Diofantisk tilnærming

Diofantisk tilnærming er matematikkfeltet som omhandler tilnærming av reelle tall med rasjonelle tall . Den er oppkalt etter den greske matematikeren Diophantus fra Alexandria .

Beskrivelse

Den lille avstanden (i absolutt verdi ) til det reelle tallet for å tilnærme det rasjonelle tallet som tilnærmer det, er et enkelt mål på tilnærmingens godhet. Et finere mål vurderer godheten til tilnærmingen ved å sammenligne forskjellen mellom de to tallene med størrelsen på nevneren .

Ved å bruke kontinuerlige brøker er det mulig å bevise at hver konvergent av hvert irrasjonelt tall er slik at

Denne ulikheten kan forbedres for å bevise at for hver irrasjonell finnes det uendelige begrunnelser slik at

Mer presise ulikheter (dvs. hvor de erstattes med et større antall) kan bare ha et begrenset antall løsninger; dette er tilfellet hvis det aktuelle irrasjonelle tallet er det gylne tallet .

Joseph Liouville beviste i 1844 at hvis tallet er algebraisk av grad n (dvs. det finnes et polynom av grad n som tillater det som en rot, men det er ingen lavere grads polynom med denne egenskapen), så for hvert rasjonelt tall holder

for noen konstant A > 0. Liouville lyktes også med å konstruere tall som ikke bekrefter denne egenskapen ( Liouville-tallene ), som var de første eksemplene på ikke-algebraiske, dvs. transcendente , tall .

Denne ulikheten kan også forbedres. Axel Thue , Carl Ludwig Siegel og Klaus Roth forbedret deretter denne teoremet: i 1955 uttalte Roth det som nå er kjent som Thue-Siegel-Roth-teoremet , som sier at for hver av dem er det bare et begrenset antall rasjonaler slik at

Bibliografi