Riemann-Roch-teorem



Internett er en uuttømmelig kilde til kunnskap, også når det gjelder Riemann-Roch-teorem. Århundrer og århundrer med menneskelig kunnskap om Riemann-Roch-teorem har blitt strømmet inn i nettverket, og fortsetter å bli strømmet ut, og det er nettopp derfor det er så vanskelig å få tilgang til det, siden vi kan finne steder hvor navigering kan være vanskelig eller direkte upraktisk. Vårt forslag er at du ikke blir forliste i et hav av data som refererer til Riemann-Roch-teorem og at du kan nå alle visdomshavnene raskt og effektivt.

Med sikte på det målet har vi gjort noe som går utover det åpenbare, ved å samle inn den mest oppdaterte og best forklarte informasjonen om Riemann-Roch-teorem. Vi har også ordnet den på en slik måte at lesingen er fornøyelig, med et minimalistisk og behagelig design, som sikrer den beste brukeropplevelsen og kortest lastetid.Vi gjør det enkelt for deg slik at du bare trenger å bekymre deg for å lære alt om Riemann-Roch-teorem! Så hvis du tror vi har oppnådd formålet vårt og du allerede vet hva du ville vite om Riemann-Roch-teorem, vil vi gjerne ha deg tilbake på disse rolige sjøene i sapientiano.com hver gang din hunger etter kunnskap vekkes igjen.

Den Riemann-Roch-teoremet (etter matematikeren Bernhard Riemann og hans student Gustav Roch ) er en sentral uttalelse av teorien om kompakte Riemann overflater . Det indikerer hvor mange lineært uavhengige meromorfe funksjoner med gitte nuller og poler som finnes på en kompakt Riemann-overflate. Teoremet ble senere utvidet til algebraiske kurver , generalisert enda lenger, og blir fortsatt videreutviklet i dagens forskning.

divisor

For å kunne foreskrive null- og polposisjoner for en funksjon på bestemte punkter, introduseres begrepet divisor . La være en Riemann-overflate. En funksjon kalles en divisor hvis den bare skiller seg fra null på isolerte punkter .

Deleren til en meromorf funksjon er betegnet med og er definert på en slik måte at null- eller polrekkefølgen på er tildelt hvert punkt :

Dermed er divisoren til en funksjon faktisk en divisor i henhold til den første definisjonen, hvis funksjonen er forskjellig fra nullfunksjonen på hver tilkoblet komponent . For en meromorf 1-form på divisoren er definert som for en funksjon. En divisor kalles en kanonisk divisor hvis den kan skrives som en divisor av en meromorf 1-form , dvs. hvis .

For et kompakt Riemann-område, defineres graden av en divisor av . Summen er endelig, fordi på grunn av kompaktiteten til bæreren fra isolerte punkter, må det være et endelig sett.

Uttalelse om Riemannian overflater

La være en kompakt Riemann-overflate av topologisk kjønn og en divisor . Deretter:

er en hvilken som helst kanonisk splitter på . betegner for en divisor dimensjonen av vektorrommet av de meromorphic funksjonene til hvis null og pole stillinger er begrenset av divisoren som følger:

Uttalelse om algebraiske kurver

For ikke-entallige prosjektive algebraiske kurver over et algebraisk lukket felt , formuleres vanligvis Riemann-Roch-teoremet ved hjelp av kohomologiteorien .

Den lyder da:

er skiven av vanlige funksjoner på . I stedet for det topologiske kjønnet oppstår kurvens aritmetiske kjønn, som i tilfelle sammenfaller med det topologiske kjønnet . Den tosidigheten teorem av Serre sier at preparatet i det tilfellet med som samsvarer med seksjonen på Riemannske overflater.

Konsekvenser

  • Som et første klassifiseringsresultat følger det umiddelbart at hver Riemann-overflate er isomorf fra kjønn til Riemann-sfæren , så spesielt bare en holomorf struktur kan defineres på sfæren . For ikke-entallige prosjektive kurver av kjønn gjelder det tilsvarende at de er birasjonalt likeverdige .
  • Den Riemann-Hurwitz formel om kartlegging oppførselen til holomorfe funksjoner mellom to kompakte Riemann flater eller om kartlegging oppførselen til morphisms mellom to ikke-singulære projektive kurver.
  • Et innebygd teorem: Hver kompakte Riemann-overflate eller enhver ikke-enestående prosjektiv kurve kan legges inn i det projiserende rommet .

Ytterligere generaliseringer

litteratur

Opiniones de nuestros usuarios

Endre Solvang

Det er alltid godt å lære. Takk for artikkelen om Riemann-Roch-teorem.

Willy Lien

Denne artikkelen om Riemann-Roch-teorem har fanget oppmerksomheten min, jeg synes det er nysgjerrig på hvor godt målte ordene er, det er liksom...elegant.

Jens Myrvang

Jeg liker siden, og artikkelen om Riemann-Roch-teorem er den jeg lette etter.

Malin Olaussen

Denne oppføringen på Riemann-Roch-teorem har fått meg til å vinne et veddemål, som mindre enn gir det en god poengsum.

Mari Meyer

Oppføringen på Riemann-Roch-teorem har vært veldig nyttig for meg.