Demonstrasjon av divergensen i rekken av gjensidigheten til førstnevnte

En av de første teoremene innen tallteori som ble bevist analytisk, er divergensen i rekken av de resiproke primtallene , dvs.

hvor variabelen angir et primtall.

Bevis (Euler)

For beviset trenger vi et lemma om den harmoniske serien .

Fra definisjonen av antall Napier kan vi umiddelbart utlede det

for hvert positivt heltall oppnås logaritmen til begge medlemmene

hvorfra

og endelig

Vurderer nå summen av de gjensidige av alle de naturlige tallene frem til vi oppnår

[1]

Denne siste ulikheten vil være grunnleggende i demonstrasjonen av divergensen av summen av de gjensidige til primtallene.

La oss nå definere produktet som

Vet det

[2]

er oppnådd

hvor settet er definert som

Tydeligvis hvis da

og fra ulikheten oppnådd på den harmoniske rekken vi oppnår

Nå vet du det for hver du får

der det siste leddet divergerer ved å tendere mot uendelig, så divergerer rekken av de resiproke primtallene.

Andre bevis (Euler)

Euler ga også et annet bevis, alltid med utgangspunkt i den harmoniske serien. Ved å bruke utvidelsen av dette som et uendelig produkt skrev han:

bruke egenskapene til logaritmer ; deretter utvidet summen som Taylor-serien av :

Begrepene 1/3 p , 1/4 p 2 kan økes som:

Det andre tillegget konvergerer fordi det er mindre enn den tilsvarende serien der tilleggene er hentet fra alle naturlige i stedet for bare fra de første; så

Etter hvert som summen vokser som om den tenderer mot det uendelige, konkluderte Euler med det

Tredje bevis (Erdős)

Erdős bevis bruker bare elementære metoder.

For absurditet så eksisterer det et primtall slik at .

La være et vilkårlig heltall, vi betegner med antall heltall mindre enn eller lik som har bare prime faktorer mindre enn eller lik , Vi betegner også . Det har vi

Nå estimerer vi , vi skriver , hver kan skrives i skjemaet

der den ikke har kvadrater og , hvis den bare er delelig med primtall mindre enn eller lik , så er den også . Det er færre mulige valg for og færre valg for , derfor

og derfor

det vises enkelt ved induksjon og ved å bruke Bertrands postulat at for det n'te primtall har vi og følgelig , slik at vi kan velge og finne

som er absurd og avslutter beviset.

Merknader

  1. ^ Dette er en teleskopisk sum som koker ned til .
  2. ^ Dette er formelen (sett "omvendt") for den geometriske serien , som vi, gitt (i dette tilfellet ), har .

Relaterte elementer