I krystallografi er en krystallografisk punktgruppe et sett med symmetrioperasjoner, som tilsvarer en av punktgruppene i tre dimensjoner, slik at hver operasjon (kanskje etterfulgt av en translasjon ) vil la strukturen til en krystall være uendret, dvs. de samme typene av atomer ville de bli plassert i lignende posisjoner som før transformasjonen. For eksempel, i mange krystaller i det kubiske systemet , er en rotasjon av enhetscellen med 90 ° rundt en akse vinkelrett på en av kubens flater en symmetrioperasjon som flytter hvert atom til posisjonen til et annet atom av samme type , og etterlater den generelle strukturen til krystallen uendret.
I klassifiseringen av krystaller definerer hver punktgruppe en såkalt (geometrisk) krystallklasse. Det er uendelige tredimensjonale punktgrupper, men den krystallografiske begrensningen på generelle punktgrupper betyr at det bare er 32 krystallografiske punktgrupper. Disse gruppene på 32 punkter er analoge med de 32 typene morfologiske (eksterne) krystallinske symmetrier hentet i 1830 av Johann Friedrich Christian Hessel fra en vurdering av de observerte krystallinske formene.
Punktgruppen til en krystall bestemmer blant annet retningsvariasjonen av de fysiske egenskapene som følger av strukturen, inkludert optiske egenskaper som dobbeltbrytning , eller elektrooptiske egenskaper som Pockels-effekten . For en periodisk krystall (i motsetning til en kvasikrystall ) må gruppen opprettholde den tredimensjonale translasjonssymmetrien som definerer krystallinitet.
Punktgrupper er navngitt basert på symmetriene til komponentene. Det er flere standardnotasjoner som brukes av krystallografer, mineraloger og fysikere .
For korrespondansen mellom de to underliggende systemene, se oppføringen krystallinsk system .
I Schoenflies-notasjon er poenggrupper indikert med et bokstavsymbol med et underskrift. Symbolene som brukes i krystallografi har følgende betydning:
På grunn av det krystallografiske restriksjonsteoremet kan vi ha n = 1, 2, 3, 4 eller 6 i det 2- eller 3-dimensjonale rommet.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
---|---|---|---|---|---|
C n | C 1 | C 2 | C 3 | C 4 | C 6 |
C nv | C1v = C1h _ _ | C 2v | C 3v | C 4v | C 6v |
C nh | C 1h | C 2h | C 3h | C 4h | C 6h |
D n | D 1 = C 2 | D 2 | D 3 | D 4 | D 6 |
D nh | D 1h = C 2v | D 2t | D 3t | D 4t | D 6t |
D nd | D Id = C 2h | D 2d | D 3d | D 4d | D 6d |
S 2n | S 2 | S 4 | S 6 | S 8 | S 12 |
og er faktisk forbudt fordi de inneholder upassende rotasjoner med henholdsvis n = 8 og 12. De 27 poenggruppene i tabellen pluss og utgjør 32 krystallografiske poenggrupper.
En forkortet form av Hermann - Mauguin-notasjonen, ofte brukt for romgrupper, tjener også til å beskrive krystallografiske punktgrupper. Navnene på gruppene er:
System | Gruppenavn | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kubisk | 23 | m 3 | 432 | 4 3m | m 3 m | |||
Sekskantet | 6 | 6 | 6 ⁄ m | 622 | 6 mm | 6 m2 | 6 / mmm | |
Trigonal | 3 | 3 | 32 | 3m | 3 m | |||
Tetragonal | 4 | 4 | 4 ⁄ m | 422 | 4 mm | 4 2m | 4 / mmm | |
Ortorhombisk | 222 | mm2 | mmm | |||||
Monoklinisk | 2 | 2 ⁄ m | m | |||||
