Primtallsteorem

I tallteori beskriver primtallsteoremet den asymptotiske fordelingen av primtall , og gir en grov beskrivelse av hvordan primtall er fordelt.

Uttalelse

For hvert positivt reelt tall x , definer funksjonen:

Primtallssetningen sier at:

hvor ln ( x ) er den naturlige logaritmen til x . Denne notasjonen betyr bare at grensen for kvotienten til de to funksjonene π ( x ) og x / ln ( x ) for x som har en tendens til uendelig er 1 (se asymptotisk estimering ); dette betyr ikke at grensen for forskjellen mellom de to funksjonene, for x som har en tendens til uendelig, er 0.

En enda bedre tilnærming, og et estimat for feilleddet, er gitt av formelen:

der den store O-notasjonen ble brukt , og Li( x ) angir integrallogaritmefunksjonen .

Som en konsekvens av primtallsteoremet kan vi få et asymptotisk uttrykk for det n -te primtallet p ( n ):

Tilsvarende er forskjellen mellom den n -te primtall og den neste asymptotisk til:

Følgende er en tabell som sammenligner de tre funksjonene π ( x ), x / ln ( x ) og Li ( x ).

x π ( x ) π ( x ) - x / ln x π ( x ) / ( x / ln x ) Li ( x ) - π ( x ) π ( x ) / Li ( x ) x / π ( x )
10 4 −0,3 0,921 2.2 0,64516129 2500
10 2 25 3.3 1.151 5.1 0,830564784 4000
10 3 168 23 1,161 10 0,943820225 5.952
10 4 1 229 143 1,132 17 0,98635634 8,137
10 5 9 592 906 1,104 38 0,996053998 10.425
10 6 78 498 6 116 1.084 130 0,998346645 12.740
10 7 664 579 44 158 1,071 339 0,999490163 15.047
10 8 5 761 455 332 774 1,061 754 0,999869147 17.357
10 9 50 847 534 2 592 592 1.054 1.701 0,999966548 19.667
10 10 455 052 511 20 758 029 1.048 3 104 0,999993179 21.975
10 11 4 118 054 813 169 923 159 1.043 11 588 0,999993179 24.283
10 12 37 607 912 018 1 416 705 193 1.039 38 263 0,999997186 26.590
10 13 346 065 536 839 11 992 858 452 1.034 108 971 0,999998983 28.896
10 14 3 204 941 750 802 102 838 308 636 1.033 314 890 0,999999685 31.202
10 15 29 844 570 422 669 891 604 962 452 1.031 1 052 619 0,999999902 33.507
10 16 279 238 341 033 925 7 804 289 844 393 1,029 3 214 632 0,999999965 35.812
10 17 2 623 557 157 654 233 68 883 734 693 281 1,027 7 956 589 0,999999988 38.116
10 18 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536 1,025 21 949 555 0,999999997 40.420
10 19 234 057 667 276 344 600 5 481 624 169 369 960 1,024 99 877 775 0,999999999 42.725
10 20 2 220 819 602 560 918 800 49 347 193 044 659 704 1,023 222 744 644 1.000000000 45.028
10 21 21 127 269 486 018 730 000 446 579 871 578 168 700 1.022 597 394 254 1.000000000 47.332
10 22 201 467 286 689 315 900 000 4 060 704 006 019 621 000 1,021 1 932 355 208 1.000000000 49.636
10 23 1 925 320 391 606 818 000 000 37 083 513 766 592 670 000 1,020 7 236 148 412 1.000000000 51.939

Historien til teoremet

Denne teoremet ble først antatt av Legendre i 1798 og ble foreslått på nytt noen år senere av Gauss i tilsvarende form

Det første resultatet i retning av å bevise denne formodningen ble bevist av Chebyshev som i 1848 viste at hvis π ( x ) ln ( x ) / x konvergerer til en grense for x som tenderer mot uendelig, må grensen være 1. To år senere Chebyshev selv bevist at det er to konstanter 0 < a <1 < b slik at

for x tilstrekkelig stor. Bevisene til den russiske matematikeren er basert på Eulers produktformel som sier det

for x > 1. I 1859 publiserte den tyske matematikeren Bernhard Riemann en artikkel der han vurderte dette produktet ikke lenger for en reell variabel x , men for en kompleks variabel s med en reell del større enn 1, og definerte dermed funksjonen

som har blitt kjent som Riemann zeta-funksjonen . Selv om Riemann ikke klarer å bevise primtallsteoremet, vil resultatene han oppnår, slik som funksjonsligningen for Riemann zeta-funksjonen, og det nye synspunktet han introduserer være grunnleggende for det etterfølgende beviset. Omtrent førti år etter Riemanns arbeid, i 1896 , lyktes Hadamard og de la Vallée Poussin uavhengig av hverandre i å bevise primtallsteoremet. Begge bevisene bruker komplekse analysemetoder og er hovedsakelig basert på beviset for at Riemann zeta-funksjonen ikke har nuller på linjen Re ( s ) = 1.

Koblingen mellom primtallsteoremet og Riemann zeta-funksjonen er veldig dyp. Mer presist, ethvert resultat på fravær av nuller i stripen 1/2 <Re (s) <1, har som en konsekvens resultater på godheten av tilnærmingen til π ( x ) med li (x). Et eksempel på dette er resultatet som Helge von Koch demonstrerte i 1901 . Faktisk beviste han at hvis det ikke er nuller i den stripen, da

[1]

Sannheten til Riemann-hypotesen innebærer med andre ord et mye bedre estimat av feilen som er tilstede i primtallsteoremet enn de som er tilgjengelige for øyeblikket, og fundamentalt sett også det best mulige estimatet.

Problemet med 'dybde'

Såkalte "elementære bevis" av teoremet er tilgjengelige, dvs. bevis som ikke bruker komplekse analysemetoder . Den første av disse ble delvis levert uavhengig av Paul Erdős og Atle Selberg i 1949 ; tidligere hadde noen eksperter på området ment at man ikke kunne finne et lignende bevis. Med andre ord ble det uttalt, spesielt av GH Hardy , at kompleks analyse nødvendigvis var involvert i teoremet, noe som førte til konseptet dybde av teoremer. Metoder med kun reelle variabler ble ansett som utilstrekkelige. Dette var ikke et logisk og strengt konsept (og det kan faktisk ikke være det), men var snarere basert på synet om at det må være et lignende hierarki av teknikker (av estetiske grunner , antagelig, i Hardys tilfelle). Formuleringen av denne troen ble ganske rystet av et bevis på teoremet basert på Wieners Tauberian-teorem , selv om dette kan omgås ved å tilordne den samme "dybden" som tilsvarer komplekse metoder til Wiener-teoremet.

Selberg - Erdős' arbeid brakte effektivt hele konseptet i spill, og viste at de teknisk elementære metodene (med andre ord kombinatorikk ) var mer skarpe enn man hadde forventet. Senere utviklinger innen silmetoder har vist at de spiller en veldefinert rolle i primtallsteori.

Merknader

  1. ^ I dette tilfellet er omvendt også sant, det vil si at hvis denne ligningen er sann, er Riemann-hypotesen også sann.

Bibliografi

Eksterne lenker