Gaussisk bjelke

I optikk kalles en lysstråle gaussisk når dens intensitetsprofil på et plan vinkelrett på forplantningsretningen følger en gaussisk fordeling . Viktigheten i studiet av gaussiske stråler ligger i det faktum at de beskriver godt, i bølgetermer, strålingen som sendes ut av en laserkilde ; faktisk veldig ofte, spesielt i samspillet med optiske elementer, er tilnærmingen av å betrakte en laserstråle som en plan bølge ikke gyldig.

Utledning av bølgeligningen for gaussiske stråler

Utgangspunktet er åpenbart Maxwells ligninger som vi får, for det elektriske feltet for eksempel, den velkjente bølgeligningen :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} - \ mu \ varepsilon {\ frac {\ delvis ^ {2} {\ vec {E}}} {\ delvis t ^ {2}}} = 0}

Hvis vi antar , som tilsvarer å fikse frekvensen til den elektromagnetiske bølgen , får vi Helmholtz-ligningen : ${\ displaystyle {\ vec {E}} (x, y, z, t) = {\ mbox {Re}} [{\ vec {E}} (x, y, z) e ^ {i \ omega t} ]}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} + k ^ {2} (x, y, z) {\ vec {E}} = 0}

som den generelt sett vil ha en reell del (ansvarlig for spredningen ) og en imaginær del (hvorfra absorpsjonen eller forsterkningen stammer ); for enkelhets skyld vurderer vi tilfellet der det ikke er avhengig av koordinatene . ${\ displaystyle k ^ {2} (x, y, z) = \ omega ^ {2} \ mu \ varepsilon}$ ${\ displaystyle k ^ {2}}$

Felles erfaring lærer at laserstråling forplanter seg som en tilnærmet plan bølge, for hvilken energistrømmen skjer i en bestemt z-retning, med en sylindrisk symmetri rundt denne retningen og den tilhørende energien konsentrert hovedsakelig i ett område begrenset rundt aksen identifisert av denne retningen . Dette antyder å lete etter en komponent av den ortogonale elektriske feltvektoren az, en løsning av Helmholtz-ligningen i formen:

{\ displaystyle E (x, y, z) = \ Psi (x, y, z) e ^ {- ikz}}

{\ displaystyle \ Psi (x, y, z) = e ^ {- i [P (z) + {\ frac {1} {2}} Q (z) r ^ {2}]}}

hvor er avstanden fra z-aksen. Tatt i betraktning den sylindriske symmetrien til problemet, er det også nyttig å skrive Laplacian - operatoren på denne måten ${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ nabla _ {t} ^ {2} + {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis z ^ {2}}} = {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis r}} + {\ frac {\ delvis ^ {2}} {\ delvis z ^ {2}}}}

i dette skriptet har det derfor betydningen av tverrgående laplacisk operator . Helmholtz-ligningen er derfor ${\ displaystyle \ nabla _ {t} ^ {2}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {t} ^ {2} \ Psi -2ik {\ frac {\ delvis \ Psi} {\ delvis z}} + {\ frac {\ delvis ^ {2} \ Psi} {\ delvis z ^ {2}}} = 0}

Forutsatt at variasjonen langs z er tilstrekkelig godt beskrevet av den første deriverte alene , kan vi anta at

{\ visningsstil {\ frac {\ delvis ^ {2} \ Psi} {\ delvis z ^ {2}}} \ ll k {\ frac {\ delvis \ Psi} {\ delvis z}}, \; k ^ { 2} \ Psi}

og derfor neglisjerer den andrederiverte i ligningen. Ligningen for funksjonene og blir derfor ${\ displaystyle P (z)}$ $Q (z)$

{\ displaystyle -Q ^ {2} r ^ {2} -2iQ-kr ^ {2} {\ frac {dQ} {dz}} - 2k {\ frac {dP} {dz}} = 0}

For at dette skal være sant for hver r, må koeffisientene til de forskjellige potensene til r utligne identisk; dette fører til systemet

{\ displaystyle \ venstre \ {{\ begynne {matrise} Q ^ {2} + k {\ frac {dQ} {dz}} = 0 \\ {\ frac {dP} {dz}} = - i {\ frac {Q} {k}} \ end {matrise}} \ høyre.}

Astigmatiske gaussiske stråler

Den fundamentale gaussiske strålen kan tenkes å oppnås med utgangspunkt i produktet av to løsninger avhengig av og med samme midjepunktstørrelse . . Vi er nå interessert i noen gaussiske bjelker hvis gaussiske faktor har forskjellig bredde på de to aksene og . Vi innrømmer også at posisjonene til beltene kan være forskjellige. Disse kalles astigmatiske gaussiske stråler og deres analytiske form, i det enkle tilfellet der den eneste tverramplitudemodulasjonen er den til den gaussiske faktoren, er følgende :. ${\ displaystyle TEM_ {00}}$ ${\ displaystyle (x, z)}$ $(y, z)$ ${\ displaystyle V (x, y, z) = A {W_ {0} \ over W_ {z}} e ^ {i \ venstre (k_ {z} - \ phi _ {z} \ høyre)} e ^ { \ venstre ({ik \ over 2R_ {z}} - {1 \ over W_ {z} ^ {2}} \ høyre) r ^ {2}} = TEM_ {00}}$ $x$ $y$ ${\ displaystyle V (x, y, z) = A {\ sqrt {W_ {0x} W_ {0y} \ over W_ {x} (z) W_ {y} (z)}} e ^ {i \ left [ k_ {z} - {\ phi _ {x} (z) + \ phi _ {y} (z) \ over 2} \ høyre]} e ^ {\ venstre ({ik \ over 2R_ {x} (z) } - {1 \ over W_ {x} (z) ^ {2}} \ høyre) x ^ {2}} e ^ {\ venstre ({ik \ over 2R_ {y} (z)} - {1 \ over W_ {y} (z) ^ {2}} \ høyre) y ^ {2}}}$

Bølgeligningsløsning

Det nyskrevne systemet med differensialligninger er utledet fra en omtrentlig ligning, men en eksakt løsning kan finnes; ved å introdusere en ny ukjent funksjon definert av , integrerer den første ligningen seg selv direkte på en umiddelbar måte. Deretter introduserer en konstant for integrering ${\ displaystyle s (z)}$ ${\ displaystyle Q (z) = k {\ frac {s'} {s}}}$ ${\ displaystyle s '' (z) = 0}$ $q_0$

{\ displaystyle Q (z) = {\ frac {k} {z + q_ {0}}}}

Ved å erstatte dette i den andre ligningen får vi

{\ displaystyle P (z) = - i \ ln \ venstre (1 + {\ frac {z} {q_ {0}}} \ høyre)}

Konstanten kan bestemmes ved å observere at hvis vi vil ha henfallsamplituden bort fra aksen, må vi ha rene bilder; vanligvis oppstår , med bølgelengde av lys; den er på størrelse med en lengde , og betydningen av den vil bli klar om kort tid. $q_0$ $Og$ $q_0$ ${\ displaystyle q_ {0} = {\ frac {i \ pi {w_ {0}} ^ {2}} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}}$ $w_ {0}$

Til slutt blir uttrykket for det elektriske feltet

{\ displaystyle E (x, y, z) = E_ {0} {\ frac {w_ {0}} {w (z)}} e ^ {- i \ left (kz- \ arctan \ left ({\ frac) {z} {z_ {0}}} \ høyre) \ høyre) -r ^ {2} \ venstre ({\ frac {1} {w ^ {2} (z)}} + {\ frac {ik} { 2R (z)}} \ høyre)}}

hvor mengdene er definert

{\ displaystyle z_ {0} = {\ frac {k {w_ {0}} ^ {2}} {2}} \ quad w ^ {2} (z) = {w_ {0}} ^ {2} \ venstre (1 + {\ frac {z ^ {2}} {{z_ {0}} ^ {2}}} \ høyre) \ quad R (z) = z \ venstre (1 + {\ frac {{z_ { 0}} ^ {2}} {z ^ {2}}} \ høyre)}

mens parameteren definert av tar navnet på kompleks krumningsradius , som inneholder all informasjonen som er nødvendig for studiet av forplantningen av den Gaussiske strålen. $q (z)$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {q (z)}} = {\ frac {1} {R (z)}} - {\ frac {2i} {kw ^ {2} (z)}}}$

Løsningen som ble funnet tar navnet på grunnleggende gaussisk stråle , for å skille den fra andre løsninger kalt gaussiske moduser av høyere orden .

Stråleintensitet

Intensiteten som bæres av den fundamentale gaussiske strålen gjennomsnittlig over en periode er gitt av $T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}$

{\ displaystyle I (x, y, z) = {\ frac {\ pi c \ varepsilon} {\ lambda k}} E ^ {*} (x, y, z) E (x, y, z) = I_ {0} \ venstre ({\ frac {w_ {0}} {w (z)}} \ høyre) ^ {2} e ^ {\ frac {-2r ​​​​^ {2}} {w ^ {2} (z)}}}

Bjelkediameter

Parameteren representerer avstanden fra z-aksen der feltbredden reduseres med en faktor og intensiteten reduseres med ; på engelsk kalles det spot size (bokstavelig talt "spot size") til strålen. I praksis representerer det halve diameteren av området rundt stråleutbredelsesaksen der mesteparten av kraften er konsentrert . ${\ displaystyle w (z)}$ ${\ displaystyle 1 / e}$ ${\ displaystyle 1 / e ^ {2}}$