Triklin | 1 | 1 | Relasjoner mellom undergruppene til de 32 krystallografiske punktgruppene (radene representerer grupperekkefølgene fra bunn til topp som: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 og 48.) |
Krystallinsk system | Hermann-Mauguin | Shubnikov [1] | Skoenfluer | Orbifold | Coxeter | Rekkefølge | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
(full) | (kort) | ||||||
Triklin | 1 | 1 | C 1 | 11 | [] + | 1 | |
1 | 1 | Ci = S 2 | × | [2 + , 2 + ] | 2 | ||
Monoklinisk | 2 | 2 | C 2 | 22 | [2] + | 2 | |
m | m | Cs = C1h _ | * | [] | 2 | ||
2/m | C 2h | 2* | [2.2 + ] | 4 | |||
Ortorhombisk | 222 | 222 | D 2 = V | 222 | [2.2] + | 4 | |
mm2 | mm2 | C 2v | * 22 | [2] | 4 | ||
mmm | D 2h = V h | * 222 | [2.2] | 8 | |||
Tetragonal | 4 | 4 | C 4 | 44 | [4] + | 4 | |
4 | 4 | S 4 | 2 × | [2 + , 4 + ] | 4 | ||
4 / m | C 4h | 4 * | [2,4 + ] | 8 | |||
422 | 422 | D 4 | 422 | [4.2] + | 8 | ||
4 mm | 4 mm | C 4v | * 44 | [4] | 8 | ||
4 2m | 4 2m | D 2d = V d | 2 * 2 | [2 + , 4] | 8 | ||
4 / mmm | D 4t | * 422 | [4.2] | 16 | |||
Trigonal | 3 | 3 | C 3 | 33 | [3] + | 3 | |
3 | 3 | C3i = S6 _ | 3 × | [2 + , 6 + ] | 6 | ||
32 | 32 | D 3 | 322 | [3.2] + | 6 | ||
3m | 3m | C 3v | * 33 | [3] | 6 | ||
3 | 3 m | D 3d | 2 * 3 | [2 + , 6] | 12 | ||
Sekskantet | 6 | 6 | C 6 | 66 | [6] + | 6 | |
6 | 6 | C 3h | 3 * | [2,3 + ] | 6 | ||
6 / m | C 6h | 6 * | [2,6 + ] | 12 | |||
622 | 622 | D 6 | 622 | [6.2] + | 12 | ||
6 mm | 6 mm | C 6v | * 66 | [6] | 12 | ||
6 m2 | 6 m2 | D 3t | * 322 | [3.2] | 12 | ||
6 / mmm | D 6t | * 622 | [6.2] | 24 | |||
Kubisk | 23 | 23 | T. | 332 | [3.3] + | 12 | |
3 | m 3 | T h | 3 * 2 | [3 + , 4] | 24 | ||
432 | 432 | ELLER | 432 | [4.3] + | 24 | ||
4 3m | 4 3m | T d | * 332 | [3.3] | 24 | ||
3 | m 3 m | Å h | * 432 | [4.3] | 48 |
Mange av de krystallografiske punktgruppene deler den samme interne strukturen. For eksempel inneholder punktgruppene 1 , 2 og m forskjellige geometriske symmetrioperasjoner (henholdsvis inversjon, rotasjon og refleksjon), men de deler alle strukturen til den sykliske gruppen . Alle isomorfe grupper er av samme orden, men ikke alle grupper av samme orden er isomorfe. Punktgrupper som er isomorfe er vist i følgende tabell: [2]
Hermann-Mauguin | Skoenfluer | jeg bestiller | Lite gruppebord | |
---|---|---|---|---|
1 | C 1 | 1 | C 1 | |
1 | Ci = S 2 | 2 | C 2 | |
2 | C 2 | 2 | ||
m | Cs = C1h _ | 2 | ||
3 | C 3 | 3 | C 3 | |
4 | C 4 | 4 | C 4 | |
4 | S 4 | 4 | ||
2/m | C 2h | 4 | D 2 = C 2 × C 2 | |
222 | D 2 = V | 4 | ||
mm2 | C 2v | 4 | ||
3 | C3i = S6 _ | 6 | C 6 | |
6 | C 6 | 6 | ||
6 | C 3h | 6 | ||
32 | D 3 | 6 | D 3 | |
3m | C 3v | 6 | ||
mmm | D 2h = V h | 8 | D 2 × C 2 | |
4 / m | C 4h | 8 | C 4 × C 2 | |
422 | D 4 | 8 | D 4 | |
4 mm | C 4v | 8 | ||
4 2m | D 2d = V d | 8 | ||
6 / m | C 6h | 12 | C 6 × C 2 | |
23 | T. | 12 | A 4 | |
3 m | D 3d | 12 | D 6 | |
622 | D 6 | 12 | ||
6 mm | C 6v | 12 | ||
6 m2 | D 3t | 12 | ||
4 / mmm | D 4t | 16 | D 4 × C 2 | |
6 / mmm | D 6t | 24 | D 6 × C 2 | |
m 3 | T h | 24 | A 4 × C 2 | |
432 | ELLER | 24 | S 4 | |
4 3m | T d | 24 | ||
m 3 m | Å h | 48 | S 4 × C 2 |
Denne tabellen bruker de sykliske gruppene , de dihedrale gruppene , en av de alternerende gruppene og en av de symmetriske gruppene . Her indikerer "×"-symbolet et direkte produkt .