Vektorregning

Vektorregning er en av de mest grunnleggende og viktige delene av matematikk. Det er et område som i stor grad brukes innenfor fysikk og ingeniørvitenskap, og det gir oss verktøy til å løse en rekke problemer innenfor disse fagene. I denne artikkelen vil vi se nærmere på hva vektorer er, hvordan de kan beskrives og hvordan vi kan utføre grunnleggende operasjoner med dem.

Hva er en vektor?

En vektor er en matematisk representasjon av et objekts størrelse og retning. Den består av en rekke tall som gir informasjon om størrelsen, eller lengden, av vektoren, og retningen som den peker mot. Vi kan for eksempel bruke en vektor til å beskrive bevegelsen til et objekt i rommet.

En vektor kan representere hva som helst fra en bevegelsesvektor i to dimensjoner til et kraftfelt i tre dimensjoner. Vektoren kan beskrives ved hjelp av koordinatene i et koordinatsystem, eller ved hjelp av symboler og matematisk notasjon.

Vektorer kan legges sammen og trekkes fra hverandre, og vi kan multiplisere dem med tall for å skalere størrelsen. For å utføre disse operasjonene, må vi først vite hvordan vi beskriver vektoren.

Beskrivelse av en vektor

En vektor kan beskrives på to forskjellige måter: med punkt-til-punktkoordinater eller med en matematisk notasjon. La oss først se på hvordan vi bruker punkt-til-punktkoordinater til å beskrive en vektor.

Anta at vi har to punkter, A og B, i et koordinatsystem, og vi ønsker å finne vektoren mellom disse to punktene. For å gjøre dette, trekker vi fra B-koordinatene fra A-koordinatene på samme akse for å finne vektorens «x»-komponent. Dette gjentas for alle aksene, og så skriver vi disse tallene i en kolonne- eller radform kalt vektorens komponenter. Vektoren mellom punktene A og B vil da se slik ut:

AB = [ xB - xA, yB – yA, zB – zA]

Dette kalles for en vektor i komponentform.

Vi kan også beskrive en vektor med en matematisk notasjon, ved hjelp av symboler og tall. Anta at vi har en vektor v som er parallell med aksen x, og har en lengde på 4. Vi kan representere vektoren v ved bruk av notasjonen:

v = 4i

Hvor i representerer enhetsvektoren i aksen x, med en lengde på 1. En enhetsvektor er en vektor med lengde 1, og den representerer retningen til en akse eller en vektor.

Grundleggende operasjoner

For å legge sammen to vektorer, legges de tilsvarende komponentene sammen. Vi kan beskrive dette ved hjelp av en matematisk notasjon:

u + v = (u1 + v1)i + (u2 + v2)j + (u3 + v3)k

Her representerer u og v vektorene som skal legges sammen. Dette gir oss en ny vektor som er summen av vektorene.

For å trekke to vektorer fra hverandre bruker vi samme metode som når vi legger sammen vektorene. Vi trekker bare den andre vektorens komponenter fra førstnevnte.

For å multiplisere en vektor med et tall, kan vi gange hvert element i vektoren med tallet. Dette skalerer vektoren uten å endre retningen. Vi kan beskrive dette ved hjelp av notasjonen:

cv = c(v1)i + c(v2)j + c(v3)k

Her representerer c tallet som skal multipliseres med vektoren.

Konklusjon

Vektorregning er en viktig og nyttig del av matematikken som er viktig for ingeniører og fysikere. En vektor kan beskrives på to forskjellige måter: med punkt-til-punkt-koordinater eller med en matematisk notasjon. De grunnleggende operasjonene som vi kan utføre med vektorer inkluderer sammensetning av vektorer, trekking av vektorer og skalering av vektorer. Det er viktig å ha en god forståelse av disse operasjonene, da de kan brukes til å løse en rekke problemer innenfor fysikk og ingeniørvitenskap.