I denne artikkelen skal vi utforske det fascinerende livet til Fibonaccitall, et individ som har satt spor etter seg gjennom historien. Fra hans spede begynnelse til hans mest fremragende prestasjoner har Fibonaccitall vært en innflytelsesrik skikkelse innen sitt felt. Gjennom en detaljert analyse av karrieren hans vil vi oppdage årsakene bak suksessen hans og innvirkningen han har hatt på verden rundt ham. Med en grundig titt på hans erfaringer, prestasjoner og utfordringer håper vi å belyse viktigheten av Fibonaccitall og hans varige arv.
Fibonacci-tallene, også skrevet fibonaccitallene og kalt Fibonacci-rekken og liknende, er en serie tall der hvert ledd (fra og med det tredje) er lik summen av de to foregående og forholdet mellom to påfølgende tall er lik det gylne snitt. Tallrekka er oppkalt etter den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci (cirka 1175–1235). Historisk er også navnet Lames tall brukt etter den franske matematikeren Gabrielle Lame. I matematikk er et fibonaccitall et tall i den uendelige følgen
Følgen kalles for Fibonacci-følgen. Bortsett fra de to første startverdiene 0 og 1 framkommer leddene i følgen ved å summere de to forrige leddene. Formelt kan dette uttrykkes som
Fibonaccitallene kan også finnes ved å ta utgangspunkt i Pascals trekant og forskyve alle radene slik at hver rad begynner én posisjon lengre til høyre enn raden over. Da vil den venstre delen se slik ut:
1 | |||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||
1 | 3 | 3 | 1 | ||||||||||||||||||||
1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||||||||||||||||||
1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||||||||||||||||
1 | 6 | 15 | 20 | 15 | … | ||||||||||||||||||
1 | 7 | 21 | 35 | … | |||||||||||||||||||
1 | 8 | 28 | … | ||||||||||||||||||||
1 | 9 | … | |||||||||||||||||||||
1 | … | ||||||||||||||||||||||
osv. | |||||||||||||||||||||||
Σ | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | osv. |
Summen (Σ) av hver enkelt rekke er et fibonaccitall.
De første fibonaccitallene er (følge A000045 i OEIS)
F0 | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 | F11 | F12 | F13 | F14 | F15 | F16 | F17 | F18 | F19 | F20 |
0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 |
Fibonaccitallene kan uttrykkes eksplisitt, det vil si uten bruk av rekursjonsformelen. Den lukkete formen er kjent som Binets formel
selv om den ble først utledet av de Moivre. Her er φ forholdstallet i det gyldne snitt, definert ved
Forholdet mellom to påfølgende fibonaccitall nærmer seg forholdstallet i det gylne snitt som grenseverdi:
Grenseverdien ble først påvist av Johannes Kepler.
Fibonaccitallene ble først beskrevet av den indiske matematikeren Pingala, født ca. år 500 f. Kr.[1][2] Han beskrev de grunnleggende idéene bak Fibonnacifølgen. I den moderne verden er likevel fenomenet best kjent på grunn oppdagelsene gjort av Leonardo Fibonacci (1170–1250), fra Pisa i Nord-Italia. Han beskrev økningen i en noe idealisert kaninbestand (antall par kaniner) etter n måneder hvis følgende kriteria blir møtt:
Formelen ovenfor passer til kaninproblemet fordi hvis vi i måneden n har a kaniner og i måneden n+1 har b kaniner, så vil vi i måneden n+2 ha a+b kaniner. Dette fordi vi vet at hver kanin hovedsakelig føder en ny kanin hver måned (eller egentlig at hvert par føder et annet par, men det er akkurat det samme) og det betyr at alle a kaniner føder et tilsvarende antall a kaniner som vil bli kjønnsmodne etter to måneder, som er nøyaktig i måneden n+2. Det er derfor vi har bestanden ved tidspunktet n+1 (som er b) pluss bestanden ved tidspunkt n (som er a).
Eksempler på Fibonacci-følgen finnes også i stor grad i naturen, for eksempel vil antall kronblader på blomster og antall blader ofte følge følgen.
I den norske artikkelen von Brasch mfl. 2013[3] vises det hvordan Fibonaccifølgen på to måter kan kobles til økonomifaget. For det første kan den kobles direkte til økonomiske teorier, som for eksempel en sentralbanks rentesetting, konsument- og investeringsadferd. For det andre kan den brukes som måleinstrument for å tallfeste økonomiske parametre. Den norske populærvitenskapelige fremstillingen bygger i hovedsak på resultatene i von Brasch mfl. 2012 [4].
#!/usr/bin/perl use bigint; my ($i, $j) = (1, 1); for (;;) { print("$i\n"); ($i, $j) = ($i, $i+$j); }
public static int fib(int n) { if (n < 2) { return n; } else { return fib(n - 1) + fib(n - 2); } }
def fib(n): return n if n in (0,1) else fib(n-1)+fib(n-2)
public static function fib (n:uint):uint
{
if (n <= 1 && n >= 0)
{
return n;
}
return fib (n – 2) + fib (n – 1);
}
public function fib ($n)
{
if ($n AND $n <= 1)
{
return $n;
}
return fib ($n – 2) + fib ($n – 1);
}