Analytisk tallteori

Analytisk tallteori er et område innen tallteori som bruker metoder for matematisk analyse .

Hans første store suksess, på grunn av Dirichlet , var bruken av analyse for å bevise eksistensen av uendelige primtall i enhver aritmetisk progresjon . En annen milepæl var beviset for primtallsteoremet basert på Riemann zeta-funksjonen .

I tillegg til Dirichlet var de ledende matematikerne som bidro til utviklingen av analytisk tallteori

Den konseptuelle organiseringen av materie forblir lik den i de gylne tidene på 1930-tallet . Multiplikativ tallteori omhandler fordelingen av primtall , og bruker Dirichlet-rekker som genererende funksjoner. Det antas at metodene en dag vil bli brukt på den generelle funksjonen L , selv om denne teorien i stor grad er antatt. Noen typiske problemer tilhører additiv tallteori som Goldbachs formodning og Warings problem .

Metodene har endret seg noe. Hardy og Littlewoods sirkelmetode ble designet for å gjelde potensserier nær enhetssirkelen i det komplekse planet ; nå tenkes det i stedet i form av endelige eksponentielle summer (dvs. på enhetssirkelen, men med potensserien avkortet). Den diofantiske tilnærmingsmetoden er nødvendig for hjelpefunksjoner som ikke genererer funksjoner - koeffisientene er konstruert ved hjelp av skuffprinsippet - og involverer flere komplekse variabler. Studiet av diofantiske tilnærminger og teorien om transcendens har utviklet seg i en slik grad at disse teknikkene har blitt brukt på Mordells formodning .

Den største enkeltendringen etter 1950 var utviklingen av silmetoden som et hjelpeverktøy, spesielt i multiplikative problemer. Disse problemene er kombinatoriske og svært varierte. Mye sitert er også bruken av probabilistisk tallteori - påstander om formen på den tilfeldige fordelingen av primtall, for eksempel. Et ytterpunkt av denne grenen av kombinatorikk har følgelig blitt sterkt påvirket av verdien som i analytisk tallteori tilskrives de (ofte separate) øvre og nedre kvantitative grenser.

Sirkelmetode

Hovedmetoden for analytisk tallteori for å studere additive problemer er sirkelmetoden introdusert på 1920-tallet av matematikerne Hardy og Littlewood . Operasjonen til sirkelmetoden er som følger: du vil finne en formel for antall løsninger av ligningen

med

hvor er et uendelig sett med heltall. Vi vurderer genereringsfunksjonen til

og den er hevet til den th makt. For Cauchy-produktet oppnås det

hvor er det

Sistnevnte er nettopp uttrykket for antall løsninger for summen av elementer av. Ved hjelp av Cauchy-setningen får vi

hvor integralet strakte seg til omkretsen med sentrum ved opprinnelsen til det komplekse planet og radius mindre enn 1. Denne metoden ble senere forenklet av Vinogradov med bruk av den komplekse eksponentialfunksjonen definert som

Denne funksjonen er ortogonal i intervallet :

Relaterte elementer

Eksterne lenker