Matematisk modell

En matematisk modell er en vitenskapelig modell uttrykt i et formelt matematisk språk. En modell er et fragment av en matematisk teori som representerer en del av virkeligheten, for eksempel et fysisk system eller objekt.^[1][2]

Fra en matematisk modell er en i stand til å trekke matematiske og kvantitative slutninger om fenomenet som studeres. Matematiske modeller brukes derfor i nær sagt alle former for vitenskap: naturvitenskap, samfunnsfag, medisin og musikk.^[3] Særlig er modeller i fysikk svært ofte uttrykt i et matematisk språk.^[4]

Matematiske modeller studeres særskilt i anvendt matematikk, en vitenskapsgren der en fokuserer på anvendelser av matematikk i andre fag.

I mange tilfeller kan en og samme matematiske modell fungere for mange ulike problemstillinger fra den virkelige verden. Dette kan gi mulighet til å overføre kjent teori til nye problemstillinger og til å sammenligne oppførsel til helt ulike systemer.

En matematisk modell vil typisk bestå av et sett av matematiske relasjoner mellom objekter, definert for eksempel som ligninger, ulikheter og funksjoner. Objektene kan være alle typer matematiske størrelser, som skalarer, vektorer, matriser, tensorer, funksjoner, sannsynlighetsfordelinger osv.

I mange modeller som ser på endringer i en eller flere størrelser spiller differensialligninger en viktig rolle, ligninger som beskriver sammenheng mellom en funksjon og endringer i denne. Endringer kan ofte være variasjoner i tid og rom, men kan også være et resultat av kausalitet, for eksempel at en endring i væsketrykket avhenger av en endring i temperaturen.

Tilstanden til systemet som studeres kan beskrives av et sett av variable, ofte karakterisert som tilstandsvariable. Mengden av verdier disse variablene kan ta kalles tilstandsrommet for systemet. En matematisk modell kan dermed beskrives som en formell struktur av tilstandsvariable. En modell blir ofte brukt til å finne tilstandsvariabler som ukjente i et ligningssystem.

I tillegg til tilstandsvariable vil en modell ofte inneholde modellkonstanter eller parametre som definerer systemet.

Matematisk modellering som arbeidsprosess kan i seg selv beskrives med en idealisert modell, og to ulike modeller er her kalt Modell A og Modell B.

I Model A deler en prosessen inn i seks ulike steg:^[3]

1. Identifikasjon: I det første steget må en identifisere at det er et problem som trenger løsning og beskrive problemstillingen. En må også bestemme seg for hva en ønsker å oppnå med en modell.
2. Formulering: Problemet må bli gitt en matematisk formulering.
3. Løsning: Den matematiske formuleringen er som oftest i form av en problemstilling som krever en løsning. Svært ofte vil en måtte nøye seg med en tilnærmet løsning.
4. Beregning: En eksakt eller tilnærmet løsning vil ofte kreve en numerisk beregning, som oftest utført ved hjelp av en datamaskin.
5. Kommunikasjon: I det siste steget må det beregnede svaret tolkes og kommuniseres til den eller de som trenger å kjenne resultatet.

En modellberegning utført på en datamaskin kalles gjerne en simulering.

Modell B inneholder de samme stegene i en noe mer komprimert form:^[2]

1. Formulering av problemet i den virkelige verden.
2. Formulering av den matematiske modellen.
3. Konstruksjon av en matematiske løsning.
4. Tolking av den matematiske løsningen i den virkelige verden.

Både Modell A og Modell B framhever den iterative karakteren av modelleringsprosessen, der en ofte må gå fram og tilbake mellom ulike steg. Begge modeller understreker også betydningen av tolkning av de matematiske resultatene sett i relasjon til den opprinnelige problemstillingen. Verifikasjonsprosessen som må gjøres for å prøve ut gyldigheten til modellen, er en del av dette tolkningssteget.

Matematiske modeller kan karakteriseres på svært mange forskjellige måter, og noen måter er skissert i det følgende avsnittet.

