Eksklusjon (logikk)

Kildeløs: Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)

Eksklusjon er en grunnleggende sannhetsfunksjon i setningslogikken (latin exclusio = «utestengning»). Eksklusjonen av to utsagn er sann hvis og bare hvis minst ett av disse utsagnene er falske. Den symbolske skrivemåten for eksklusjonen av to utsagn A og B bruker den såkalte Sheffer-streken:

${\displaystyle \mathbf {A} \mid \mathbf {B} }$

og kan uttales som følger:

• «høyst én av A og B,»
• «ikke begge av A og B,»
• «A og B utelukker hverandre.»

I noen programmeringsspråk eller andre sammenhenger der særtegn ikke kan brukes, skrives også «NAND» istedenfor «|». «NAND» er avledet av det engelske uttrykket not and. Dette kommer av at eksklusjonen er negasjonen av en «logisk og»:
${\displaystyle (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {B} \land \mathbf {A} )}$.

Sheffer-streken er oppkalt etter logikeren Henry Maurice Sheffer, som beskrev noen av eksklusjonens interessante egenskaper. Blant annet kan alle andre sannhetsfunksjonene uttrykkes gjennom eksklusjonen:

• negasjon («ikke»), ${\displaystyle \neg \mathbf {A} \Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )}$;
• inklusiv disjunksjon («eller»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \lor \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\neg \mathbf {A} \mid \neg \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )\mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))}$;
• konjunksjon («og»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \land \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} ))}$;
• subjunksjon («hvis»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid \neg \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))}$;
• bisubjunksjon («hvis og bare hvis»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} )))}$;
• eksklusiv disjunksjon («enten–eller»), ${\displaystyle (\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))\mid ((\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )\mid \mathbf {B} ))}$;
• tilsvarende fungerer for de resterende sannhetsfunksjonene.