Diofantisk ligning

I matematikk er en diofantligning (også kalt diofantligning ) en ligning i en eller flere ukjente med heltallskoeffisienter hvis heltallsløsninger søkes etter. Adjektivet Diophantus viser til den 3. århundres greske matematikeren Diophantus av Alexandria , som studerte ligninger av denne typen og var en av de første matematikerne som introduserte symbolikk i algebra .

Grunnleggende elementer

Et tradisjonelt navn gitt til studiet av slike ligninger er Diophantine analyse , som søker å svare på følgende spørsmål:

Feltet for diofantisk tilnærming omhandler i stedet diofantiske ulikheter : variablene antas fortsatt å være heltall, men noen koeffisienter kan være irrasjonelle tall , og likhetstegnet erstattes av nedre og øvre grenser.

Historie

De tidligste registreringene av diofantiske problemer finnes i India , fra 800 f.Kr. opp til middelalderen . Blant de første matematikerne vi vet om som har møtt problemer av denne typen er Baudhāyana og Apastamba ; sistnevnte kom til å lete etter løsninger av ligninger med fem ukjente. I Aryabhatiya of Aryabhata , skrevet rundt 500 e.Kr., ser det ut til at en algoritme løser den lineære diofantiske ligningen . Brahmagupta , på 700-tallet, undersøkte noen tilfeller av ligningen , som senere ble kjent som Pells ligning .

I det tredje århundre dukker det opp et stort antall problemer av denne typen i Diophantus' Arithmetica , alle av andre eller tredje grad. Diophantus bruker imidlertid metodene sine bare på spesielle ligninger, uten å utvikle en generell teori.

Hans arbeid ble gjenoppdaget av Pierre de Fermat i det syttende århundre ; studerte Diophantus sitt arbeid, gjorde han en rekke andre funn, for det meste festet (uten bevis) i margene av hans kopi av Arithmetica . Observasjonene hans ble senere publisert av sønnen. Blant disse var uttalelsen om det som ville bli kjent som Fermats siste teorem , det vil si at ligningen ikke har noen løsninger for ; denne formodningen ble bevist først i 1994 .

I 1900 gjaldt det tiende av de tjuetre problemene som David Hilbert foreslo for matematikere i det nye århundret eksistensen av en generell algoritme for løsning av en vilkårlig diofantligning. I 1970 beviste Yuri Matiyasevich at en slik algoritme ikke eksisterer , og viste at diofantiske sett er nettopp de rekursivt oppregnede settene .

Nylig har synspunktet til diofantinsk geometri , som består i å anvende teknikkene for algebraisk geometri på dette feltet, fortsatt å utvide seg; siden håndtering av vilkårlige ligninger er en blindvei, vender oppmerksomheten seg mot ligninger som også har en geometrisk betydning. En av få generelle metoder er Hasse-prinsippet . Den uendelige nedstigningen , utviklet av Fermat, er den tradisjonelle metoden, og ble bredt tatt i bruk i lang tid.

Eksempler

Diofantiske ligninger av første grad (lineær) er nå godt forstått; det grunnleggende eksemplet er den såkalte Bézout-identiteten , det vil si ligningen , som har løsninger hvis og bare hvis den største felles divisor av e er .

Et eksempel på en kvadratisk diofantligning er den såkalte Pell-ligningen , oppkalt etter den engelske matematikeren John Pell . Det ble først studert av Brahmagupta og senere av Fermat .

Ligningen , der den er en parameter, har uendelige løsninger for (de såkalte Pythagoras trippel ), mens den har ingen for , som demonstrert av Andrew Wiles i 1994 ( Fermats siste teorem ).

Hvis så noen variabler vises som eksponenter, kalles den diofantiske ligningen eksponentiell . Et eksempel på en slik ligning er

hvis eneste løsning er gitt av , som antatt av Eugène Charles Catalan i 1844 og bevist av Preda Mihăilescu i 2002. [1]

Merknader

  1. ^ Catalans formodning om Mathworld _ _

Bibliografi

Relaterte elementer