En numerisk modell er en modell som bruker verktøy fra numerisk analyse til å finne tilnærmede løsninger til et sett av modelligninger. Løsninger av modelligningene i en numerisk modell vil være numeriske verdier eller tall.

I motsetning til dette er en analytisk modell en modell der løsningen er beskrevet som matematiske objekter forskjellig fra tall, vanligvis i form av analytiske funksjoner.

En numerisk modell vil som oftest være basert på en analytisk modell.

En stokastisk modell er en statistisk modell som inkluderer element av tilfeldighet, slik at det ikke er mulig å predikere oppførselen til modellen eksakt. er brukes for å modellere endringer eller fordelinger i det som observeres. I en deterministisk modell er det ingen element av tilfeldighet.

En lineær modell er en modell der tilstandsvariablene inngår lineært i modellrelasjonene. Motsetningen er en ikke-lineær modell. Linearitet uttrykkes ofte som proporsjonalitet.

Et eksempel på en lineær modell for bølgeforplatning i en romdimensjon er gitt ved bølgeligningen

${\displaystyle u_{tt}-cu_{xx}=0}$

En ikke-lineær modell for forplantning av ]r kan være basert på Burgers' ligning:

${\displaystyle u_{t}-uu_{x}=0}$

En modell med differensialligninger kalles også kvasilineær dersom modellen er lineær i den høyeste-ordens-deriverte av den ukjente funksjonen.^[5]

En dynamisk modell er en matematisk modell som involverer bevegelse. Motsetningen er en statisk modell, der ting er i likevekt.

I statikk studerer en forholdet mellom legemer i likevekt og i hydrostatikk forholdet mellom væsker i ro. Hydrodynamikk er et fagfelt der en bruker modeller for væsker i bevegelse.

I en stasjonær modell forsøker en å representere noe som ikke endrer seg med tid, for eksempel fordi ting er i likevekt eller fordi bevegelsen ikke endrer seg med tiden. I en ikke-stasjonær modell vil tilstandsvariablene endre seg med tiden.

I dimensjonsanalyse av en matematisk modell identifiseres grunnleggende dimensjoner til modellstørrelser relativt til grunnlegende størrelser som tid, lengde, temperatur og elektrisk ladning.^[6] For eksempel er dimensjonen til hastighet med hensyn på lengde lik 1 og med hensyn på tid lik -1. Dimensjonseksponentene er heltall uten benevning som er uavhengige av måleenheter. Grunnleggende funksjoner som trigonometriske funksjoner og eksponentialfunksjonen har dimensjon null og må ha argument med dimensjon null.

For et ligningsledd som består av flere størrelser kan en regne ut en totaleksponent ved å summere bidragene fra alle størrelsene som inngår. I en flerleddet ligning må alle leddene ha samme dimensjon.

Ved hjelp av dimensjonseksponentene kan en analysere en modell både for å se om det er konsistent og for å avklare relasjoner mellom størrelser i modellen.

Enhver fysikalsk ligning kan skaleres, slik at den bare inneholder dimensjonsløse størrelser. I tillegg til dimensjonsløse tilstandsvariable vil skalerte ligninger typisk inneholde fundamentale dimensjonsløse tall eller parametre, definert som kombinasjoner av fysiske, målbare størrelser. De dimensjonsløse tallene er ofte mål på forholdet mellom ulike faktorer som påvirker modellen, og tallene er svært viktige i all analyse av modellen. En rekke dimensjonsløse tall er definerte med standard navn og kjente eksempler er Mach-tallet, Péclet-tallet, Reynoldstallet og Richardson-tallet.

• Global klimamodell
• MODAG-modellen for norsk økonomi
• Numerisk fluiddynamikk
• Numerisk værvarsling
• Reservoarsimulering

Konkurranser i matematisk modellering:

• m3challenge.siam.org MathWork's Math Modeling Challenge (engelsk). Besøkt 27. november 2019.
• immchallenge.org The International Mathematical Modeling Challenge (engelsk). Besøkt 27. november 2019.
• www.comap.com Mathematical Contest in Modeling (engelsk). Besøkt 27. november 2019.