På dette tidspunktet fremstår betydningen av , som representerer minimum, for , av de tverrgående dimensjonene til den gaussiske strålen, det vil si at man har maksimal intensitet, klar. Det engelske navnet er waist (bokstavelig talt "belte"). $w_ {0}$ $z = 0$ $z = 0$

Konfokal parameter

For mengden øker den i forhold til minimum med en faktor ; den tar vanligvis navnet Rayleigh avstand , mens konfokalparameteren er lik . Det er den avstanden som strålen ennå ikke har utvidet seg vesentlig for, og den gjennomsnittlige intensiteten bare har sunket med en faktor på 2. Når det gjelder en laserstråle, representerer den referanselengden for å sammenligne brennviddene til alle optiske systemer som krysses. . ${\ displaystyle z = \ pm z_ {0}}$ ${\ displaystyle w (z)}$ ${\ sqrt {2}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle 2z_ {0}}$

Krumningsradius

For bølgefronten til en gaussisk stråle kan den tilnærmes med en sfærisk bølgefront med radius . I diverge, det vil si at bølgefronten er flat , mens den i absolutt verdi er minimum for ; i stor avstand fra midjepunktet kan det betraktes , det vil si en praktisk talt sfærisk bølge. ${\ displaystyle r ^ {2} \ ll z ^ {2}}$ ${\ displaystyle R (z)}$ $z = 0$ ${\ displaystyle z = \ pm z_ {0}}$ ${\ displaystyle R (z) \ simeq z}$

Divergens og faktor ${\ displaystyle M ^ {2}}$

Even for vokser lineært med ; vinkelen som dannes mellom z-aksen og den rette linjen som nærmer seg den kalles vinkeldivergens og det kan vises at en gaussstråle er den som har minst divergens. I en ekte laser er divergensen alltid større enn denne grenseverdien, dvs. strålen som genereres av en ekte laser er aldri nøyaktig gaussisk; i lasere for vitenskapelige anvendelser uttrykkes dette kvantitativt av faktoren , som representerer forholdet mellom den effektive og den ideelle divergensen; i høykvalitetslasere kan det være svært nær 1 og ofte er en maksimal garantert verdi gitt av produsentene. ${\ displaystyle w (z)}$ ${\ displaystyle z \ gg z_ {0}}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ theta \ simeq {\ frac {\ lambda} {\ pi w_ {0}}}}$ ${\ displaystyle w (z)}$ ${\ displaystyle M ^ {2}}$ ${\ displaystyle M ^ {2}}$

Utbredelse av en gaussisk stråle gjennom et optisk system

Ved å bruke formalismen til matriseoptikk beskrives forplantningen av en gaussisk stråle ved en transformasjon av den komplekse krumningsradiusen; hvis matrisen som beskriver systemet er

{\ displaystyle {\ start {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

så oppnås den komplekse radiusen ved utgangen av systemet ved å starte fra inngangen ved å skrive ${\ displaystyle q_ {o}}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$

{\ displaystyle q_ {o} = {\ frac {Aq_ {i} + B} {Cq_ {i} + D}}}

eller mer praktisk

{\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {o}}} = {\ frac {C + D / q_ {i}} {A + B / q_ {i}}}}

denne formelen er kjent som ABCD-loven for Gaussisk stråleoptikk . Det er lett å demonstrere med denne loven at når den passerer gjennom et linse- eller linsesystem, blir en gaussisk stråle forvandlet til en annen Gaussisk stråle med parametere og modifisert. $w_ {0}$ $z_0$

Fokusere en gaussisk stråle

La oss vurdere en gaussisk stråle med en Rayleigh-avstand som påvirker midjepunktet på en tynn konvergerende linse ( positivt brennpunkt ); den gaussiske strålen som kommer ut av linsen har et midjepunkt i en avstand fra linsen gitt av $z_0$ $f$

{\ displaystyle d = {\ frac {f} {1+ \ venstre ({\ frac {f} {z_ {0}}} \ høyre) ^ {2}}}}

$d$ faller sammen med hypotesen om at ; videre, alltid i denne korte brennvidde hypotesen, er den nye midjen $f$ ${\ displaystyle f \ ll z_ {0}}$

{\ displaystyle w_ {0o} = w_ {0i} {\ frac {\ frac {f} {z_ {0}}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {f} {z_ {0}}} \ høyre) ^ {2}}}} \ simeq {\ frac {f} {z_ {0}}} w_ {0i}}

Derfor, for å fokusere en gaussisk stråle, kreves linser med kort brennvidde i forhold til Rayleigh-avstanden.

Bibliografi

Bahaa EA Saleh, Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics, Second Edition , Wiley-Interscience, 2007. ISBN 9780471358329

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer om Gaussian Beam