Undergruppe
En undergruppe H av en gruppe G er en undergruppe hvis det er en gruppe med operasjonen definert i G.
Hver gruppe G inneholder minst to undergrupper: selve gruppen G , og den trivielle undergruppen kun dannet av det nøytrale elementet til G (selvfølgelig er disse sammenfallende hvis den bare har ett element).
En undergruppe sies nøyaktig hvis H er en riktig delmengde av G.
Egenskaper for undergrupper
I det følgende, både en gruppe med hensyn til operasjonen , og være invers av .
Alternative definisjoner
H er en undergruppe av G hvis og bare hvis den ikke er tom, og er lukket med hensyn til produktet og invers. Med andre ord:
- for alle a og b i H , er deres produkt fortsatt i H ;
- for hver a i H er det inverse fortsatt i H.
Alternativt kan vi be om at:
- for alle a og b i H er produktet fortsatt i H.
Hvis H er endelig, er den en undergruppe hvis og bare hvis den ikke er tom, og lukket med hensyn til produktet.
Kryss og generatorer
Skjæringspunktet mellom to undergrupper H og H ' er fortsatt en undergruppe av G. På den annen side er settforeningen av to undergrupper en undergruppe hvis og bare hvis en av de to undergruppene inneholder den andre.
Hvis S er en undergruppe av G , eksisterer det en mindre undergruppe av de som inneholder S , som er betegnet med < S > og kalt undergruppen generert av S. Et element av G er i < S > hvis og bare hvis det er produktet av et endelig antall elementer av S eller deres invers.
Hvert element a genererer derfor en syklisk undergruppe <a> . Hvis <a> er isomorf til Z / n Z for et positivt heltall n , så er n det minste naturlige hvor a n = e , og n er rekkefølgen til a . Hvis <a> er isomorf til Z , har a uendelig rekkefølge .
Undergrupper danner et komplett gitter med inkludering.
Bevarte egenskaper
- En undergruppe av en endelig gruppe er endelig.
- En undergruppe av en abelsk gruppe er abelsk.
- En undergruppe av en syklisk gruppe er syklisk.
Eksempler
La G være den abelske gruppen hvis elementer er
G = {0,2,4,6,1,3,5,7}og hvis operasjon er addisjon modulo 8 , oppsummert i følgende sammensetningstabell .
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Denne gruppen har to ikke-trivielle undergrupper: J = {0,4} og H = {0,2,4,6} , hvor J også er en undergruppe av H.
Laterale klasser og Lagranges teorem
La H være en undergruppe av G. Rapporten om G
er en ekvivalensrelasjon , og induserer dermed en partisjon av G.
Gitt et element a , er høyre sideklassen til H assosiert med a mengden
Det er lett vist at delmengdene som danner partisjonen til G er høyre sideklassene til H. To elementer a og a ' gir samme rett klasse hvis og bare hvis de er i ekvivalensrelasjon. Antallet av disse klassene kalles indeksen til H i G og er indikert med symbolet [ G : H ].
Siden a er inverterbar, kartet
er en bijeksjon , for hver a . Fra dette faktum følger Lagranges teorem , som sier at hvis G er endelig
![{\ displaystyle [G: H] = {o (G) \ over o (H)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
hvor o ( G ) og o ( H ) er rekkefølgen (dvs. antall elementer) av G og H.
Derfor, hvis H er en undergruppe av en endelig gruppe G , må rekkefølgen til H dele rekkefølgen til G.
Klassene på venstre side er på samme måte definert, og får samme resultat. Hvis aH = Ha for hver a (dvs. venstre og høyre klasse faller sammen), så er H en normal undergruppe .