Enheter (matematikk)

I matematikk refererer begrepet enhet til forskjellige objekter og får en rekke betydninger; alle kan imidlertid referere til forskjellige egenskaper til nummer én .

En første gruppe av betydninger er relatert til de algebraiske egenskapene til 1, som er det nøytrale elementet i multiplikasjon og ett av de to heltallene med en invers (det andre er -1). En andre gruppe betydninger avhenger i stedet av noen egenskaper ved tallet 1, som også har en enhetlig verdi (for eksempel er den absolutte verdien av 1 1). Til slutt brukes begrepet enhet også for å indikere genereringselementene til visse sett eller matematiske strukturer .

Algebra

Gruppeteori

I en gruppe indikerer begrepet enhet det nøytrale elementet i multiplikasjon, på modellen av tallet i multiplikasjonen mellom heltall, rasjonelle eller reelle tall . På samme måte kalles den kvadratiske matrisen som dannes av alle på hoveddiagonalen, og alle andre steder , enhetsmatrise ; denne matrisen er det nøytrale elementet i den multiplikative gruppen av matriser . $1$ $1$ ${\ displaystyle 0}$ $n \ ganger n$

Ringteori

I ringen av heltall , og de er de eneste elementene med gjensidig . I ringteori er en enhet (hvor den ubestemte artikkelen skal noteres) et element med en invers med hensyn til multiplikasjon. Det skal bemerkes at siden en ring også er en gruppe, kan begrepet enhet også referere til det nøytrale elementet i multiplikasjon (som, når det eksisterer, også er enhet i betydningen et inverterbart element), og genererer en mulig tvetydighet i nomenklaturen, vanligvis lett løselig fra konteksten, siden når det refereres til sistnevnte, brukes den bestemte artikkelen. $\ mathbb {Z}$ $1$ $-1$

Settet med enheter av en ring danner den multiplikative gruppen til ringen, som er skrevet . Hvis ringen er enhetlig, dannes den multiplikative gruppen i det minste av det nøytrale elementet i multiplikasjonen; hvis ringen er en kropp , består dens multiplikasjonsgruppe av alle elementene unntatt null. $TIL$ ${\ displaystyle A ^ {\ star}}$

Tabellen nedenfor viser de multiplikative gruppene til noen ringer.

Multiplikative grupper av noen ringer

Ringe	Multiplikativ gruppe
ring av heltall $\ mathbb {Z}$	${\ displaystyle \ venstre \ {- 1,1 \ høyre \}}$
${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ venstre \ {0,1 \ høyre \}}$	${\ displaystyle \ left \ {1 \ right \}}$
${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} = {\ frac {\ mathbb {Z}} {n \ mathbb {Z}}}}$	${\ displaystyle \ venstre \ {k \ i \ mathbb {Z}: \, {\ mbox {MCD}} (k, n) = 1 \ høyre \}}$
polynomring ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ venstre \ {0 \ høyre \}}$
rasjonelle felt $\ mathbb {Q}$	${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ setminus \ left \ {0 \ right \}}$

Enhetsvektor

Hvis vi betrakter som et vektorrom normert til én dimensjon , er de eneste elementene som har modul lik én og . I et generisk normert vektorrom kalles vektorer med modul lik 1 enhetsvektorer eller vektorvektorer . Settet med enhetsvektorer i det dimensjonale vektorrommet danner den enhetlige hypersfæren av dimensjon . $\ mathbb {R}$ $1$ $-1$ $n$ $n - 1$

Den karakteristiske egenskapen til versors gjør dem nyttige for å indikere en bestemt retning og retning i rommet; de viktigste versorene er de som er knyttet til de kartesiske aksene , som utgjør en ortonormal basis for rommet de bor i; hvis de er uttrykt i grunnlaget dannet av dem selv, er komponentene deres alle null, bortsett fra de som tilsvarer retningen deres, som er 1:

{\ displaystyle {\ hat {e}} _ {i} = \ venstre (\ delta _ {ij} \ høyre) = \ venstre \ {{\ begynne {matrise} 1 og {\ mbox {se}} i = j \ \ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrise}} \ høyre.}

Analyse

Imaginær enhet

I matematisk analyse er den imaginære enheten , betegnet med eller tallet som brukes som en generator av imaginære tall, definert som kvadratrøttene til negative tall . Vanligvis er det definert som en av løsningene av ligningen (uten løsninger i riket av reelle tall): $de$ $j$

{\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}

Det skal bemerkes at gitt en løsning , utgjør det motsatte en annen gyldig løsning. Valget av den ene eller den andre roten for å representere den imaginære enheten er helt ekvivalent. Definert , er det mulig å få kvadratroten av et hvilket som helst negativt tall: $de$ $-de$ $de$

{\ displaystyle {\ sqrt {-a}} = {\ sqrt {(-1) \ cdot a}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {a}} = i {\ sqrt {a}} , \ qquad a> 0}

Et imaginært tall er definert som produktet av et reelt tall og den imaginære enheten; på samme måte er hvert reelt tall et produkt av seg selv ved den virkelige enheten . $1$

Røtter til enhet

I domenet til reelle tall, ligningen

{\ displaystyle x ^ {n} = 1}

den har bare roten hvis den er oddetall, og roten hvis den er partall. Hvis vi utvider domenet til variabelen til komplekse tall , har den samme ligningen i stedet distinkte røtter, kalt n-te enhetsrøtter . Slike røtter i det komplekse planet tilsvarer toppunktene til en vanlig n-agon , og danner en syklisk gruppe med multiplikasjonsoperasjonen. $x = 1$ $n$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ $n$ $n$

Eisenstein-enhet

Eisenstein-enhetene er enhetene til Eisenstein-ringen av heltall , som er dannet av komplekse tall av typen:

{\ displaystyle z = a + \ omega b}

hvor er det

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} \ venstre (-1 + i {\ sqrt {3}} \ høyre)}

det er en av kuberøttene til enhet. Eisenstein-enhetene er de seks sjette røttene til enhet, og danner igjen en syklisk gruppe:

{\ displaystyle \ venstre \ {\ pm 1, \ pm \ omega, \ pm \ omega ^ {2} \ høyre \}}

Aritmetikk

I aritmetikk er en enhet definert som sifferet lengst til høyre som brukes til å representere et heltall. I posisjonsnummerering har hvert siffer som brukes i representasjonen av et tall en forskjellig verdi avhengig av posisjonen det opptar, oppnådd ved å multiplisere sifferet med en passende koeffisient; for eksempel skal tallet 5434 i base 10 forstås som:

{\ displaystyle 5434 = 5 \ ganger 1000 + 4 \ ganger 100 + 3 \ ganger 10 + 4 \ ganger 1}

Verdien av enhetstallet fås ved å multiplisere med koeffisienten 1, som lar det opprinnelige tallet være uendret.