Power-serien

I matematikk er en potensserie i en variabel en rekke funksjoner av formen:

hvor koeffisientene , sentrum og argumentvariabelen vanligvis får reelle eller komplekse verdier [1] . I matematikk studeres også potensrekker av flere reelle og komplekse variabler og potensrekker av ikke-numeriske enheter (matriser, operatorer, elementer av algebraiske strukturer, formelle variabler, ...). Vi vurderer også serier av negative potenser og av heltallspotter både negative og naturlige.

Ofte brukte kraftserier er de som er hentet fra Taylor-utvidelser av bestemte funksjoner (mange eksempler finnes i Taylor-seriens oppføring og i de om spesialfunksjoner ).

I mange situasjoner er de hovedsakelig interessert i serier med sentrum lik null, for eksempel når de vurderer en Maclaurin-serie . I disse tilfellene tar potensserien den enkleste formen

Fra denne formen er det tydelig at potensrekker er forlengelser av polynomer .

Effektserier behandles først og fremst i matematisk analyse, men de spiller også en viktig rolle i kombinatorikk (som formelle potensserier og med rollen som genererer funksjoner ) og i elektroteknikk (med navnet zeta transform ). Den kjente desimalnotasjonen for reelle tall mellom og kan betraktes som et eksempel på en potensserie med argumentvariabelen satt til verdien 1/10 (som desimalnotasjonen for heltall kan betraktes som et spesialtilfelle av polynom). Videre er begrepet p-adiske tall i tallteori nært beslektet med det for en potensserie.

Eksempler

Hvert polynom kan lett sees på som en potensserie rundt ethvert senter , med en uendelighet av koeffisienter lik null. For eksempel kan polynomet omskrives som en potensserie med sentrum

eller som en serie med et senter

eller igjen som en serie med et senter angitt med en generisk . Et uttrykk som "polynomer av uendelig grad" kan også brukes for potensrekker, et uttrykk som bare er suggererende siden potensrekker ikke er polynomer.

Formelen for den geometriske serien

,

gyldig for , utgjør et av de viktigste eksemplene på potensserier; en annen er gitt av formelen til eksponentialfunksjonen

.

Dette er også eksempler på Taylor-serier . Imidlertid er det også potensserier som ikke er Taylor-serier med noen funksjon; for eksempel

.

En serie der negative potenser av variabelen vises, regnes ikke som en rekke potenser; for eksempel er det ikke en del av settet med kraftserier; den er en del av et annet sett med serier, det av Laurents serie . Tilsvarende serien der termer med brøkpotenser av variabelen som ; de utgjør settet til Puisieux-serien . Vi observerer eksplisitt at koeffisientene ikke kan avhenge av : så for eksempel følgende uttrykk:

det regnes ikke som en rekke makter.

Konvergensradius

En rekke krefter

konvergerer for noen verdier av variabelen (minst for = ) og kan divergere for andre. Det finnes et tall med slik at serien konvergerer når og divergerer når . Dette tallet kalles konvergensradiusen til potensserien, og for hver serie er det gitt av Cauchy-Hadamard-formelen for konvergensradiusen:

her angir den øvre grensen . En mindre generell, men enklere formel er følgende (D'Alemberts formel):

Denne formelen er imidlertid bare aktuelt hvis grensen til det andre medlemmet eksisterer.

Serien konvergerer absolutt for og konvergerer totalt (og derfor også jevnt ) på en hvilken som helst kompakt undergruppe av disken .

For det er ingen generell uttalelse om konvergens eller annet av serien. Imidlertid har vi Abels teorem som sier at hvis serien konvergerer på et punkt , så konvergerer den jevnt på hvert punkt som tilhører segmentet av ytterpunkter og .

Kraftserieoperasjoner

Addisjon og subtraksjon

Addisjon og subtraksjon av to serier

de er definert som

Hvis den første serien har en konvergensradius som ikke er null, har serien en konvergensradius som ikke er null, siden

Serien representerer faktisk på disken med radius summen av de to innledende funksjonene:

Det kan skje at konvergensradiusen er større enn .

Multiplikasjon

På samme måte er produktet av to serier definert som:

.

Sekvensen som består av de nye koeffisientene:

det kalles konvolusjon eller Cauchy-produkt av sekvensene og .

