en operator i en basis av dens egenvektorer (hvor matrisen som representerer den er diagonal ). Når du prøver å måle mer enn én størrelse på samme tid, er det tilrådelig å se etter et grunnlag for egenvektorer som er felles for alle de tilsvarende operatorene . Dette er imidlertid mulig hvis og bare hvis disse operatørene bytter , det er da de ulike likhetene holder .

Sannsynligheten for et utfall

Hvis det fysiske systemet er i en tilstand , er sannsynligheten for at observasjonen av en mengde A gir som et resultat direkte proporsjonal med .

Et postulat som ofte antydes, men ikke er bundet til det forrige, er at strømmen av sannsynlighet er kontinuerlig: det vil si at bølgefunksjonen ikke gjør hopp , og derfor gjelder Noethers teorem . Et særegent trekk ved kvantemekanikk er det å gi bare statistiske snarere enn deterministiske spådommer (slik det skjer i klassisk mekanikk ). Dette betyr at selv om man tar ideelle eksperimenter i betraktning , er det aldri mulig å forutsi resultatet av en måling. Det du i stedet kan vite er sannsynligheten for å få som et resultat i stedet for . Det eneste unntaket, mer teoretisk enn praktisk, fra denne regelen er når systemet er nøyaktig på en egentilstand av størrelsesorden A som vi ønsker å observere. I dette tilfellet er sannsynligheten for å få som et resultat

Konsekvenser

I kvantemekanikk , siden vi har å gjøre med sannsynlighetene for å oppnå mulige resultater, er det naturlig å bruke vanlig instrumentering av statistikk . Spesielt må sannsynligheten for at målingen av en observerbar gir et resultat være lik én, eller summen av sannsynlighetene for å oppnå hvert av de mulige resultatene må være lik én :.

Sammenbruddet av bølgefunksjonen

Målingen av den observerbare A på tilstanden , forutsatt å ha oppnådd som et resultat, projiserer på egenrommet til .

Dette, også kjent som von Neumann-postulatet, er absolutt det minst intuitive og det mest kontroversielle av postulatene til kvantemekanikk . Den enkle handlingen med å måle en mengde er faktisk i stand til å endre tilstanden til systemet fra til .

Konsekvenser

På grunn av postulatet om sannsynligheten for et resultat , må sannsynligheten for å oppnå som et resultat fra målet på være lik 1. Dette betyr at hvis jeg ved å måle oppnår , vil dette endre tilstanden til systemet mitt i og derfor hver påfølgende måling (utført uten tilstandsutvikling) vil måtte gi samme resultat med enhetssannsynlighet. En annen viktig konsekvens er at hvis to operatorer og pendler, er det mulig å finne et felles grunnlag for egenvektorer og derfor påvirker ikke uavhengige mål av disse to størrelsene hverandre. Faktisk, hvis vi måler A på et system i tilstanden , vil det bli projisert på egenrommet til A og derfor vil det bli av formen . Så, hvis vi måler B uavhengig også, vil tilstanden bli av den formen som hører til både autorommet til A og B. Et påfølgende mål på A vil bare føre til resultatet , og derfor har ikke målingen av B påvirket målet for A. Dette gjelder ikke for operatørpar som ikke pendler, hvis tiltak (selv ideelle og uavhengige) påvirker hverandre. Minimumsverdien av usikkerhet introdusert i målingene av denne effekten er gitt av Heisenberg-usikkerhetsprinsippet (som i den aksiomatiske formuleringen av kvantemekanikk er et teorem).

Schrödingers ligning

Stater utvikler seg over tid i henhold til ligningen ,

hvor er den Hamiltonske operatøren av systemet og er en universell konstant som har de fysiske dimensjonene til en handling.

Konsekvenser

Schrödinger-ligningen er en lineær differensialligning av første orden. Dette innebærer at dens løsninger bestemmes opp til de uendelige mulige valgene til de initiale betingelsene. Anta at disse gir oss , det vil si staten på den tiden . Da er det bevist å eksistere en enhetlig lineær operatør (kalt temporal evolusjonsoperatør ) slik at .

Bibliografi