Goldbachs formodning

I matematikk er Goldbachs formodning en av de eldste uløste problemene innen tallteori . Den sier at ethvert partall større enn 2 kan skrives som summen av to primtall (som også kan være like).

For eksempel,

  4 = 2 + 2   6 = 3 + 3   8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 etc.

Opprinnelse

I 1742 skrev den prøyssiske matematikeren Christian Goldbach et brev til Euler der han foreslo følgende formodning:

Ethvert heltall større enn 5 kan skrives som summen av tre primtall.

Euler, interessert i problemet, svarte ved å omformulere problemet i følgende tilsvarende versjon:

Ethvert partall større enn 2 kan skrives som summen av to primtall.

Eulers versjon er formen som formodningen for øyeblikket er formulert i og blir noen ganger også referert til som den sterke Goldbach - formodningen. Goldbachs svake formodning, som antydes av den sterke formodningen, hevder at alle oddetall større enn 5 kan skrives som summen av tre primtall.

Resultater

Goldbachs formodning har tiltrukket seg oppmerksomheten til mange tallteoretikere. De fleste matematikere mener at formodningen er sann, hovedsakelig basert på statistiske og sannsynlighetsbetraktninger oppnådd med primtallsteoremet .

I 1923 beviste Hardy og Littlewood at hvis den generaliserte Riemann-hypotesen er sann, så er Goldbachs svake formodning sann for alle tilstrekkelig store oddetall . I 1937 fjernet Ivan Vinogradov antagelsen om den generaliserte Riemann-hypotesen, og viste at hvert oddetall er summen av tre primtall. Videre, basert på ideene til Vinogradov, Chudakov , [1] van der Corput , [2] og Estermann [3] har de vist at nesten alle partall kan skrives som summen av to primtall, dvs. at brøken av tall som kan skrives på denne måten har en tendens til 1. I 1975 ga Hugh Montgomery og Robert Vaughan en mer presis versjon av dette resultatet ved å vise at antallet like heltall mindre enn N som ikke er representable som summen av to primtall er mindre enn ganger to konstant .

Flere andre delresultater har blitt demonstrert gjennom årene. I 1939 ble L.G. Schnirelmann beviste at ethvert partall n  ≥ 4 kan skrives som summen av maksimalt 20 primtall. Dette tallet ble senere senket av en rekke matematikere; spesielt Olivier Ramaré i 1995 beviste at hvert partall n  ≥ 4 kan skrives som summen av maksimalt 6 primtall. Merk at Goldbachs svake formodning innebærer det samme resultatet, men med bare 4 primtall.

I 1951 beviste Linnik at det eksisterer et heltall k slik at et hvilket som helst tilstrekkelig stort partall kan skrives som summen av to primtall og høyst k potenser av to. I 2002 beviste Roger Heath-Brown og Jan-Christoph Schlage-Puchta at k = 13 er tilstrekkelig [4] og i 2003 forbedret Pintz og Ruzsa dette resultatet ved å vise at k = 8 kan tas. [5]

Et annet viktig resultat er det oppnådd av Chen Jingrun som i 1966 beviste at ethvert tilstrekkelig stort partall kan skrives som summen av enten to primtall, eller av en første og en semiprimtall (produktet av to primtall): for eksempel 100 = 23 + 711. [6]

Til slutt, i løpet av årene har det vært flere resultater for å senke grensen nevnt ovenfor, utover som den svake Goldbach-formodningen er bevist. Blant disse er det beviset fra Deshouillers , Effinger, te Riele og Zinoviev at den generaliserte Riemann-hypotesen innebærer den svake Goldbach-formodningen. [7] I 2013 kunngjorde Harald Helfgott at han hadde bevist dette resultatet uten antagelsen fra Riemann-hypotesen, og dermed løste Goldbachs svake formodning totalt. [8] [9] [10] [11]

I massekulturen

Merknader

  1. ^ Nikolai G. Chudakov, О проблеме Гольдбаха [ Om Goldbach-problemet ], i Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 17, 1937, s. 335–338.
  2. ^ JG Van der Corput, Sur l'hypothèse de Goldbach , i Proc. Akad. Våt. Amsterdam , vol. 41, 1938, s. 76–80.
  3. ^ T. Estermann, Om Goldbachs problem: bevis på at nesten alle til og med positive heltall er summer av to primtall , i Proc. London Math. Soc. , 2, vol. 44, 1938, s. 307–314, DOI : 10.1112 / plms / s2-44.4.307 .
  4. ^ DR Heath-Brown og JC Puchta, heltall representert som en sum av primtall og potenser av to , i Asian Journal of Mathematics , vol. 6, nei. 3, 2002, s. 535-565, arXiv : math.NT / 0201299 .
  5. ^ J. Pintz og IZ Ruzsa, Om Linniks tilnærming til Goldbachs problem, I , i Acta Arithmetica , vol. 109, n. 2, 2003, s. 169–194, DOI : 10.4064 / aa109-2-6 .
  6. ^ JR Chen, Om representasjonen av et større jevnt heltall som summen av et primtall og produktet av høyst to primtall. Sci. Sinica 16 (1973), 157-176.
  7. ^ Deshouillers, Effinger, Te Riele og Zinoviev, En komplett Vinogradov 3-primteorem under Riemann-hypotesen ( PDF ), i Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , vol. 3, nei. 15, 1997, s. 99-104, DOI : 10.1090 / S1079-6762-97-00031-0 .
  8. ^ HA Helfgott, Store buer for Goldbachs teorem , 2013.
  9. ^ HA Helfgott, Mindre buer for Goldbachs problem , 2012.
  10. ^ Primetall: det 271 år gamle puslespillet løst - Truth Is Cool .
  11. ^ Bevis på at et uendelig antall primtall er sammenkoblet - fysikk-matte - 14. mai 2013 - New Scientist

Bibliografi

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Eksterne lenker