Aksonometri

Aksonometri (eller aksonometrisk projeksjon , fra gresk áxon , akse og métron , mål, det vil si måle etter aksene) er en metode for grafisk fremstilling behandlet med beskrivende geometri . Det ble formalisert av engelske William Farish i første halvdel av det nittende århundre. Aksonometriske representasjoner ble allerede brukt i senmiddelalderen for bygging av militære festninger, men ble avledet fra perspektivet slik at de ble kalt militære perspektiver [1] .

Aksonometrien er basert på bruk av tre geometriske akser (halvlinjer) som har et enkelt opprinnelsespunkt O og som de tre dimensjonene som et objekt besitter i det virkelige rommet er rapportert.

Prinsippet som ligger til grunn for aksonometri er projeksjonen av et geometrisk objekt på et plan ( projeksjonsplan eller bilde ), langs retningen bestemt av et upassende punkt ( projeksjonslinje eller projeksjonssenter ) , dvs. plassert i uendelig. Et trekk ved aksonometri er å kunne representere alle dimensjonene til et objekt samtidig.

Det skiller seg fra perspektiv ved at det ikke representerer det øyet faktisk ser: spesielt forblir parallelle linjer parallelle og fjerne objekter krymper ikke i størrelse. Det kan betraktes som et konisk perspektiv hvis sentrum er plassert i uendelig, det vil si veldig langt fra det observerte objektet.

De aksonometriske projeksjonene er basert på Polkes teorem , ifølge hvilken hver trippel av koplanare vektorer alltid kan oppnås som en projeksjon av en trippel vektorer ortogonale på hverandre, plassert i det euklidiske rom.

En aksonometri kalles ortogonal eller skrå avhengig av om projeksjonsstrålen er ortogonal til projeksjonsplanet eller ikke. Videre kan en aksonometri også klassifiseres på grunnlag av de anvendte aksonometriske reduksjonene (dvs. modifikasjonen av målene til de tre aksene til referansesystemet ). Av denne grunn kan en aksonometri, både ortogonal og skrå, være monometrisk hvis reduksjonskonstanten er den samme på alle akser; dimetrisk , hvis reduksjonskonstanten er lik bare på to akser; eller trimetrisk , hvis reduksjonskonstanten er forskjellig for alle akser.

Skråaksonometri

Skråaksonometri oppstår når projeksjonsstrålen er skrå i forhold til projeksjonsrammen. I betraktning av det faktum at bildet kan være parallelt med et plan av referansetriederet (xyz), eller falle inn på alle dets ansikter, kan aksonometrien være av henholdsvis to typer: kavaleraksonometri og generisk aksonometri.

Kavaleraksonometri

Kavaleraksonometri [2] er en type skråaksonometri der projeksjonsplanet (også kalt kvadrat) er parallelt med et av de tre planene i referansesystemet. [3] En kavaleraksonometri kan bare være monometrisk (alle målene på aksene forblir uendret) eller dimetrisk (målingen av aksen vinkelrett på panelet reduseres).

Front kavaler aksonometri

Kavaleraksonometrien kalles frontal hvis projeksjonsplanet er vertikalt ( xz eller yz ).

Siden maleriet er parallelt med det vertikale planet, opprettholder fronthøyden den sanne formen og størrelsen.

Ved konvensjon i "hurtig kavaler" er aksen vinkelrett på panelet (y-aksen) skråstilt 45° i forhold til den horisontale aksen. Videre, for ikke å gjøre det unaturlig for det menneskelige øyet, gjennomføres en aksonometrisk reduksjon ved å halvere målingene knyttet til y-aksen.

Den raske kavaleraksonometrien brukes ofte på grunn av dens enkle konstruksjon, men det er mulig å representere y-aksen skråstilt og med alle målinger, så lenge de er proporsjonale.

Militær kavaleraksonometri

Kavaleraksonometrien kalles militær hvis projeksjonsplanet er horisontalt.

Siden bildet er parallelt med horisontalplanet, beholder planen sin sanne form og størrelse. Av denne grunn ble den brukt tidligere av militæringeniører for raskt å representere utvidelsen av festningsverk.

For å gjøre aksonometrien mer kompakt, kan det gjøres en aksonometrisk reduksjon ved å halvere målene knyttet til høydene (z-aksen).

Den militære kavaleraksonometrien som ikke har gjennomgått noen reduksjoner på z-aksen kalles ganske enkelt monometrisk aksonometri.

Generisk aksonometri

Projeksjonsstrålene er skrå i forhold til bildet og i sin tur er bildet skråstilt i forhold til referansetriederet (xyz). Derfor danner aksene til referansetriaden xyz forskjellige vinkler med bildet. Det skiller seg fra ortogonal trimetrisk aksonometri (se nedenfor) ved at bildet O 'av opprinnelsen O til xyz-aksene ikke sammenfaller med ortosenteret til trekanten til sporene txy, txz, tyz.

Ortogonal aksonometri

Ortogonal aksonometri oppstår når de projiserte strålene er ortogonale til projeksjonsrammen, som imidlertid må skråstilles i forhold til de tre referanseplanene. Avhengig av vinklene som bildet danner med xyz-referanseaksene, kan den ortogonale aksonometrien være isometrisk, dimetrisk eller trimetrisk. [4]

Isometrisk aksonometri

En ortogonal aksonometri kalles isometrisk når aksene danner tre like vinkler til hverandre. I dette tilfellet er projeksjonsrammen skråstilt i lik grad i forhold til alle tre hovedplanene, og derfor er trekanten til sporene en likesidet trekant . Siden aksene danner tre like vinkler, er reduksjonsforholdene langs de tre aksene lik hverandre. Svært ofte, for enkelhets skyld, rapporteres de faktiske målingene direkte, noe som forårsaker en liten forstørrelse av projeksjonen.

For en korrekt utførelse, med den vertikale z-aksen som referanse, er det nødvendig å tegne en y-akse skråstilt med 120° i forhold til den vertikale aksen som ser til høyre og en x-akse skråstilt med 120° i forhold til vertikal akse som ser til venstre.

Dimetrisk aksonometri

En ortogonal aksonometri kalles dimetrisk når aksene danner to like vinkler og en forskjellig. I dette tilfellet er projeksjonsrammen skråstilt i lik grad med hensyn til to plan, men ikke til det tredje, og derfor er trekanten til sporene en likebenet trekant . Siden to av de tre aksene danner samme vinkel med projeksjonsplanet, vil reduksjonsforholdene være de samme på de to aksene og forskjellige på den andre.

Trimetrisk aksonometri

En ortogonal aksonometri kalles trimetrisk når aksene danner tre forskjellige vinkler til hverandre. I dette tilfellet er projeksjonsrammen forskjellig skråstilt i forhold til alle tre plan, og derfor er trekanten til sporene en skalaen trekant . Siden aksene danner tre forskjellige vinkler til hverandre, vil reduksjonsforholdene være forskjellige på alle tre aksene.

Relaterte elementer

Merknader

  1. ^ Se Massimo Scolari , Elements for a history of xonometry.
  2. ^ Det franske uttrykket cavalier indikerte en kunstig ås plassert inne i en militær festning som tillot området nedenfor å bli sett utenfor murene. Se Etymologie des maths
  3. ^ Aksonometriske projeksjoner ( PDF ), på architettura-old.unicampania.it .
  4. ^ C. Bonfigli og CR Braggio, Deskriptiv geometri og perspektiv , Hoepli, 2000.

Andre prosjekter