Når det gjelder summen, har serien en konvergensradius større enn eller lik minimum av radiene til de to seriene, og innenfor denne disken er den

Differensiering og integrasjon

Den deriverte av en serie

er definert som serien

De to seriene har samme konvergensradius . Innenfor disken med radius , er la effektivt differensierbar (i en kompleks forstand hvis den vurderes på kompleksene) og dens deriverte er riktig .

På samme måte er en integral av definert som

Den har samme konvergensradius som , og innenfor disken er en primitiv av .

Analytiske funksjoner

En funksjon f definert på en åpen delmengde av o er analytisk hvis den er lokalt representert som en potensserie. Dette betyr at hvert tall har et åpent nabolag , slik at det er en rekke potenser med et sentrum som konvergerer til for hver .

Hver potensserie med positiv konvergensradius gir en analytisk funksjon på det indre av konvergensområdet. Hver holomorfe funksjon er kompleks analytisk. Summer og produkter av analytiske funksjoner er analytiske; analytiske funksjoner består også av kvotienter hvis nevneren er forskjellig fra null.

Hvis en funksjon er analytisk, er den ubegrenset differensierbar, mens i det virkelige tilfellet er omvendt ikke sant generelt. For en analytisk funksjon kan koeffisientene beregnes ved å bruke relasjonen

hvor betegner den deriverte av funksjonen i punktet . Dette kommer også til uttrykk ved å si at hver analytisk funksjon er representert lokalt av dens Taylor-utvikling .

Den globale formen til en analytisk funksjon er fullstendig bestemt av dens lokale oppførsel i følgende forstand: hvis og er to analytiske funksjoner definert på samme tilkoblede åpne sett og hvis det eksisterer et element slik at for hver , så for hver .

Hvis en rekke potenser med konvergensradius er gitt, kan vi vurdere de analytiske fortsettelsene av rekken, det vil si de analytiske funksjonene som er definert på domener mer utvidet enn og som sammenfaller med potensseriene gitt på dette settet. Tallet er maksimalt i følgende betydning: det er alltid et komplekst tall med slik at ingen analytisk fortsettelse av serien kan defineres i den.

Utvidelsen i potensrekker av den inverse funksjonen til en analytisk funksjon kan bestemmes ved å bruke Lagranges inversjonsteorem .

Formell maktserie

Forestillingen om formelle rekker av potenser er riktig for algebra og ble introdusert for å studere de algebraiske egenskapene til serier, uten å forholde seg til spørsmål om grenser og konvergenser. Koeffisientene til en formell serie er ikke nødvendigvis reelle eller komplekse tall, men mer generelt tall som tilhører en ring .

De siste årene har formelle kraftserier vist seg å være til stor nytte i kombinatorikk .

Potensrekker av flere variabler

En potensserie av flere variabler er definert som en serie av formen

hvor er en sekvens av naturlige tall, koeffisientene er reelle eller komplekse tall, mens sentrum og argumentet er vektorer i eller av . Ved å bruke den mer konsise notasjonen som bruker multiindekser kan vi skrive:

Multivariabelserier brukes ofte i multivariabelregning . Teorien om slike serier er betydelig mer komplisert enn potensserien til en enkelt variabel. For eksempel består regionen med absolutt konvergens nå av et log-konveks sett , og ikke et enkelt reelt intervall eller en konvergenssirkel. Dessuten er det innenfor denne konvergensregionen mulig å gjøre differensieringer og integrasjoner under tegnet av serier, akkurat som det er mulig å gjøre med potensserien til en enkelt variabel.

Rekkefølge av en null

En rekke krefter

er slik at hvis og bare hvis . Hvis konvergensradiusen ikke er null, er punktet en null for den analytiske funksjonen . Hvis minst én koeffisient er ikke-null (det vil si hvis serien ikke er null-serien), er denne null isolert , og har en rekkefølge , gitt av minimum slik at .

Definisjonen av rekkefølge er lik for en serie med flere variabler: i dette tilfellet tas minimum av alle multiindeksene som .

Rekkefølgen på en null er analog med rekkefølgen til en pol i en Laurent-serie .

Merknader

  1. ^ Det ville være mer korrekt å skrive: men det er ofte foretrukket å forenkle notasjonen med antagelsen , posisjon som ikke er gyldig generelt.

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker