Elementær funksjon

En elementær funksjon er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.^[1][2]

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I tillegg regner også sammensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære.^[1] Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.^[3]

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes^[1]

• De rasjonale funksjonene, inkludert polynomfunksjonene
• Eksponentialfunksjonen
• Logaritmefunksjonen
• Trigonometriske funksjoner, inkludert arcus-funksjonene
• Den generelle potensfunksjonen

Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$

hvor ${\displaystyle a_{i}}$ er konstanter, og ${\displaystyle n}$ er graden til polynomet, forutsatt at ${\displaystyle a_{n}}$ er ulik null. Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele.

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

${\displaystyle f(x)={P(x) \over Q(x)}}$

Her er ${\displaystyle P}$ og ${\displaystyle Q}$ polynomfunksjoner. Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av ${\displaystyle x}$ som ikke gjør nevneren ${\displaystyle Q(x)}$ lik null.

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene.

Eksponentialfunksjonen med grunntall ${\displaystyle b}$ er en funksjon på formen

${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$

der ${\displaystyle b}$ er et positivt reelt tall.

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{i=0}^{\infty }{x^{i} \over i!}=1+x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6}+{x^{4} \over 24}+\cdots }$

Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

${\displaystyle y=\log _{b}x\ \iff \ x=b^{y}}$

Spesielt viktig er funksjonen med grunntall ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle y=\log _{e}x=\ln x}$

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument. Grunnleggende funksjoner er sinus, cosinus og tangens. De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens.

Den generelle potensfunksjonen har formen

${\displaystyle f(x)=x^{c}}$

der ${\displaystyle c}$ er en konstant. Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

${\displaystyle x^{c}=e^{c\ln x}}$

Til de elementære funksjonene hører

• Konstante funksjoner, som ${\displaystyle f(x)=2}$
• Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som ${\displaystyle f(x)=2x^{3 \over 2}+{\sqrt{x}}}$
• Hyperbolske funksjoner, som ${\displaystyle f(x)=\sinh x}$
• Inverse hyperbolske funksjoner, som ${\displaystyle f(x)=\operatorname {arccosh} x}$
• Sammensetninger som

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&={e^{\tan x} \over {x^{2}+1}}\\g(x)&=-i\ln(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})\end{alignedat}}}$

Den siste funksjonen er lik ${\displaystyle \arccos x}$ i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som ikke er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.