Tallteori

Tradisjonelt er tallteori den grenen av ren matematikk som omhandler egenskapene til heltall og inneholder mange åpne problemer hvis formulering kan forstås selv av de som ikke er matematikere. Mer generelt har emnet kommet til å håndtere en bredere klasse av problemer som naturlig har oppstått fra studiet av heltall.

Tallteori kan deles inn i ulike felt avhengig av metodene som brukes og problemstillingene som studeres.

Begrepet " aritmetikk " brukes også for å referere til tallteori. Dette begrepet er ganske gammelt og er ikke lenger så populært som det en gang var. Imidlertid forblir begrepet utbredt, for eksempel i navnet til matematiske "felt" (aritmetisk algebraisk geometri og aritmetikken til elliptiske kurver og overflater). Denne betydningen av ordet aritmetikk må ikke forveksles med grenen av logikk som studerer aritmetikk som et formelt system.

Grener og kjennetegn ved tallteori

I elementær tallteori studeres heltall uten bruk av teknikker fra andre områder av matematikken. Denne delen inkluderer spørsmålene om delbarhet , Euklids algoritme for å beregne den største felles divisor , faktorisering av heltall til primtall , studiet av perfekte tall og kongruenser . Typiske påstander er Fermats lille teorem og Eulers teorem (som er en generalisering av den), den kinesiske restsetningen og den kvadratiske gjensidighetsloven . Egenskapene til multiplikative funksjoner som Möbius -funksjonen og Euler-funksjonen φ blir undersøkt ; samt sekvenser av heltall som faktorialer og Fibonacci-tall .

Mange problemer i elementær tallteori er usedvanlig dype og krever for tiden nye ideer. Eksempler er:

Analytisk tallteori utnytter mekanismene til infinitesimalregning og kompleks analyse for å takle problemer på heltall. Noen eksempler er primtallsteoremet og den relaterte Riemann-hypotesen . Problemer med elementær tallteori som Warings problem (representerer et gitt tall som summen av kvadrater, terninger osv.), tvillingprimformodningen og Goldbachs formodning blir også angrepet med analytiske metoder. Bevis på transcendens av matematiske konstanter, slik som π eller e , er også klassifisert i analytisk tallteori. Selv om utsagnene om transcendente tall ikke ser ut til å angå heltall, undersøker de faktisk muligheten for at visse tall blir representert som røtter til et polynom med heltallskoeffisienter; transcendente tall er også nært knyttet til den diofantiske tilnærmingen , som studerer nøyaktigheten som et gitt reelt tall kan tilnærmes med et rasjonelt tall .

I algebraisk tallteori er begrepet tall generalisert til det for algebraisk tall som er roten til et polynom med heltallskoeffisienter. Disse domenene inneholder elementer som er analoge med heltall, kalt algebraiske heltall . I dette miljøet er det mulig at de kjente egenskapene til heltall (som det unike med faktoriseringen) ikke lenger er verifisert. Styrken til verktøyene som brukes - Galois-teori , feltkohomologi , klassefeltteori , grupperepresentasjoner og L-funksjoner - er å tillate (i det minste delvis) å gjenopprette rekkefølgen for denne nye klassen av tall.

Mange tallteoretiske problemer angripes lettere ved å studere dem modulo p for alle primtall p (se endelige felt ). Denne metoden kalles lokalisering og fører til konstruksjon av p-adiske tall ; dette studieretningen kalles lokal analyse og oppstår fra algebraisk tallteori.

Geometrisk tallteori omfatter alle former for geometri. Det begynner med Minkowskis teorem om gitterpunkter i konvekse sett og studiet av pakking av kuler . Algebraisk geometri brukes også ofte , spesielt teorien om elliptiske kurver . Fermats berømte siste teorem ble bevist ved hjelp av disse teknikkene.

Til slutt studerer beregningsbasert tallteori viktige algoritmer innen tallteori. Effektive algoritmer for primalitetsverifisering og heltallsfaktorisering har viktige anvendelser innen kryptografi .

Tallteoriens historie

Tallteori , et favorittemne blant de gamle grekerne, så sin gjenopplivning på det sekstende og syttende århundre i verkene til Viète , Bachet de Méziriac og spesielt Pierre de Fermat . På det attende århundre ga Euler og Lagrange viktige bidrag til teorien, og på slutten begynte disiplinen å få en vitenskapelig form takket være de store verkene til Legendre (1798) og Gauss (1801). Med Gauss' Disquisitiones Arithmeticae (1801) kan den moderne tallteorien sies å ha begynt.

Chebyshev (1850) ga nyttige marginer for antall primtal mellom to grenser. Riemann (1859) antok en forbedret asymptotisk formel for primtallsteoremet , introduserte kompleks analyse i Riemanns zetafunksjonsteori , og utledet de eksplisitte formlene for primtallsteorien fra nullene .

Teorien om kongruenser kan spores tilbake til Gauss' Disquisitiones . Han introduserte notasjonen:

og utforsket det meste. I 1847 publiserte Chebyshev et verk på russisk om emnet, som ble popularisert i Frankrike av Serret .

I tillegg til å oppsummere det forrige arbeidet, forkynte Legendre loven om kvadratisk gjensidighet . Denne loven, oppdaget ved matematisk induksjon og forkynt av Euler, ble først bevist av Legendre i hans Théorie des Nombres ( 1798 ), men bare for spesielle tilfeller. Uavhengig av Euler og Legendre, oppdaget Gauss loven rundt 1795 , og var den første som ga et generelt bevis. Andre fremtredende personligheter som bidro til emnet er: Cauchy ; Dirichlet , som Vorlesungen über Zahlentheorie ( Leksjoner i tallteori ) er en klassiker av; Jacobi , som introduserte Jacobi-symbolet ; Liouville , Eisenstein , Kummer og Kronecker . Teorien er generalisert til å inkludere den kubiske og biquadratiske gjensidighetsloven (Gauss, Jacobi, Kummer).

Representasjonen av heltall i kvadratiske former skyldes også Gauss . Cauchy, Poinsot ( 1845 ), Lebesgue (?) ( 1859 , 1868 ), og spesielt Hermite bidro til emnet. Teorien om ternære former ble studert av Eisenstein, og han og HJS Smith skyldte bemerkelsesverdige fremskritt i formteorien generelt. Smith ga en fullstendig klassifisering av kvadratiske ternære former, og utvidet Gauss forskning på ekte kvadratiske former til komplekse former. Studier angående representasjon av tall som summen av 4, 5, 6, 7, 8 kvadrater ble utført av Eisenstein og teorien ble fullført av Smith.

Dirichlet var den første som foreleste om emnet ved et tysk universitet. Blant hans bidrag er utvidelsen av Fermats siste teorem , som Euler og Legendre hadde løst for ; Dirichlet beviste det . Blant de siste franske forfatterne er Borel ; Poincaré , hvis minner er mange og viktige; Garveri og Stieltjes . Blant de mest eminente personlighetene i Tyskland er Kronecker, Kummer, Schering , Bachmann og Richard Dedekind . I Østerrike er verket Vorlesungen über allgemeine Arithmetik av Stolz ( 1885 - 86 ), og i England Theory of Numbers (Del I, 1892 ) av Mathews blant de mest komplette verkene. Genocchi , Sylvester og Glaisher ga andre bidrag til teorien.

Den engelske matematikeren GH Hardy var en av de mest lidenskapelige talsmennene for tallteori, og viet mye av livet sitt til det.

Bibliografi

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker