Sinusbølge

I fysikk er en sinusbølge en bølge som beskrives matematisk av sinusfunksjonen . En sinus- eller sinuskurve er kurven representert av sinusgrafen . En sinusoid er analog med kurven knyttet til cosinusfunksjonen , kalt cosinusoid , ut av fase med . $\ pi / 2$

Definisjon

En sinusbølge er en bølge der variabelen er en funksjon av formen: $x$

\ begynne {juster} y (x) & = A \, \ sin \ venstre (2 \ pi fx + \ phi \ høyre) \\ & = A \, \ sin \ venstre ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi \ høyre) \\ & = A \, \ sin \ venstre (\ omega x + \ phi \ høyre) \\ & = A \ cos \ venstre (2 \ pi f \, x + \ phi '\ høyre) \\ & = A \ cos \ venstre ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi '\ høyre) \\ & = A \ cos \ venstre (\ omega x + \ phi' \ høyre) \ slutt {align}

hvor er amplituden , mens: $TIL$

\ omega \ = 2 \ pi f = {2 \ pi \ over \ tau}

er pulsasjonen (eller vinkelhastigheten, den indikerer hvor mange perioder det er i et intervall på ). Dessuten: $2 \ pi$

f = {\ omega \ over 2 \ pi} = {1 \ over \ tau}

er frekvensen , som indikerer hvor mange ganger i en tidsenhet funksjonen gjentar seg selv, og:

\ tau = \ frac {1} {f} = \ frac {2 \ pi} {\ omega}

er perioden , med eller fasen . $\ phi$ ${\ displaystyle \ phi '= \ phi - {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

Grafen til en slik klasse funksjoner ligger mellom linjene og . $y = A$ $y = - A$

Siden det er en periodisk funksjon , kalt perioden, har vi: $\ tau$

y (x \ pm \ tau) = y (x)

Funksjoner

Ved å bruke Eulers formel kan en sinusbølge representeres som den reelle delen av funksjonen:

f (\ xi) = f _ {\ max} \, \ Re {\ venstre [\ mathrm e ^ {i (\ vec k \ cdot \ vec r + \ omega t + \ phi)} \ høyre]}

hvor er bølgevektoren , som identifiserer utbredelsesretningen til bølgen i stedet for forplantningshastigheten. Modulen kalles romlig pulsering , og den er relatert til bølgelengden ved forholdet: ${\vec k}$

k = | {\ vec k} | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}

Skalaren er amplituden til bølgen, og representerer den maksimale verdien av den representative størrelsen på bølgen i en periode. Begrepet representerer startfasen av bølgen. $f _ {\ maks.}$ $\ phi$

Sinusbølger er en spesiell løsning av bølgeligningen . Bølgen er en funksjon av rom og tid, så en endimensjonal bølge assosierer en amplitude av oscillasjon rundt likevektsposisjonen med hver romlig posisjon og til hver tid : $x$ $t$ $y$

y = f (x, t) \,

Derfor er to synspunkter mulige:

Ved å velge å evaluere den tidsmessige dimensjonen ( den er fast), uttrykkes svingningen i avhengighet av tid som . $x$ $y$ $t$ $y = f (t) \,$
Ved å velge å fokusere oppmerksomheten på tilstanden til et medium som er forstyrret i et visst øyeblikk ( det er fikset), har vi den "øyeblikkelige" av bølgen, det vil si bølgeformen (dens profil på det faste observasjonstidspunktet). Oscillasjonen kan uttrykkes som en funksjon av posisjonen som . $\ mathit {t}$ $y$ $x$ $\ mathit {y = f (x)}$

I begge tilfeller kan vi ta utgangspunkt i den ko-sinusformede avhengigheten til variablene i den harmoniske bevegelsen, oppnådd ved å betrakte sistnevnte som en passende projeksjon av en jevn sirkulær bevegelse:

y = y _ {\ max} \ cos (\ omega t + \ phi)

hvor er amplituden til oscillasjonen og er startfasen. Ved å tildele en verdi på 90 grader kan du gå fra en form i cosinus til en i sinus, så uttrykkene er ekvivalente. Uttrykket er for å implementere "visualiseringen" av oscillasjonen langs den vertikale aksen til koordinatsystemet. $y _ {\ maks.}$ $\ phi$ $\ phi$ $y$

Ved å sette variabelen har vi: $x$

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre (\ frac {2 \ pi} {\ tau} t \ høyre)

hvor er bølgeperioden. Startfasen er null, og hvis forstyrrelsen på mediet forplanter seg fra begynnelsen og beveger seg med fasehastighet , vil den nå et annet punkt (til høyre for origo) i en viss avstand etter en tid: $\ tau$ $\ mathit {v}$ $\ mathit {x}$

t1 = \ frac {x} {v}

Dette betyr at punktet på koordinaten vil ha, til tider , en vertikal forskyvning lik den som hadde startpunktet t1 sekunder før. Formering beskrives derfor med uttrykket: $\ mathit {x}$ $t$

y = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre [\ frac {2 \ pi} {\ tau} (t-t1) \ høyre] = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre [\ frac {2 \ pi} {\ tau} \ venstre (t- \ frac {x} {v} \ høyre) \ høyre]

Ved å samle det kan du gå videre til en mer vanlig form som noen ganger finnes på tekster: $2 \ pi$

y = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre [2 \ pi \ venstre (\ frac {t} {\ tau} - \ frac {x} {\ lambda} \ høyre) \ høyre]

Hvis mengden kalles bølgetallet , og hvis pulseringen er det , lar forholdet som allerede er kjent fra studiet av sirkulær bevegelse oss formelt komme frem til ligningen for harmoniske bølger : $k$ $2 \ pi / \ lambda$ $\omega$ $2 \ pi / \ tau$

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t-kx)

Hvis en 90 ° fase hadde blitt lagt til det innledende cosinusuttrykket, ville et negativt sinusuttrykk blitt oppnådd siden , og dette ville ha ført til et sinusformet uttrykk med de indre tegnene omvendt, det vil si som noen ganger presenteres på tekster. $\ cos (\ alfa + 90) = \ sin (- \ alfa)$ $y = y _ {\ max} \, \ sin (kx- \ omega t)$

Vurderer det andre tilfellet av listen ovenfor, på et fast tidspunkt:

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre (\ frac {2 \ pi} {\ tau} t \ høyre) = y_ { \ max} \, \ cos \ venstre (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x \ høyre)

Tid har blitt uttrykt som , erstatter og bruker den grunnleggende relasjonen til bølgene (bølgelengden er rommet som reises av en bølge med fasehastighet i en periode ): i alle fall, det som betyr noe er at vi får en kosinus av romperiodeavhengig bare på stillingen . Hvis impulsen beveger seg langs abscisseaksen, og induserer en oscillasjon på ordinatene, vil punktet på den bestemte koordinaten i et bestemt øyeblikk etter det ene settet ha en høyde lik høyden til punktet som impulsen startet sekunder før. Bølgen forplanter seg deretter (til høyre) med en profil gitt av: $t = x / v$ $\ mathit {\ lambda = v \ tau}$ $v$ $\ tau$ $\ lambda$ $x$ $x$ $x_0$ $t$

y = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre [\ frac {2 \ pi} {\ lambda} (x-vt) \ høyre]

mens et uttrykk i runde parenteser av typen burde vært vurdert dersom man hadde ønsket å beskrive utbredelsen mot venstre. Uttrykker og erstatter vi uttrykket: $(x + vt)$ $\ mathit {v = \ frac {\ lambda} {\ tau}}$

y = y _ {\ max} \, \ cos \ venstre [2 \ pi \ venstre (\ frac {x} {\ lambda} - \ frac {t} {\ tau} \ høyre) \ høyre]

at å vurdere den goniometriske relasjonen er lik den som ble oppnådd tidligere (fordi tegnene til argumentet er endret). $\ cos (- \ alpha) = \ cos \ venstre (\ alpha \ høyre)$

Parameter A (amplitude) forårsaker en utvidelse langs y-aksen
Parameteren (pulsering) forårsaker en utvidelse langs x-aksen $\omega$
Parameteren (fase) forårsaker en horisontal oversettelse $\ phi$
Parameter k forårsaker en vertikal translasjon

Bibliografi

( EN ) M. Abramowitz, IA Stegun, "Handbook of matematiske funksjoner", Dover, reprint (1972) s. §4.3

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer om Sine Wave

Eksterne lenker

( NO ) Yu.A. Gor'kov, Sinusoid , i Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
( NO ) Yu.A. Gor'kov, Sine , i Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.