Dirichlet-serien

I matematikk er en Dirichlet-serie en hvilken som helst serie av formen

hvor s og koeffisientene a n er komplekse tall .

Dirichlet-serien spiller en viktig rolle i analytisk tallteori . Riemann zeta-funksjonen kan skrives som en Dirichlet-serie i halvplanet Re (s) > 1, det samme kan Dirichlet L-funksjonene . Dirichlet-serien er oppkalt etter den tyske matematikeren Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Eksempler

Den mest kjente av Dirichlet-serien er

hvorfra Riemann zeta-funksjonen er definert . En annen er:

hvor μ( n ) er Möbius-funksjonen . Denne og mange andre av følgende serier kan oppnås ved å bruke Möbius-inversjonsformelen og Dirichlets konvolusjon på den kjente serien. For eksempel gitt en Dirichlet-karakter vi har

hvor er en Dirichlet-funksjon L.

Andre identiteter inkluderer

hvor φ ( n ) er Eulers funksjon φ , og

der σ a ( n ) er divisorfunksjonen . Andre identiteter som involverer divisorfunksjonen d = σ 0 er

Logaritmen til zeta-funksjonen er gitt av

for Re ( s )> 1. Her er det von Mangoldt-funksjonen . Så den logaritmiske deriverte er

De to sistnevnte er spesielle tilfeller av en mer generell relasjon for derivatene til Dirichlet-serien, vist nedenfor.

La være Liouville-funksjonen , vi har

Et ytterligere eksempel involverer Ramanujan-summen :

Grunnleggende egenskaper

Ved å plassere med en Dirichlet-serie kan man dekomponere som

Spesielt, hvis koeffisientene er reelle, deler denne formelen Dirichlet-serien inn i dens reelle og imaginære del.

Analytiske egenskaper til Dirichlet-serien: konvergensabscisse

Gitt en sekvens { a n } n ∈ N av komplekse tall vurdere verdien av

som en funksjon av den komplekse variabelen s . For å gjøre dette fornuftig, må du vurdere konvergensegenskapene til den uendelige serien ovenfor:

Hvis { a n } n ∈ N er en avgrenset sekvens av komplekse tall, så konvergerer den tilsvarende Dirichlet-serien f absolutt på det åpne halvplanet til s slik at Re ( s )> 1. Generelt, hvis a n = O ( n k ), konvergerer serien absolutt i halvplanet Re( s )>  k  + 1.

Hvis settet med summer a n + a n + 1 + ... + a n + k er avgrenset for n og k ≥ 0, så konvergerer den ovennevnte uendelige rekken i det åpne halvplanet av s tanele som Re( s )> 0.

I begge tilfeller er f en analytisk funksjon på det respektive åpne halvplanet.

Generelt er konvergensabscissen til en Dirichlet-serie skjæringspunktet på den reelle aksen til den vertikale linjen på det komplekse planet, for eksempel å ha konvergens til høyre for det, og divergens til venstre. Dette konseptet er analogt med en konvergensradius for potensserier . Saken med Dirichlet-serien er imidlertid mer komplisert, selv om absolutt konvergens og enhetlig konvergens kan forekomme i de distinkte halvplanene.

I mange tilfeller har den analytiske funksjonen knyttet til en Dirichlet-serie en analytisk utvidelse over et større domene.

Derivater

Gitt

for en fullt multiplikativ funksjon ƒ ( n ), og forutsatt at rekken konvergerer for Re ( s ) > σ 0 , så har vi at

konvergerer for Re ( s ) > σ 0 . Her er det von Mangoldt-funksjonen .

Produkter

Anta

Og

Hvis både F ( s ) og G ( s ) er absolutt konvergerende for s > a og s > b så har vi

Hvis a = b og ƒ ( n ) = g ( n ) har vi

Integrerte transformasjoner

Mellin - transformasjonen av en Dirichlet-serie er gitt av Perron-formelen .

Bibliografi

Relaterte elementer

Eksterne lenker